1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-4
《微分中值定理》课件
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
大学数学分析ppt课件
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
数学分析第6章 微分中值定理及其应用
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
f (a 0), x a
证明提示: 设 F(x) f (x), a x b
f (b 0), x b 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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若 M = m , 则 f (x) M , x [a , b] ,
因此 (a , b), f ( ) 0 .
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
f
(
x)
x,
0
,
0 x 1 x 1
y
o
1x
y
f (x) x
x [1,1]
1 o 1 x
f (x) x x [0,1]
y
o 1x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
y f (x) 在 ( a , b ) 内可导, 且
ba
f (b) f (a) f '( )(b a) a b f (b) f (a) f '(a (b a))(b a) 0 1
f (a h) f (a) f '(a h)h 0 1
即为函数值之差与导数关系式,今后凡遇到函数 值之差与导数值关系的问题,想法用中值定理
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
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微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
《高等数学课件：微分中值定理及应用》
泰勒展开公式，可以近似表示函数的
变化情况。
3
概念解释
泰勒中值定理是微分中值定理的一种 推广形式，能够更精确地描述函数在 某一区间内的变化。
实际应用
泰勒中值定理在工程建模、物理实验 和经济预测等领域中具有重要的应用 价值。
八、中值定理的应用
应用领域
中值定理在数学、物理、经济 和工程等领域的建模、分析和 问题求解中得到广泛应用。
原理解释
微分中值定理基于连续与 可导函数之间的关系，揭 示了函数导数在特定区间 内的性质。
二、一阶微分中值定理
定理内容
一阶微分中值定理描述了函数 沿着一条曲线的切线上的某一 点与曲线在该点的斜率之间的 关系。
几何意义
可以通过一阶微分中值定理来 分析函数在某一点的变化趋势 和曲线的凹凸性。
常见应用
一阶微分中值定理在求解最值、 优化问题和曲线绘制中具有广 泛应用。
五、柯西中值定理
定理概述
柯西中值定理是微分中值定理 的一种推广形式，适用于描述 两个函数的差商与导数之间的 关系。
图形解释
柯西中值定理可以通过观察函 数图像来理解，它描述了两个 函数之间的相对变化情况。
常见应用
柯西中值定理在求解方程根、 曲线相交和函数求导等问题中 有广泛的应用。
六、罗尔中值定理
金融学中的应用
中值定理可以用来解释金融市 场的波动、利率的变化和投资 收益的计算。
工程技术中的应用
中值定理可以应用于工程设计、 优化问题和自动控制系统的分 析与设计。
1 定理介绍
拉格朗日中值定理是一种特 殊的微分中值定理，描述了 函数在某一区间内的平均变 化率与导数之间的关系。
2 几何意义
拉格朗日中值定理可以用来 解释曲线的切线与曲线上其 他点的关系，帮助我们理解 函数的整体变化。
数学分析-第六章微分中值定理及其应用5 共27页
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
6B
C
1
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
f(x)4(xx 21)2
例3
作函(数 x)
1
x2
e2
的图 . 形
2
解 D:(, ), W:0(x) 1 0.4. 2
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] , 得铅直渐近 x线 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f(x) 0
不存在
f(x) f (x)
0
解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
令 f(x)0,
得特殊x点 1. 3
补充点:
A(1,0),
B(0,1), C (3 , 5). 28
第二步 求 出 方 程 f'(x)0和 f"(x)0在 函 数 定 义 域 内 的 全 部 实 根 ， 用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不 存 在 的 点 把 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 分 区 间 .
1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-4
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的情形, 对于 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) = 0 的情形 可借助于更高 阶的导数来判别. 阶的导数来判别 定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的 某邻域内存在直到 ( n 1) 阶的导数, 且 f ( n ) ( x0 )
3+ 5 当x> 时 , f ′( x ) < 0 . 2
所以 x1 是 f ( x ) 的极小值
f ′( x ) > 0 ;
y
4
y = 3arctan x ln x
2
点,x2 是 f ( x ) 的极大值点 .
(参见右图) 参见右图)
O x1
x2 4
x
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例2 求函数 f ( x ) = ( x a ) x 的极值点与极值 . 解 f ( x ) = x ax 在 ( ∞ , +∞ ) 上连续 .
那么 x = x0 是 f ( x ) 的一个极值点 , 并且
(i) f ′′( x0 ) > 0, 则 f ( x ) 在 x = x0 处取极小值. (ii) f ′′( x0 ) < 0, 则 f ( x ) 在 x = x0 处取极大值 .
同样我们仅证(i). 因为 证 同样我们仅证 f ′ ( x ) f ′( x 0 ) f ′( x ) f ′′( x0 ) = lim = lim > 0, x → x0 x → x0 x x x x0 0
2a 是极大值点, 即 x= 5
1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-3
泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
例1 验证下列公式
1. ex 1 x x2 xn o( xn );
1! 2!
n!
