数学论文——勾股定理的证明方法探究
勾股定理的证明论文写
勾股定理的证明论文写勾股定理是数学史上的一颗明珠，有的大学的毕业论文就是关于勾股定理的，下面是给大家关于勾股定理的证明论文怎么写的信息，希望对大家有所帮助!勾股定理的证明论文范文一关于勾股定理勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.在国外,尤其在西方,勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理.这是由于,他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-公元前500).实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例.除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外,据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角.但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3、4、5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得到证实.”不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现,在另一块版板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股、勾、弦的数值,一共记载着15组勾股数.这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库.证明方法：先拿四个一样的直角三角形.拼入一个(a+b)的正方形中,中央米色正方形的面积：c2.图(1)再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形,面积是(a2,b2).图(2)四个三角形面积不变,所以结论是：a2+b2=c2勾股定理的历史：商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:"…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.赵爽：?东汉末至三国时代吴国人?为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的.十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续."中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?"商高回答说:"数的产生对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的.勾股定理的证明论文范文二勾股定理的证明：在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别中国和希腊.1.中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是a^2+b^2=c^2.这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.2.希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形,如图.容易看出,△ABA’≌△AA'C.过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC, 即a2+b2=c2.至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到(请读者自己证明).这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式.这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念：⑴全等形的面积相等;⑵一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积.这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解.我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明.采用的是割补法：如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”.赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观.西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的.据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺.故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法.下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明.如图,S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2),①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=ab+ba+c2=(2ab+c2).②比较以上二式,便得a2+b2=c2.这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁.1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明.5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话.在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.作CD⊥BC,垂足为D.则△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC.由△BCD∽△BAC可得BC2=BD?BA,①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD?AB.②我们发现,把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB(AD+BD),而AD+BD=AB,因此有BC2+AC2=AB2,这就是a2+b2=c2.这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁.它利用了相似三角形的知识.在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误.如有人给出了如下证明勾股定理的方法：设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,因为∠C=90°,所以cosC=0.所以a2+b2=c2.这一证法,看来正确,而且简单,实际上却犯了循环证论的错误.原因是余弦定理的证明勾股定理.人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广.欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”.勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.勾股定理的证明论文范文三最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
勾股定理的数学证明方法研究
勾股定理的数学证明方法研究勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它构成了平面几何的基础。
在本文中，我们将研究勾股定理的数学证明方法。
我们将从最早提出该定理的中国数学家开始，探讨不同的证明方法，并分析它们的优缺点。
一、中国数学家的证明方法自古以来，中国数学家一直对勾股定理有深入的研究和理解。
最早的证明方法可以追溯到中国古代数学经典著作《周髀算经》中。
这本书中提到了一种称为“山形法”的证明方法。
它基于一个简单的原理：在一个直角三角形中，边长比例相同的三个直角三角形具有相似的形状。
中国的古代数学家通过将直角三角形内部的线段细分，并利用相似三角形的性质，成功地证明了勾股定理。
这种方法虽然简单易懂，但需要借助直观的几何图形来辅助理解，不够严谨。
二、欧几里得几何的证明方法在欧几里得几何中，勾股定理有更加严谨的证明方法。
欧几里得是古希腊的一位著名数学家，他在《几何原本》中给出了勾股定理的几何证明。
他的证明方法基于面积的概念。
欧几里得的证明可以分为三个步骤：首先，构造一个辅助直角三角形，使得直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
其次，通过计算这个直角三角形的面积，得出结论：c² = a² + b²。
最后，通过排除其他可能性，证明这是唯一的解。
这种证明方法基于面积概念，逻辑严密，但是需要复杂的几何线段的推导，不够直观。
三、代数证明方法除了几何证明方法外，还有一种基于代数的证明方法。
这种方法通过将直角三角形的边长表示为变量，并利用代数运算来证明勾股定理。
