课时作业10：3.3 三角函数的积化和差与和差化积

3.3 三角函数的积化和差与和差化积
基础达标
1.在△ABC 中，若A
B B A cos cos sin sin =，则△AB
C 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
2.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β等于（ ）
A.-m
B.m
C.-4m
D.4m
3.若tan θ=
21，tan(θ-φ)=5
2-，则tan(φ-2θ)的值为（ ） A.41 B.89- C.81 D.8
1- 4.α、β为锐角，sin α=x ，cos β=y ，cos(α+β)=-5
3，则y 与x 的函数关系式为（ ） A.y =541532+--x x (5
3<x <1) B.y =5
41532+--x x (0<x <1) C.y =541532---x x (0<x <5
3) D.y =541532---x x (0<x <1) 5.α、β为锐角，且α+β=2π3
，则cos 2α+cos 2β的取值范围是（ ） A.［
21，23］ B.［21，2
3） C.［21，45］ D.［21，43） 6.在直角坐标系中，已知两点A （cos80°，sin80°），B (cos20°，sin20°)，则|AB |的值是_________.
7.若在［0，
π2］内有两个不同的实数值，满足等式cos2x +3sin2x =k +1，则k 的范围是________.
8.设sin(π4-x )=135，x ∈(0，π4)，则cos2πcos(+)4
x x =______________. 综合运用
9.化简：
α
ααααααα7sin 5sin 3sin sin 7cos 5cos 3cos cos ++++++.
10.在△ABC 中，求证：sin 2A +sin 2B -sin 2C =2sin A sin B ·cos C .
11.已知α，β均为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=
π2
.
拓展探究
12.在△ABC 中，sin A +cos A =2
2，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.
参考答案
基础达标
1.【答案】D
【解析】由题意，知sin A cos A =sin B cos B ，
∴sin2A =sin2B .∴sin2A -sin2B =0.
用和差化积公式得2cos(A +B )sin(A -B )=0，cos(A +B )=0或sin(A -B )=0，A +B =
π2或A =B .故选D. 2.【答案】B
【解析】cos 2α-cos 2β=(cos α-cos β)(cos α+cos β)
=-2sin 2β
α+sin 2β
α-·2cos 2β
α+cos 2β
α-=sin(α+β)sin(β-α)=m .
3.【答案】B
【解析】tan(φ-2θ)=-tan ［θ-(φ-θ)］=895
22115221)tan(tan 1)tan(tan -=⨯-+-=-+---θϕθθϕθ. 4.【答案】A
【解析】cos β=cos ［（α+β）-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=541532+--
x x ， ∵541532+--x x >0，∴x >53.∴5
3<x <1. ∴应选A.
5.【答案】D
【解析】cos 2α+cos 2β=
2
2cos 122cos 1βα+++ =1+21(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-21cos(α-β)， ∵α，β∈(0，π2
)，α+β=2π3， ∴α-β∈（-π3，π3
）. ∴cos(α-β)∈(
2
1，1］. ∴cos 2α+cos 2β∈［21，43）. 6. 【答案】1
【解析】|AB |2=（cos80°-cos20°）2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin20°sin80°)
=2-2cos60°=2-2×2
1=1. 7.【答案】［-2，1］
【解析】cos2x +3sin2x =2(2
1cos2x +23sin2x ) =2sin(2x +π6
)， ∵x ∈［0，
π2］， ∴2x +π6∈［π6，7π6］. ∴2sin(
π6+2x )∈［-1，2］. ∴k +1∈［-1，2］.
∴k ∈［-2，1］.
8.【答案】13
24 【解析】cos2x =sin(π2-2x )=2sin(π4-x )·cos(π4-x )=2×135×1691201312=. cos(π4+x )=cos ［π2-(π4-x )］=sin(π4-x )=13
5， ∴120
cos224169==π513cos(+)413
x x . 综合运用
9.解：原式=)
5sin 3(sin )7sin (sin )5cos 3(cos )7cos (cos αααααααα++++++ )
cos 3(cos 4sin 2)cos 3(cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2cos 4cos 23cos 4cos 2αααααααααααααα++=+•+==cot4α. 10.证明：左边=
22cos 122cos 1B A -+--sin 2C
=1-2
1(cos2A +cos2B )-1+cos 2C =cos 2C -cos(A +B )·cos(A -B )
=cos 2C +cos C ·cos(A -B )
=cos C ［cos C +cos(A -B )］
=cos C ［cos(A -B )-cos(A +B )］
=2cos C ·sin A ·sin B =右边.
11.证明：利用sin(α+2β)=1，证α+2β=π2
. ∵⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.2sin 2sin 23,2cos sin 3,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322
2βαβαβαβα 平方相加，9sin 4α+
49sin 22α=1， ∴sin 2α=9
1. ∴sin α=3
1(α为锐角). ∴sin(α+2β)=sin αcos ２β+cos αsin2β=3sin 3α+cos α·23sin2α=3sin α=1. ∵0<α<π2，0<β<π2
， ∴0<α+2β<
3π2. ∴α+2β=π2
. 拓展探究
12.解：∵sin A +cos A =2cos(A -45°)=22， ∴cos(A -45°)= 2
1. 又0°<A <180°，
∴A -45°=60°，A =105°.
∴tan A =tan(45°+60°)=32313
1--=-+.
sin A =sin105°=sin(45°+60°) =sin45°·cos60°+cos45°sin60°=462+， ∴S △ABC =
21AC ·AB sin A =21×2×3×462+ =
4
3(62+).。