2. sin x x x3 (1)m1 x2m1 o( x2m );
问题: 是否存在一个 n次多项式
Pn ( x), 使得
f ( x) Pn( x) o((x xo )n )?
答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多
项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)
有什么关系？
设
Pn( x) a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n ,
Q (n1) n
(
x0 )
0
,
Qn( n ) (
x0 )
n!
则当 x U ( x0 ) 且 x x0 时，连续使用 n –1 次洛
必达法则, 得到
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
lim
x x0
Rn ( x) n( x x0 )n1
lim
x x0
Rn(n1) ( x) n!( x x0 )
Pn ( x) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
f ( x) D( x) xn1 , Pn( x) 0,
在 x0 0 处满足 (4) 但是当 n > 1 时,
Pn ( x) 不是
f (x) 在点
x的0 n阶0泰勒多项式, 原因是 f (x)
在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存
§3 泰勒公式
多项式函数是最简单的函数.用多项 式来逼近一般的函数是近似计算的重 要内容,也是数学的研究课题之一.
《微分中值定理》课件
2
高阶导数的定义
解释高阶导数的概念和意义，以及它在微分中值定理中的应用。
3
集中型与散布型表述
用集中型表述和散布型表述两种方式来理解高阶微分中值定理。
4
示例
通过具体的案例，演示高阶微分中值定理的应用和实际意义。
应用
最值问题
通过微分中值定理，我们可以解决一些与最值有关的问题，如寻找函数在某个区间内的最大 值或最小值。
《微分中值定理》PPT课 件
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下的平均 变化率？
微分中值定理是用来研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间 的关系的定理。
通过微分中值定理，我们可以推导出很多重要的结论，从而更好地理解函数 的性质和行为。
函数增减性及局部极值
微分中值定理可以帮助我们研究函数的增减性和局部极值点的存在性和位置。
平均值定理
微分中值定理中的平均值定理是函数平均变化率与瞬时变化率之间的关系的重要推论。
总结
微分中值定理的意义和 应用
微分中值定理是理解函数性 质和行为的重要工具，它帮 助我们研究函数的变化规律 和特性。
注意事项
一阶微分中值定理
1
集中型与散布型表述
2
一阶微分中值定理可以用集中型表述和
散布型表述两种不同的方式来描述。
3
公式推导
利用一阶导数的性质，推导出一阶微分 中值定理的公式。
示例
通过实际的例子，展示一阶微分中值定 理的应用和意义。
高阶微分中值定理
1
公式推导
通过对高阶导数进行推导，得到高阶微分中值定理的公式。
使用微分中值定理时需要注 意条件的限制和推导过程的 合理性，以确保结果的准确 性和可靠性。
《微分中值定理》课件
目录
• 微分中值定理的概述 • 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理 • 泰勒中值定理
01
微分中值定理的概述
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
罗尔定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，且$f(a) = f(b)$，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = 0$。
拉格朗日中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内 至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明 过程。
详细描述
通过构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)[f(b)-f(a)]*(x-a)/(b-a)，利用罗尔定 理证明存在ξ属于(a, b)，使得g'(ξ)=0 ，从而得到拉格朗日中值定理的结论 。
应用三
研究极值问题。柯西中值定理可以用于研究函数的极值问题，通过分 析导数的符号变化，可以判断函数在某点是否存在极值。
05
泰勒中值定理
泰勒中值定理的表述
《数学分析》第六章微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）§ 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。
基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。
还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证 设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证 把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解 设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证 取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时 ）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用函数的极值与最大(小)值课件
极值判别
费马定理告诉我们，可微函数的极值点一定是稳
定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 定是水平的. 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提 条件，费马定理的结论 f ( x ) 0 就无从说起.
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极值判别
当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 的可微函数 ( x ) , (0) 0,
极值判别
( 2) a 0
2a x ( , ) 5 2a 5 0
3 2 5 a3 5 5
2 3
y
2a 0 ( , 0) 5 不存在
减
极小值
2 3
(0, )
增
y
增
a 2a 2 5 2 3 是极大值点, f a 3 即 x 5 5 5 5
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以 知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i) 的证明.