代数证明方法可以分为两种：一是基于平方差公式的代数证明方法，它通过将直角三角形的边长表示为变量，并利用平方差公式展开后进行运算，最终得到勾股定理的等式。
二是基于复数的代数证明方法，它利用复数的乘法和模长的性质，将直角三角形的边长表示为复数，通过运算得到勾股定理的等式。
这些代数证明方法具有简洁明了的特点，不需要直观的几何图形，适用于计算机程序和抽象的数学推理。
有关勾股定理的小论文
有关勾股定理的⼩论⽂有关勾股定理的⼩论⽂ 勾股定理或勾股弦定理,⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。
是⼀个基本的⼏何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
下⾯是有关勾股定理的⼩论⽂的内容，欢迎阅读！ 有关勾股定理的⼩论⽂1 在初⼆上学期我们学习了⼀种很实⽤并且很容易理解的定理——勾股定理。
勾股定理就是把直⾓三⾓形的两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅这⼀特性，⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。
我脑海中印象最深的就是那棵毕达哥拉斯树，它是由勾股定理不断的连接从⽽构成的⼀个树状的⼏何图形。
两个相邻的⼩正⽅形⾯积的和等于相邻的⼀个⼤正⽅形的⾯积。
它看起来⾮常别致、漂亮，因为勾股定理是数学史上的⼀颗明珠，它将会使⼈们再算⼀些问题时变得更⽅便。
你如果把勾股定理倒过来，它还是勾股定理逆定理，它最⼤的好处就在于它能够证明某些三⾓形是直⾓三⾓形。
这⼀点在我们⼏何问题中是有很⼤价值的。
我国古代的《周髀算经》就有关于勾股定理的记载：：“若求邪⾄⽇者，以⽇下为句，⽇⾼为股，句股各⾃乘，并⽽开⽅除之，得邪⾄⽇”，⽽且它还记载了有关勾股定理的证明：昔者周公问于商⾼⽈：“窃闻乎⼤夫善数也，请问昔者包牺⽴周天历度——夫天可不阶⽽升，地不可得尺⼨⽽度，请问数安从出？” 商⾼⽈：“数之法出于圆⽅，圆出于⽅，⽅出于矩，矩出于九九⼋⼗⼀。
故折矩，以为句⼴三，股修四，径隅五。
既⽅之，外半其⼀矩，环⽽共盘，得成三四五。
两矩共长⼆⼗有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所⽣也。
” 同时发现勾股定理的还有古希腊的毕达哥拉斯。
但是从很多泥板记载表明，巴⽐伦⼈是世界上最早发现“勾股定理”的。
由此可见古代的⼈们是多么的聪明、细⼼和善于发现！ 法国和⽐利时称勾股定理为驴桥定理，埃及称为埃及三⾓形。
我国古代把直⾓三⾓形中较短的直⾓边叫做勾，较长的直⾓边叫做股，斜边叫做弦，所以它⼜叫勾股弦定理。
勾股定理流长深远，我们不能败给古⼈，我们⼀定要善于发现，将勾股定理灵活地运⽤在⽣活中，将勾股定理发扬光⼤！常见的勾股数按“勾股弦”顺序：3，4，5 ；6，8，10；5，12，13 ；7，24，25；8，15，17 ；9，40，41……经过计算表明，勾、股、弦的⽐例为1：√3：2 。
勾股定理证明(精选多篇)
勾股定理证明(精选多篇)第一篇：勾股定理的证明方法这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式化简得，。
第二篇：勾股定理的证明勾股定理的证明一、基本情况组长：曾烨秋组员：邱丽璇、李锐、陈应飞、黄富荣、贾雪梅指导老师：何建荣相关课程：数学一、问题提出1、背景：初中时就学习了直角三角形的勾股定理，我们对此很感兴趣，便想探究勾股定理的证明方法。
2、目的：3、意义：探究出勾股定理的证明方法二、研究过程1、查阅资料：利用课间等休息时间在图书室或计算机室查阅资料。
2、整理资料：在网上下载部分第三篇：勾股定理证明勾股定理证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
以下即为一种证明方法：如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
∵△abe＋△aed＋△ced＝梯形abcd∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和初二十四班秦煜暄第四篇：奇特的勾股定理的证明如图所示,正方形abcd连接ac,bd.因为四边形abcd是正方形所以ac垂直于bd图中的每个三角形都是直角三角形解:设ao为a,bo 为b,ab为c所以正方形的面积就是a*b/2*4=2a*b=2ab正方形的面积也可以表示为c所以2ab=cab+ab=c因为此图是正方形所以ａo=bo所以a=b所以把第一个ab中的b换成a．把第二个a换成b．所以a*a+b*b=c 所以a +b =c第五篇：勾股定理专题证明勾股定理专题证明1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。
勾股定理小论文
勾股定理最近我们学习了“勾股定理”。
它是初等几何中的一个基本定理，是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。
如图，正方形ABCD的面积＝4个直角三角形的面积＋正方形PQRS的面积∴( a ＋b )2 ＝1/2 ab × 4 ＋c2a2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2 ＝c2证明方法二：图1中，甲的面积＝(大正方形面积) －( 4个直角三角形面积)。
图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。
因为图1和图2的面积相等，所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积即：c2 ＝a2 ＋b2证明方法三：四个直角三角形的面积和＋小正方形的面积＝大正方形的面积，2ab ＋( a －b ) 2 ＝c2，2ab ＋a2 －2ab ＋b2 ＝c2故a2 ＋b2＝c2证明方法四：梯形面积＝三个直角三角形的面积和1/2 × ( a ＋b ) × ( a ＋b ) ＝2 × 1/2 × a × b ＋1/2 × c × c(a ＋b )2 ＝2ab ＋c2a 2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2＝c2这是常用的四种方法，下面是另外的四种方法：【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴c2 ＝a2 ＋b2【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90º，QP∥BC，∴∠MPC = 90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP = 90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.∴c2 ＝a2 ＋b2【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90º，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌RtΔADE，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ≌RtΔABG ≌RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,∴∠ABG +∠CBJ= 90º,∵∠ABC= 90º,∴G,B,I,J在同一直线上，∴c2 ＝a2 ＋b2【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴c2 ＝a2 ＋b2。
勾股定理证明小论文[5篇模版]
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勾股定理证明小论文[5篇模版]第一篇：勾股定理证明小论文勾股定理勾股定理，指的是“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理虽然只是简单的一句话，但是它却有着十分悠久的历史，尤其是它那种“形数结合”的方法，影响到了不计其数的人。
勾股定理一直是几何学中的明珠，充满了无限的魅力。
早在很久以前，我们的前辈们就已经开始研究勾股定理了。
而中国则是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家将直角三角形称为勾股形，西周数学家商高曾在《九章算术》中说过：“若勾三，股四，则弦五。
”较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边则称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
并且勾股定理又称作毕达哥拉斯定理或毕氏定理。
数学公式中常写作据考证，人类对这条定理的认识，少说也有4000年，并且勾股定理大概共有几百个证明方法，也是数学定理中证明方法最多的定理之一。
接下来我们便介绍几种较有名气的证明方法。
1.】这是传说中毕达哥拉斯的证明方法：左图中是由2个正方形和4个相等的三角形拼成的，而右图则是由一个正方形和四个相等的三角形拼成，又因为两幅图中正方形的边长都是（a+b），面积相等，所以可以列出等式——证明了勾股定理。
2】下面就是中国古代数学家赵爽的证法：这个图形可以用两种不一样的方法列出两个不一样的等式，且都可以证明出勾股定理。
第一种方法是将这个正方形分成4个相同大小的三角形和一个大正方形，根据面积的相等，可以列出等式——式子为化简后的，最后得出。
第二种方法则是将图形看成4个大小相同的长方形和一个小正方形，即可列出等式以证明勾股定理。
这两种不同的方法非常简便，直观，充分体现了中国古代人们的聪明机智。
化简后也可3】欧几里得的勾股定理证明方法：如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于M。
通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得AB²+AC²=BC².除了这些，证明勾股定理的方法还有许许多多种。
勾股定理的简述与证明 论文
勾股定理的简述与证明论文勾股定理的简述与证明(论文)勾股定理的简述与证明勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c² 。
勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股数组成a²+b²=c²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a²+b²=c²这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
”常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。
古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
那么，勾股定理可以怎样推导呢？①加菲尔德证法加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。
在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，“总统证法”示意图②加菲尔德证法变式如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。
相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
勾股定理论文
勾股定理论文勾股定理是数学中的一个重要定理，它是解决直角三角形问题的基本工具。
勾股定理最早出现在古代中国的《周髀算经》中，其中记载了一种求直角三角形边长的方法。
勾股定理的数学表述是：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
勾股定理有着广泛的应用，不仅在数学中有重要作用，还应用于物理、工程等各个领域。
物理中常用勾股定理来解决力学和动力学问题，工程中常用勾股定理来计算建筑和桥梁的尺寸。
此外，勾股定理还可以应用于计算机图形学中的三维旋转和变换问题。
在数学证明中，勾股定理有多种证明方法。
其中最著名的是毕达哥拉斯的证明，他使用了几何构造的方法。
此外，还有代数证明、几何相似性证明等。
这些证明方法各有特点，但都能很好地解释为什么勾股定理成立。
勾股定理的应用广泛且重要，因此在数学教育中被广泛教授。
学生通常在初中阶段开始学习勾股定理，并通过求解直角三角形的问题来实践这个定理。
通过勾股定理的学习，学生能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
在我看来，勾股定理是数学中的一颗明珠，不仅有着深远的数学意义，也对现实生活有重要的实用价值。
勾股定理的出现，不仅丰富了数学的内容，也为其他学科的发展提供了重要的工具。
我相信勾股定理在未来仍然会发挥更大的作用，并且可能会有更多新的应用领域被发现。
总之，勾股定理是一个重要的数学定理，它在解决直角三角形问题和其他领域中具有广泛的应用。
通过学习勾股定理，不仅可以培养学生的数学思维能力，还可以帮助他们解决实际生活中的问题。
我相信勾股定理在数学研究和应用中的地位将会越来越重要。
数学勾股定理小论文
数学勾股定理小论文勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，接下来店铺为你整理了数学勾股定理小论文，一起来看看吧。
数学勾股定理小论文篇一“兴趣是最好的老师。
”在勾股定理的日常教学中，我们要注重学生兴趣的激发。
首先，老师在授课导入时可以给学生讲一下勾股定理的背景资料，如勾股定理的发展历史、勾股定理在日常生活中的运用和勾股定理的相关故事等。
这样不仅可以让学生了解勾股定理的文化知识，更可以调动学生学习的好奇心和学习兴趣。
其次，教师在具体授课中可以设计一些贴近生活的题目。
《义务教育数学课程标准》(实验稿)指出：“勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题”。
这也能让学生主动地参与到课堂中去，能起到激发学习兴趣的作用。
光有兴趣是不行的，还需要教师有好的教学方法。
一、教师教学方法的设计要结合学生基本特征在教学勾股定理时，教师要知道：初二学生已经对三角形及实数等一些知识有了些了解，初步具备了简单的分析和解决问题的基本技能;有了一些形象和抽象的思维能力;对勾股定理有所耳闻，但不具体。
二、设置勾股定理的教学情景问题1：你们能求出我们常见的边长为单位1的正方形的对角线是多长吗?问题2：a2+a2=b2这个式子中，你们知道a2、b2在几何中有什么意义吗?最后，让学生尝试画出能表达式子的图形。
这有利于学生打好基础，并建立数与形结合的概念。
三、改变过去填鸭式的教学，让学生学会自主合作探究可以让学生分成小组用折纸的方法来进一步直观地感受勾股定理的证明。
如图：(a+b)2=■ab・4+c2化简得：a2+b2=c2四、学以致用既然学习勾股定理，那么我们还要能对它进行灵活运用，但是在运用中一些学生会出现一些常见的错误，学生在审题时由于马虎会发现不了题目中的隐含条件。
如：在直角△ABC中，a、b、c分别为三角形的三边，∠B为直角，如果a=6 cm，b=8 cm，求边c的长。
勾股定理证明方法及论文
勾股定理论文初一（5）班庞博睿一、勾股定理的概述勾股定理是数学中极其重要的一个定理，是几何学中的明珠，充满了魅力，它揭示了直角三角形中三条边之间的关系，而且应用十分广泛。
勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，也是每年中考必考的重要知识点之一。
古今中外有不少数学家、物理学家，甚至有画家、政治家等都在寻求它的证明方法. 传说古希腊的毕达哥拉斯在找到一种证明方法后，欣喜若狂，便杀了100头牛来祭神，表示庆祝，所以勾股定理也被称为“百牛定理”.。
勾股定理是几何证明方法最多的一个定理，现在已经找到400多种证明方法，其中我们聪明睿智的祖先找到的就有200多种。
因此，勾股定理被说成是中国几何学的根源. 中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源都与勾股定理有密切的关系。
我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”，因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。
学习勾股定理时，应抓住三大关键：一是勾股定理及其逆定理的证明方法；二是勾股定理及其逆定理的应用；三是怎样寻找勾股数。
对于第二个问题，又应抓住四个方面：一是勾股定理在几何计算中的应用；二是勾股定理在几何证明中的应用；三是勾股定理及其逆定理的综合应用；四是勾股定理在代数证题中的应用。
勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，是中华数学的精髓。
几千年以来，有无数古今中外的学者对它进行了证明. 其中包括汉代的赵爽、魏晋时期的刘徽、美国总统伽菲尔德、著名画家达•芬奇……在初中数学中常常提到的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想. 在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想！中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。
尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
二﹑勾股定理的证明方法 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
勾股定理小论文
勾股定理小论文引言勾股定理是数学中一条非常重要的定理，它是直角三角形的基本性质之一。
勾股定理的发现和应用具有深远的影响，不仅在数学中有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本论文将介绍勾股定理的概念、历史背景、证明方法以及实际应用。
勾股定理的概念勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是关于直角三角形的一个性质。
它的表述是：在任意直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方，即a2+a2=a2，其中a和a分别为直角边的长度，a为斜边的长度。
勾股定理的历史勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪古希腊时期的毕达哥拉斯学派。
据传，毕达哥拉斯学派的创始人毕达哥拉斯和他的学生们发现了一个有趣的现象：当一个直角三角形的两个直角边的长度为3和4时，斜边的长度恰好是5。
这个发现被称为勾股定理。
不久后，他们还发现了其他直角三角形的边长之间的关系，进一步证明了勾股定理的普遍性。
勾股定理在古代被广泛应用于土木工程、测量学和天文学等领域。
许多建筑和纪念碑的设计和测量都依赖于勾股定理。
毕达哥拉斯学派的贡献对于现代科学的发展产生了深远的影响。
勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，下面介绍两种常见的证明方法。