极值判别
因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ]
上连续， 故 所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
于是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x0 ) f ( x ) , x U ( x0 ; ) ,
f ( x ) 2 x 432 . 2 x 令 f ( x ) 0, 得x 6 . 又因为
《高等数学课件：微分中值定理及其应用》
总结及展望
微分中值定理的应用 前景
微分中值定理在数学、物理、 工程、生物等领域都有着广泛 的应用，并且仍有很大的拓展 空间。
பைடு நூலகம்微分中值定理在其它 学科的应用
微分中值定理不仅在数学中有 着广泛的应用，还被用于描述 自然界中各种现象，如气体分 布、电场、声波等。
未来研究方向
未来的研究方向包括微分中值 定理的进一步推广、新的微分 中值定理的发现、微分中值定 理的计算机化研究等。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微分中 值定理的基本形式之一，它 不仅易于掌握，而且具有广 泛的应用。
多元函数微分中值定理
多元函数微分中值定理是微 积分学中的重要内容之一。 与单变量函数的微分中值定 理不同的是，多元函数微分 中值定理中需要用到偏导数 的概念。
微分中值定理的应用
函数极值问题
微分中值定理在函数极值问题中 有广泛应用，可以用来证明存在 极值，求出极值等。
弧长公式及其应用
泰勒公式及其应用
微分中值定理可以用来证明弧长 的计算公式，进而在计算弧长、 曲率半径等方面有着重要的应用。
泰勒公式是微积分学中的重要内 容之一，其应用涉及到数值计算、 极值、最小二乘拟合、函数逼近 等方面。
微分中值定理的证明
1
利用可导函数的解析表示证明微
2
分中值定理
微分中值定理可以通过用可导函数的解
1 广义中值定理
2 高阶微分中值定理
广义中值定理是微分中值定 理的一般化，它允许函数在 某些点上不必连续或不可导。
高阶微分中值定理是微积分 学中的重要内容之一，它比 基本的微分中值定理更加深 入，适用范围也更广。
3 各类变形微分中值定理
除了基本的微分中值定理、广义中值定理、高阶微分中值定理外，还 有各种各样的变形微分中值定理，如反常中值定理、位相中值定理等。
第6章微分中值定理及其应用 6-6
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5 x
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y
(x
2
1)x 3
的图象.
解 f ( x) 的定义域：x (, ).
f
( x)
5 3
x
2 3
2 3
x
1 3
5x 2 33 x
,
f ( x)
10 9
x
1 3
2 9
x
4 3
10x 2 . 9x 3 x
由
f ( x) 0, 解得 x
2 5
;
x0
时, f ( x) 不存在.
由
f ( x) 0, 解得
xபைடு நூலகம்
1 5
;
x
0 时, f ( x) 不存在.
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2
f
2 5
3 25
3
20
为极小值,
1 ， 5
6 5
1 5
3
为拐
点, f (0) 0 为极大值.
下面列表表示 y f ( x) 的单调区间 ( f ( x) 的变号
区间) 和凸性区间 ( f ( x) 的变号区间).
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x (, 1 )
1
( 1 ,0) 0
2 (0, )
2 ( 2 , )
5
5
5
5 55
f ( x) +
不
+
+ 存在
0
+
f ( x) f (x)
凹增
不
0
+ 存在 +
+
+
拐点
数学分析 第六章 中值定理ppt课件
即f()f(b )f(a)0
ba f()f(b)f(a).
ba
或 f ( b ) f ( a ) f ()b ( a ).
25.03.2020
拉格朗日中值公式
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f(b ) f(a ) f()b ( a ). 拉格朗日公式
在区[a间 ,x]上用 L定理得 f(x ) f( a ) f()(x a ).
且 f( 0 ) 1 ,f( 1 ) 3 . 由零点定理 x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 , 使 f(x1)0. f(x)在x0,x1之间满足罗尔 件定理的条
至少存 (在 x 在 0,x 1之 一 )使 ,间 个 得 f()0.
f(x ) 2 (x 1 ),取 1 ,(1 ( 1 ,3 ))f()0.
25.03.2020
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【证】 f(x)在 [a,b]连,续 必有最M 大 和值 最小 m. 值 (1)若 Mm. 则f(x)M .
由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0.
(2)若 Mm . f(a)f(b), 最值不可能同时在取端得.点设 Mf(a),
2
22
例4 若 f ( x ) g ( x )则 ,f ( x ) g ( x ) C .
证明： 令 F (x ) f(x ) g (x ) F ( x ) f ( x ) g ( x ) 0 ,
F (x ) C , 即 f(x ) g (x ) C .
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f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( )( ( a , b ) ).
f ( x ) f ( a ) f () ( x a )(介 x ,a 之 于 ).
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对于 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别.
定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的 某邻域内存在直到 ( n 1 )阶 的 导 数 ,且 f( n ) ( x 0 )
存 在 . 若 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( n 1 ) ( x 0 ) 0 ,
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例1 求函数 f(x)(xa)x32的极值点与.极值 解 f(x)x5 3ax2 3在 ( , )上 连 续 .