几何证明几何证明是最常见的证明方法之一。
根据直角三角形的性质，可以通过构造几何图形来证明勾股定理。
最经典的证明方法是利用正方形的性质。
假设直角三角形的直角边为a和a，斜边为a。
可以构造一个边长为a+a的正方形，再在该正方形中划分出四个直角三角形（如图所示）。
geometry proof通过计算正方形的面积，可以得到(a+a)2=a2+a2+2aa。
另一方面，正方形的面积也可以表示为a2。
将两个表达式相等便可以得到a2+a2=a2，从而证明了勾股定理。
代数证明除了几何证明，还可以通过代数方法证明勾股定理。
一种常用的代数证明方法是假设a和a为正整数，利用平方差公式进行推导。
假设斜边的长度为$c = \\sqrt{a^2 + b^2}$。
【论文】勾股定理的表述和证明
勾股定理的表述和证明摘 要:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
本文简要叙述了勾股定理的来历和表述方法，并且详细的阐述了中国多位数学家运用几何图形割补法和数形结合的思想证明勾股定理的方法，和外国不同数学家的逻辑推理法、相似三角形法、梯形面积法等证明勾股定理的方法。
关键词:勾股定理 几何图形割补法 数形结合 逻辑推理法有关勾股定理的发现问题，各国各民族都有不同的记载，我们中华民族是最早了解和发现勾股定理的民族之一。
目前已知,勾股定理在中国最早的记载出现在《周髀算经》中。
该书卷上头记载了周公和商高的一段问答，商高指出夏代大禹治水时已经知道用“勾广三，股修四，径隅五”的办法来构成直角三角形，“求斜至目者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日”。
周公是约公元前1100年的人，商高是周朝时的大夫，而夏禹治水是公元前21世纪的事。
这段话出自商高之口，因而有人主张把勾股定理叫做“商高定理”。
至此，在我国经典著作中一般形式的勾股定理已明确地载人史册。
在国外，人们把勾股定理成为毕达哥拉斯(Pythagoras)定理。
，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯公元前550年首先发现的。
其实，我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕迭哥拉斯要早500多年。
一、勾股定理的表述根据人们对这一定理的不同理解，对勾股定理至少有3种不同的表述。
第一种是我们初中几何教科书中的表述：“直角三角形两直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方，即222c b a =+。
这里3条边a 、b 、c 表示的是数，其平方也是数，定理讲的是数与数之间的关系，并不考虑数的平方的几何意义，因而被“数的勾股定理”。
第二种是欧几里得《几何原本》中的表述：“在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形。
勾股定理证明方法通用六篇
勾股定理证明方法通用六篇勾股定理证明方法范文1勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想，如下图.S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=■=■. ②比较以上两式，便得a2+b2=c2.这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.勾股定理证明方法范文21本章内容概述直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c 的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.2编写时考虑的几个问题2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.课本练习是一种重要的教学资源。
勾股定理几种证明方法的探索与思考毕业论文
勾股定理几种证明方法的探索与思考摘要本文讨论了勾股定理的几种证明方法和勾股定理的一些应用。
Abstract In this paper, we discuss several methods of proof about Pythagorean proposition and applications of Pythagorean proposition.关键词勾股定理，证明，演绎法Key words Pythagorean proposition ，proof ，deductive method引言2002年8月第24届国际数学大会在北京召开，这是从国际数学大会举行以来首次在我国召开，说明了中国的数学在国际上的地位。
在本次大会上，随处都能看到一个旋转的纸风车，它就是这次大会的标志。
这个图形是根据赵爽《周脾算经注》中的“弦图一”为模板进行设计[1]的。
这个图案的设计充分说明了勾股定理在数学中的地位。
对于勾股定理的由来，各国各民族都有不同的文字记载，但中华民族是最早发现勾股定理的民族之一。
勾股定理是一坛千年佳酿，另人陶醉神往。
它以其简洁,优美的形式，丰富深刻的内容，展现了自然界的和谐与唯美。
1. 勾股定理的证明勾股定理是数学中一条有名的定理，它是几何学的基础知识，在《基础几何学》[2]中对它进行了详细的介绍。
目前勾股定理的证明方法已有500多种，每种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙。
1.1拼图法 拼图是数学中经常遇到的，它能充分体现出实践的作用，。
下面我们就用拼图的方法来证明勾股定理。
1.1.1拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ），把他们拼成一图.如图（1）在图1中，可以用两种方法把正方形ABCD 的面积表示出来， 即：(1) 2()s a b =+ (2) 2142s c ab =+⨯由此可得：221()42a b c ab +=+⨯ 化简后即为：222a b c +=1.1.2拼法二 ：用四个完全相同的直角三角形（直角边长分别为a,b,斜边长为c ）,如图2正方形ABCD 的面积也能用两种方法表示出来，即：（1）2s c = （2）21()42s a b ab =-+⨯由（1）（2）得 221()42c a b ab =-+⨯化简后可得到：222c a b =+不难发现拼法一与拼法二都是用四个直角三角形。
关于勾股定理的研究性论文
关于勾股定理的研究性论文关于勾股定理的研究性论文第一篇勾股定理论文：勾股定理的内容是aZ+bZ=eZ(a、b、e是直角三角形的三条边)。
我们以三角形的三条边组成三个正方形,通过割补移位,使两个正方形面积之和等于第三个正方形面积的形式,制作一幅投影片,用来配合勾股定理的推导,对教学十分有益。
一、片型抽拉旋转片二、制作方法1、底片。
画一个直角三角形,标出三条边a、b、“。
以“、b、“为稗长画三个正方形,其中“边组成的正方形用实线画出,均匀地涂上蓝色。
其他两个正方形用虚线画出,不涂色彩。
见图1。
图12、抽片(一)。
取一条长胶片,长约等于底片长的一倍半,宽等于底片宽的一半。
以b为边长,用实线画一个正方形,均匀涂上红色,见图2。
图23、抽片(二)。
取一条长胶片,长等于底片长的2倍,宽等于底片的宽。
以c为边长,用实线画一个正方形,在正方形内留出两个直角三角形的空白,三角形的大小与图l中的直角三角形相同,其余部分均匀涂上黄色,见图3。
图34、转片(一)。
用胶片剪一个直角三角形,大小与图1中的直角三角形相同,涂上黄色,以斜边和长直角边的交点为轴心打孔,准备装旋转铆钉,见图4。
图45、转片(二)。
同4所述,剪一个直角三角形,涂上黄色,以斜边和短直角边的交点为轴心打孔,准备装铆钉,见图5。
图56、将图4、图5所示的两个三角形,放在图3所示的正方形内,用铆钉分别将两个三角形固定在正方形的两个顶角上,使之能转动。
注意两个三角形的黄色与正方形内黄色一致,看上去是一个完整的正方形,见图6。
图67、将图2所示的抽片(一)水平插入图1所示的片框内,使图2中的正方形与图l中的b边组成的虚线正方形重合,能向右抽动,见图7下部。
图7将图6所示的抽片(二)按与底片直角三角形的斜边c垂直的方向,插人图1所示的片框内,使图6中的正方形与底片。
边组成的正方形重合,并能向右下方抽动,见图7。
三、使用方法1.如图7所示,讲直龙三角形的三条边分别是a、b、“,以氛b、c、为边一长的蓝色、红色、黄色三个正方形分别代表aZ、bZ、eZ。
论文浅谈勾股定理的证明方法