当x0时, f(x)53x23 23ax13 313 x(5x2a).
当 a 0 时 , 稳 定 点 为 x 2 5 a , 不 可 导 点 为 x 0 ; 当a0时，稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
故 f ( x ) f ( x 0 ) , x U ( x 0 ; ) , 即 x 0 是 极 小 值 点 ;
又 当 f(n )(x 0 ) 0 时 ,有
n ( x ) ( x x 0 ) n 0 ,x U ( x 0 ;) ,
故 f ( x ) f ( x 0 ) , x U ( x 0 ; ) , 即 x 0 是 极 大 值 点 .前页 后页 返回Fra bibliotek 前页 后页 返回
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定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x 0 连 续 ， 在 某 邻 域 U ( x 0 ; ) 上 可 导 .
( i ) 若 当 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , 当 x (x0,x0)
( ii)当 n 为 奇 数 时 ,有
(xx0)n 0 0,,
x(x0,x0), x(x0,x0).
从 而 n ( x ) ( x x 0 ) n 在 x 0 左 右 两 侧 异 号 ,这就说明
了 x 0 不是极值点.
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例 3 求 函 数 f ( x ) x 4 ( x 1 ) 3 的 极 值 . 解 由 f ( x ) x 3 ( x 1 ) 2 ( 7 x 4 ) 0 ,求 得x10, x21,x37 4是 稳 定 点 .又 因
5
a3
是极小值.
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(2) a0
x ( , 2a ) 2 a
5
5
y
0
(2a ,0) 0 5
不存在
2
y
3 5
2 5
3
a
5 3
极小值
(0, )
即
x25a是极大值点, f
2a 5
53
2
23 5
5
a3
是极 ;x 0 是 大极 值 ,f(0 ) 小 0 是 值 极 . 点
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例 2 求 f (x) x2 4x32的极值点与极. 值 解 f(x)的定义x域 0,为
f (x) 2x4x32 2. 令 f(x)0,得 x6.又因为
f(6)28636 460, 由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值.
试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
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为了更好地加以判别，我们列表如下：
(1) a0
x (, 0) 0
(
0
,
2a 5
)
2a 5
y 不存在 0
(
2a 5
,
)
y
0
3 5
2 5
2
3
a
5 3
即 x 0 是 极 大 值 点 ， f ( 0 ) 0 是 极 大 值 ;
x2a是极小值点,f 5
2a 5
3 5
223 5
y
1
x1
-1 O
1
x
-1
-2
(1)
5
(3) a0, f(x)x3.
y
1
-1 O -1
(2)
1x
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定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0
的 某 邻 域 U ( x 0 ; ) 内 可 导 ， f ( x 0 ) 存 在 . 若 f(x0)0, f(x0)0,
f(x 0 )n (x )(x x 0 )n .
其中
n(x)
f(n)(x0) o(1), n!
它在某邻域
U(x0;)
内恒与 f (n)( x0 ) 同号.
( i ) 当 n 为 偶 数 , 而 f ( n ) ( x 0 ) 0 时 ,有
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n ( x ) ( x x 0 ) n 0 ,x U ( x 0 ;) ,
f ( x ) 6 x 2 ( x 1 )7 x ( 2 8 x 2 ), f(0)f(1)0,f 7 4 0, 所以由第二判别法, 求得极小值为 f 748629315243.
那 么 x x 0 是 f ( x ) 的 一 个 极 值 点 , 并 且 ( i ) f ( x 0 ) 0 , 则 f ( x ) 在 x x 0 处 取 极 小 值 . ( i i ) f ( x 0 ) 0 , 则 f ( x ) 在 x x 0 处 取 极 大 值 .
证 同样我们仅证(i). 因为 f(x 0 ) x li m x 0f(x x ) x f0 (x 0 ) x li m x 0x f (x x ) 0 0 ,
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所以由保号性，存 在 0 ,当 x U ( x 0 ;) 时 ,
f ( x) 0.
x x0
从 而 当 x ( x 0 ,x 0 )时 ,
f(x)0;
当 x (x 0 ,x 0)时 ,
f(x)0.
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
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时 ， f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 点 x 0 取 得 极 小 值 .
( i i ) 若 当 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , 当 x ( x 0 , x 0 ) 时 ， f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 点 x 0 取 得 极 大 值 .
f(n)(x0)0,则 有 : (i)n 为 偶 数 时 ,x 0是 极 极 大 小 值 值 点 点 , ,当 当 f f( (n n ) )( (x x 0 0 ) ) 0 0 ; , (ii) n 为奇数时, x 0 不是极值点 . 前页 后页 返回
证 由泰勒公式, 有
f(x ) f(x 0 ) f(n n )( !x 0 )(x x 0 )n o ((x x 0 )n )