xx师范学院本科生毕业论文（设计）题目浅谈勾股定理的证明方法专业数学与应用数学院系数学与计算机科学学院学号xxxxxx姓名xxx指导教师xxxx答辩时间二0一二年五月论文工作时间：2011年12月至2012年5月浅谈勾股定理的证明方法学生：xxx指导老师：xxx摘要：本文讨论了勾股定理的证明和思想.这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”.（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”. 勾股定理,它描述的是直角三角形三边的数量关系.为什么叫勾股定理呢?这是中国古代的一种说法.所谓勾股,古人把一个弯曲成直角的手臂,上臂称为勾,前臂称为股,所以称之为勾股定理.勾股定理是数学中发现最早的一个定理.勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名.关键词：勾股定理；证明；思想；Application of the Pythagorean theorem inmathematicsUndergraduate: xxxxSupervisor: xxxxAbstract: This article discusses the proof of Pythagorean Theorem and geometry. This theorem in China is also known as the "business in foreign high theorem", called "the Pythagorean theorem" or "hundred cattle theorem". (Pythagoras discovered this theorem, namely cut per cow for celebration, also known as the "hundred cattle theorem"), the French, Belgians and called the theorem as the "bridge of asses." the Pythagorean Theorem, which describes the relationship between the number of the three side of a right triangle. Why is called the Pythagorean Theorem? This is an ancient Chinese saying. The so-called Pythagorean, the a bent at a right angle to the arm, upper arm called hook, forearm known as the unit, so called the Pythagorean theorem. The Pythagorean Theorem is a mathematical was found in one of the earliest theorem.The Pythagorean Theorem is the geometry of the Pearl; therefore it is full of charm. For thousands of years, people on the proof of it like a flock of ducks, including the famous mathematician, also have spare math enthusiasts; there are ordinary people, but also a distinguished political power, and even the country's president. Maybe because of the Pythagorean Theorem is important and simple, easier to attract people, repeatedly being demonstrated. 1940 published a book entitled "the Pythagorean proposition" the proof of Pythagorean Theorem album, some of which is very exciting, and some very simple, because some proof of identity of special and very famous.Keywords: Pythagorean theorem; proof; geometry;目录绪论 (1)1 勾股定理 (1)1.1勾股定理的历史 (1)1.2勾股定理的趣事 (2)2勾股定理的证明 (4)2.1传说中毕达哥拉斯的证法 (4)2.2赵爽弦图的证法 (5)2.3刘徽的证法 (5)2.4美国第20任总统茄菲尔德的证法 (6)2.5其他证法 (7)2.5.1欧几里德证明方法 (7)2.5.2梅文鼎证明 (8)2.5.3利用相似三角形性质证明 (9)3 勾股定理体现的数学思想 (9)3.1数形结合的思想 (10)3.2方程思想 (10)3.3分类思想 (11)3.4转化的思想 (12)总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)绪论勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理.对于勾股定理的由来，各国各民族都有不同的文字记载，但中华民族是最早发现勾股定理的民族之一.勾股定理是一坛千年佳酿，令人陶醉神往.它以其简洁,优美的形式，丰富深刻的内容，展现了自然界的和谐与唯美.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.1 勾股定理勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，古埃及人利用打结作直角三角形，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）.定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c1.1勾股定理的历史这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”.为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”.商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为 5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.赵爽：东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展的，十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子不可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦'就必定是5”.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的.1.2 勾股定理的趣事学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味. 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.他是这样分析的，如图所示：a因为21()2abcd S a b =+梯形 =221(2)2a ab b ++ abcd AED EBC CED S S S S =++梯形=221111(2)2222ab ba c ab c ++=+所以比较以上两个式子可得222c a b =+1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法. 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线.正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里.尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理.2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（Tang ram ），意思是中国图（不是唐代发明的图）.七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！2勾股定理的证明勾股定理是数学中有名的定理，它是几何学的基础知识，在《基础几何学》中对它进行了详细的介绍.目前勾股定理的证明方法已有很多种，基本上每种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙.本文就讨论几种具有代表性的证明方法以及一些具有探究性的证明方法，窥视勾股定理的奥妙. 2.1 传说中毕达哥拉斯的证法b a b b a a b aabc c c c c c b b左边的正方形是由1个边长为a 的正方形和1个边长为b 的正方形以及4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形拼成的.因为这两个正方形的面积相等(边长都是a b +)，所以可以列出等式22114422a b ab c ab ++⨯=+⨯， 化简得222a b c +=.在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂，最直观的方式展现出来了勾股定理奥妙.2.2 赵爽弦图的证法cb A DH E G F一般认为,中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家,是公元3世纪三国时的赵爽.赵爽为<周髀算经>作注,给出弦图和一名为“勾股圆方图说”的短文. 以a 、b 为直角边（b a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 因为RT DAH ≌RT ABE所以HDA EAB ∠=∠因为90HAD HDA ∠=∠=所以90EAB HAD ∠+∠=因为EF FG GH HE b a ====-所以2ABCD c c .是一个边长为的正方形，它的面积等于因为90HEF ∠=所以EFGH b a .―是一个边长为的正方形，它的面积等于()22214c a b ab =-+⨯222a b c .∴+= 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.事实上，“数形统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”2.3 刘徽的证法c D ab ABC第一种方法：边长为c 的正方形可以看作是由4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的直角三角形围在外面形成的.因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式2214()2c ab a b +⨯=+ 化简得222a b c .+=第二种方法：边长为c 的正方形可以看作是由4个直角边分别为a 、b ，斜边为c 的三角形拼接形成的，不过中间缺出一个边长为b a -的正方形“小洞”.因为边长为c 的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式 ：221()42c b a ab =-+⨯ 化简得： 222a b c .+=这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲.2.4 美国第20任总统茄菲尔德的证法a以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.因为EAD CBE Rt Rt ≌故有 ADE BEC ∠=∠90AED ADE ∠+∠=90AED BEC ∠+∠=所以 180 90 90.DEC -∠==即DEC ∆是一个等腰直角三角形，它的面积等于212C . 又因为 90, 90DAE EBC ∠=∠=所以AD BC所以 ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于21()2a b + 则22111()2222a b ab c +=⨯+ 所以 222a b c +=.这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话.2.5 其他证法除了前面讨论的证明方法，下面讨论一下其他的一些证明方法，同样非常值得我们探究学习.2.5.1 欧几里德证明方法在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明. 设△ABC 为一直角三角形，其中A 为直角.从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理： • 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS 定理） • 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. • 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. • 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结,BF CD . 过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .因为,AF AC AB AD ==FAB GAD ∠=∠ 所以 FAB GAD ∆≅∆因为 FAB ∆的面积等于212aGAD ∆的面积等于矩形ADLM 的面积的一半所以矩形ADLM 的面积 等于2a 同理可证，矩形MLEB 的面积等于2b因为正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 所以222b a c +=，即222a b c +=.这种方法简单易懂，灵活运用了几何和代数方法的结合.2.5.2 梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E F 、、在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .因为D E F 、、在一条直线上, 且Rt GEF Rt EBD ≅ 所以 EGF BED ∠=∠因为 90EGF GEF ∠+∠=90BED GEF ∠+∠= 所以 1809090BEG ∠=-= 又因为AB BE EG GA c ====所以 ABEG 是一个边长为c 的正方形. 故有90ABC CBE ∠+∠= 因为Rt ABC Rt EBD ≅ 所以ABC EBD ∠=∠ 90EBD CBE ∠+∠= 即90CBD ∠=又因为90,90BDE BCP ∠=∠= BC BD a ==所以BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则221a b 22s ab +=+⨯2122c s ab =+⨯所以 222a b c +=2.5.3 利用相似三角形性质证明AB如图，在直角ABC ∆中，设直角边AC BC 、的长度分别为,a b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD AB ⊥，垂足是D .ADC ACB ∆∆在和中，因为 90ADC ACB ∠=∠= CAD BAC ∠=∠ 所以 ADC ACB ∆∆∽::AD AC AC AB = 即 2AC AD AB =⨯同理可证， CDB ACB ∆∆∽，从而有2BC BD AB =⨯ 所以222()AC BC AD DB AB AB +=+⨯=，即222a b c +=. 大家都知道勾股定理的证明方法实在是太多了，据目前估测就已有500多种，在这里本文就一些勾股定理的证明方法作一些浅谈，以显示勾股定理证明的博大精深和丰富的内涵，为什么这么多人会对勾股定理的证明作如此深入的探究，这个问题我希望能够引起大家对勾股定理的兴趣，为勾股定理的证明多做一些思考和探究.同时引起大家对数学的兴趣和对数学的探究，为数学研究做出自己的努力.3 勾股定理体现的数学思想掌握基本数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆.本文阐述了勾股定理应用中所蕴含的四种数学思想，从而使复杂的问题简单化.在教学中，我们必须充分重视数学思维的培养，并注意各种思维方式的应用，通过具体的，解决数学问题的独立探索和专研，领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的严密性、灵活性等思维品质，达到举一反三、概括迁移、融会贯通的效果.勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常涉及到一些常用的数学思想.3.1 数形结合的思想数形结合思想即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化.例1 如图1，把矩形纸条ABCD 沿,EF GH 同时折叠， ,B C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若6,8,90===∠︒PH PF FPH ,则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）..20A .22B .24C .30D解：由题意知,PF BF GH HC ==因为︒=∠90FPH所以10FH =所以810624BC BF FH HC PF FH PH =++=++=++= 选C .3.2 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见.图1图2A例2.如图2，ABC Rt 中，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E .（1）求证： AOC AOD ∆≅∆（2）若1BE =，3BD =，求O 的半径及图中阴影部分的面积S .解：第（1）问，与勾股定理无关，在这里不解答.在解答（2）时可以直接利用（1）的有关结论.（2） 设半径为r ，在Rt ODB ∆中，2223(1)r r +=+，解得4r =.由（1）有AC AD =,所以2229(3)AC AC +=+解得12AC =所以1122S AC BC =⨯-2211129454822r πππ=⨯⨯-⨯=-.3.3 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得完整的问题的解答.数学里的许多问题，只有用分类讨论的思想才能保证解答完整准确，做到“不漏不重”.例3、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.（1）如图3，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2）如图4，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3）如图5，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图6所示，且1120AOA ∠=，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .1图6图5图4图3AAA1A A A 1解：（ 1 ）555)55(22121=++=+=CC AC AC （ 2 ） ①2216)55(++=AC =136 ② 1465)56(221=++=AC 因为146﹥136所以最短路程为342cm（ 3 ）由已知得所求的最短的路程为341=AA .3.4 转化的思想原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题.”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.可见，转化是解数学问题的一种重要方法.数学解题的过程实际就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答. 例4.π 将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的 圆锥的高为 ( )A B C D 解：解答本题的关键是要把空间图形的问题设法转化为平面图形的问题.圆锥的母线长为弧长所在圆的半径，而弧长等于圆锥底面圆周长，在圆锥中构造直角三角形，求得h ==所以，选B .在数学教学中，如果我们加强了数学基本思想方法的教学，并注重思维训练，可优化学生的思维，有助于学生能力的迁移，更能提高数学的教学质量. 数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容.数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的.数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁.教师在平时教学中要让学生在学习中注意总结提炼，相互讨论，在解题的同时掌握有关的数学思想方法.总结勾股定理是中学数学中解决问题的基本定理之一，作为学学习数学的基础学习工具.本文共用三个章节来讨论勾股定理，第一章简单描述了勾股定理的历史背景，这样可以让同学更进一步地了解勾股定理，另外，提出了有关勾股定理的趣闻趣事，这样可以提高大家对勾股定理研究学习的兴趣.第二章主要是浅谈了几种有关勾股定理的证明方法，以几种经典的证明方法为引子，浅谈了几种从不同角度思考来证明勾股定理的方法，可以让大家更深入地理解勾股定理的结构，对勾股定理的证明可以从不同角度去思考，启迪同学面对同一问题要从不同的角度来思考和看待问题.第三章主要用举例来叙述勾股定理所蕴含的几种思想及简单应用，学习了这些思想在解决数学中很多问题就迎刃而解.学好勾股定理对以后探究很多学术问题和实际生活中的问题都有很大帮助，所以学好勾股定理相当重要，对勾股定理证明方法的探究也有很高的价值.。
数学勾股定理论文
数学勾股定理论⽂ 勾股定理是数学史上⼀个伟⼤的定理,同时也是⼀个历史悠久的定理.下⾯店铺给你分享数学勾股定理论⽂，欢迎阅读。
数学勾股定理论⽂篇⼀ 数学思想是数学知识的精髓，⼜是把知识转化为能⼒的桥梁.灵活运⽤数学思想，能够有效地提⾼分析问题和解决问题的能⼒，增强应⽤数学知识的意识.在《勾股定理》这⼀章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下. ⼀、⽅程思想 在含有直⾓三⾓形的图形中，求线段的长往往要使⽤勾股定理，如果⽆法直接⽤勾股定理来计算，则需要列⽅程解决. ⼆、化归思想 化归思想就是通过⼀定的⽅法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另⼀类已经解决或易于解决的问题，从⽽使原来的问题得到解决. 例3如图3，长⽅体的长为15cm，宽为10cm，⾼为20cm.点B与点C的距离为5cm，⼀只蜗⽜如果要沿着长⽅体的表⾯从点A爬到点B，需爬⾏的最短路程是多少? 分析：由于蜗⽜是沿着长⽅体的表⾯爬⾏的，故需把长⽅体展开成平⾯图形.根据两点之间线段最短，蜗⽜爬⾏的较短路程有两种可能，如图4、图5所⽰.利⽤勾股定理容易求出两种图中AB的长度，⽐较后即可求得蜗⽜爬⾏的最短路程是25cm. 说明：这⾥通过长⽅体的展开图，把⽴体图形转化为平⾯图形，把求蜗⽜爬⾏的最短路程问题化归成利⽤勾股定理求两点间的距离问题. 例4如图6，是⼀块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732). (2004年天津市中考题) 分析：图中⽆直⾓三⾓形，怎么办?联想到含30O⾓的直⾓三⾓形，因⽽延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m. 说明：本题充分利⽤已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直⾓三⾓形问题. 三、数形结合思想 数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语⾔与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从⽽达到迅速解题的⽬的. 例5在⼀棵树的10m⾼处有两只猴⼦，其中⼀只爬下树直奔离树20m的池塘，⽽另⼀只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴⼦经过的距离相等，问这棵树有多⾼?(2005年福建省龙岩市中考题) 分析：依题意画出⽰意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树⾼AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得⽅程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树⾼15m. 说明：勾股定理本⾝就是数形结合的⼀个典范，它把直⾓三⾓形有⼀个直⾓的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利⽤勾股定理解决实际问题，关键是利⽤数形结合思想将实际问题转换成直⾓三⾓形模型，再利⽤⽅程来解决. 四、分类讨论思想 在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟⼀时，往往会产⽣⼏种可能的情况，这就需要依据⼀定的标准对问题进⾏分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是⼀种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学⽅法. 例6 ⼀直⾓三⾓形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______. 分析：此题中已知⼀个直⾓三⾓形的两边长，并没有指明是直⾓边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm. 例7“曙光中学”有⼀块三⾓形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40⽶，BC = 25⽶，请你求出这块花圃的⾯积. (2003年⿊龙江省中考题) 分析：由于题⽬中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论. 在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)⽶2; 在图9中，S△ABC= 10(2015)⽶2. 说明：此类问题由于题⽬中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周⽽导致漏解，希望同学们⽤⼼体会. 五、整体思想 对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着⼿，则难以求解;如果把问题的某个部分或⼏个部分看成⼀个整体进⾏思考，就能开阔思路，较快解答题⽬. 例8已知⼀个直⾓三⾓形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三⾓形的⾯积为______. 分析：设这个直⾓三⾓形的两条直⾓边长为，斜边为，则 = 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三⾓形⾯积S == 30cm2. 说明：我们要求的是⾯积，即，不⼀定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可. 例9 如图10所⽰，在直线上依次摆放着七个正⽅形.已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别是1，2，3，正放置的四个正⽅形的⾯积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题) 分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由⾓的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌△CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4. 说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，⽽是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应⽤. 数学勾股定理论⽂篇⼆ 数学思想⽅法是以具体数学内容为载体，⼜⾼于具体数学内容的⼀种指导思想和普遍适⽤的⽅法.它能使⼈领悟到数学的真谛，并对⼈们学习和应⽤数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作⽤.⽇本数学教育家⽶⼭国藏认为，学⽣在进⼊社会以后，如果没有什么机会应⽤数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到⼀两年就会忘掉，然⽽不管他们从事什么业务⼯作，那种铭刻在⼈脑中的数学精神和数学思想⽅法，会长期地在他们的⽣活和⼯作中发挥重要作⽤.灵活运⽤数学思想⽅法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下⾯以勾股定理中渗透的数学思想为例说明. ⼀、分类思想 例1.(2013年贵州黔西南州)⼀直⾓三⾓形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( ) 点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直⾓边，从⽽误选A，犯了考虑问题不全⾯的错误. ⼆、⽅程思想 例2.(2013年⼭东济南)如图1，⼩亮将升旗的绳⼦拉到旗杆底端，绳⼦末端刚好接触到地⾯，然后将绳⼦末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳⼦末端距离地⾯2m，则旗杆的⾼度(滑轮上⽅的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m 分析：观察图形，当绳⼦末端拉到距离旗杆8m处，可过绳⼦末端向旗杆作垂线，这样可以得到⼀个直⾓三⾓形，然后设旗杆的⾼度为未知数，进⽽运⽤勾股定理列⽅程求解. 解：如图2，设旗杆的⾼度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2. 解得x=17m，即旗杆的⾼度为17m，答案选D. 三、整体思想 例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对⾓线长为4，则矩形的⾯积为____________. 分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.⽽矩形的⾯积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式⼦. 解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2. 五、数形结合思想 例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平⾯直⾓坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三⾓形时，点P的坐标为________. 分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三⾓形，可以点O为圆⼼，OD为半径作圆;也可以点D为圆⼼，OD为半径作圆. 解：由C(10，0)可知OD=5. (1)以点O为圆⼼，OD为半径作圆交边 六、构造思想例6.同例3 分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法. 数学勾股定理论⽂篇三 正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运⽤勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，⽅法简便快捷.下⾯列举在应⽤勾股定理时经常⽤到的数学思想，供同学们参考. ⼀、⽅程思想 ◆例1如图1，有⼀块直⾓三⾓形纸⽚，两直⾓边AC=6cm，BC=8cm，现将直⾓边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm 分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因⽽有ΔACD ≌ΔAED .进⼀步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.⼜因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B. ⼆、转化思想 ◆例2如图2，长⽅体的⾼为3cm，底⾯是正⽅形，边长为2cm.现有⼀⼩⾍从A出发，沿长⽅体表⾯爬⾏，到达C处，问⼩⾍⾛的路程最短为多少厘⽶? 分析：求⼏何体表⾯最短距离问题，通常可将⼏何体表⾯展开，把⽴体图形转化为平⾯图形.对于此题，可将该长⽅体的右表⾯翻折⾄前表⾯，使A、C两点共⾯，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即⼩⾍所⾛的最短路程为5cm. 三、分类讨论思想 ◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的⾼AD=12，试求BC的长. 分析：三⾓形中某边上的⾼既可在三⾓形内部，也可在三⾓形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的⾼AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的⾼AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7. 四、数形结合思想 勾股定理本⾝就是数形结合的定理，它的验证和应⽤，都体现了数形结合的思想.这⾥不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。
勾股定理的论文1
摘要：勾股定理是几何学中一颗光彩熠熠的明珠，充满着魅力。
它被世人称为“几何学的基石”，是人类最伟大的十个科学发现之一.它是我们全人类共同的财富，不论是古埃及人，古巴比伦,亦或是我们中国人最早发现了它，显然不是任何一个民族的私有财产.勾股定理在高等数学和其他学科中有着极为广泛的应用。
总之，在勾股定理的探索上，我们走向了数学科学的殿堂。
关键词：勾股定理，应用Abstract：Pythagorean theorem in geometry is a gleaming pearl, full of charm。
It is the world known as ”the cornerstone of geometry， "is humanity's greatest scientific discoveries of the ten。
It is our common wealth of mankind， whether ancient Egyptian, Babylonian， or we Chinese people have first discovered it, is clearly not the private property of any nation. Pythagorean theorem in higher mathematics and other disciplines has a very wide range of applications. In short, the exploration of the Pythagorean theorem, we went to the temple of Mathematical Sciences.Key words：Pythagoras Theorem，application目录1 引言 (4)2 内容 (4)3 证明 (4)3.1 赵爽弦图法 (5)3.2 刘徽面积割补法 (6)3.3 毕达哥拉斯面积剖分法 (7)3。
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勾股定理的证明
方法一：课本内的方法
如图所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。
即(a+b)2= 4(1/2ab)+c2，化简后为：a2 + b2=c2。
方法二
以a,b为直角边（b＞a），以c为斜边作4个全等的直
角三角形，则每个直角三角形的面积为1/2ab。
把这4个三角形拼成如图所示的正方形。
∵Rt△DAH≌Rt△ABE
∴∠HDA=∠EAB
∵∠HDA+∠HAD=90°
∴∠HAD+∠EAB=90°
∵ABCD是个边长为c的正方形，面积为c2
又∵∠HEF+∠BEA=180°
∴∠HEF=90°
∴EFGH是一个边长为b-a的正方形，面积为（b-a）2
∴4×1/2ab+（b-a）2=c2
∴a2 + b2=c2
方法三：
C
以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab。
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A,E,B三点在一条直线上。
∵RtEAD≌Rt△CBE
∴∠ADE=∠BEC
∵∠AED+∠ADE=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∴∠DEC=180°—90°=90°
∴△DEC是一个等腰直角三角形，面积为1/2 c2
又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°
∴AD∥BC
∴ABCD是个直角梯形，面积为1/2（a+b）2
∴1/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2
∴a2 + b2=c2
方法四：
作三个变长分别为a,b,c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，是H,C,B三点在一条直线上，连接BF,CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。
∵AF=AC , AB=AD
∠FAB=∠GAD
∴△FAB≌△GAD
∵△FAB≌△GAD
∵△FAB的面积为1/2a2.
△GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半。
∴矩形ADLM的面积为a2 ，同理可得，矩形MLEB的面积为b2
∵矩形ADLM+矩形MLEB的面积=矩形ADEB的面积
∴a2 + b2=c2
如上列举了的4种方法，都较为简洁、通俗的证明了勾股定理。
勾股定理的证明方法仍然在不断增加，探究也在不断深入。