第03讲 充分条件与必要条件(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第03讲充分条件与必要条件
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
【基础知识】
一、“⇒”及“⇔”的含义
“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,
“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.
二、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；
2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；
3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；
4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；
5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
6.充分条件与必要条件的理解
充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”
7.从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；
(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；
(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
三、判断充分条件、必要条件的注意点
1.明确条件与结论.
2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.
3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.
四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
1.p 是q 的充分条件；
2.p 的充分条件是q .
五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
2.要注意区间端点值的检验．
六、充要条件的证明策略
1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断
例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的(
)A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.
故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断
例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是(
)A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件
B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240
b a
c =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误；一元二次方程有实根则0≥ ，反之亦然，故C 正确；
当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围
例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.
【答案】3
m ≥【解析】由已知可得{}{}13x x x x m ≤<⊆<，所以，3m ≥.考点四：充分条件与必要条件的推理
例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是(
)
A ．r 是q 的必要不充分条件
B ．r 是s 的充要条件
C ．r 是s 的充分不必要条件
D ．q 是s 的充要条件【答案】BD 【解析】由题意得，p r ⇒，r p ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，所以q s ⇔，s r ⇔，q r ⇔，所以r 是s 的充要条件，q 是s 的充要条件，r 是q 的充要条件，故选BD.
【真题演练】
1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】因为260x x --=，故可得2x =-或3，若260x x --=，则不一定有3x =，故充分性不满足；若3x =，则一定有260x x --=，故必要性成立，综上所述：“260x x --=”是“3x =”的必要不充分条件.故选B .
2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件【答案】B
【解析】由3x <不能推出13x -<<，例如2x =-，但13x -<<必有3x <，
所以p ：3x <是q ：13x -<<的必要不充分条件.故选B.
3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是(
)A ．3x >是5x >的充分不必要条件
B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件
C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
【答案】B
【解析】A.由()5,+∞ ()3,+∞，所以3x >是5x >的必要不充分条件，故A 错误；
B.1x ≠±时，则1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是1x ≠的充要条件，故B 正确；
C.q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；
D.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误.故选B
4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()
A ．0
m >B ．1m >C ．3
m >D ．4m >【答案】CD 【解析】由A B ⊆得13m +≥，即2m ≥，故能使A B ⊆成立的充分不必要条件有CD.故选CD.
5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是(
)A ．8-B ．5-C ．1D ．4
【答案】ACD
【解析】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ³，
所以7k ≤-或1k ³.故选ACD
6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)
【答案】0x >，0y >(答案不唯一).
【解析】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>(答案不唯一)
7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：
①已知集合{240A x
x =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；
③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
【答案】③④
【解析】①{|22,N}{0,1}A x x x =-<<∈=，故真子集个数为2213-=个，错误；
②由256(6)(1)0x x x x --=-+=，可得6x =或1x =-，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误；③由2()f x x x a =++开口向上且对称轴为12x =-，只需(0)0f a =<即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当0a ≠，0b =时，0ab ≠不成立；当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，正确.故答案为③④
8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．
(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；
(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，
所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤＝[)(]2,24,5- ；
(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以a 的范围是1319,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．【过关检测】
1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的(
)A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】由题，将2x ＝代入240x ﹣＝，等式成立，所以“2x ＝”是“240x ﹣＝”的充分条件；求解240x ﹣＝，得到2x ±＝，故“2x ＝”是“240x ﹣＝”的不必要条件；故选A
2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是(
)A ．x ＞0
B ．x ＜0或x ＞4
C ．0＜x ＜3
D ．x ＜0【答案】A
【解析】设p:0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由:0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，
故选A
3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，
则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件【答案】B
【解析】若“1x ≠或1y ≠”则“2x y +≠”为真，等价于若“2x y +=”则“1x =且1y =”为真，显然该命题为假，∴“1x ≠或1y ≠”推不出“2x y +≠”，反之，若“2x y +≠”，则“1x ≠或1y ≠”为真，等价于若“1x =且1y =”则“2x y +=”为真，显然成立，∴“2x y +≠”可推出“1x ≠或1y ≠”，
∴“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的必要非充分条件，故选B
4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】在△ABC 中，若AB 2+BC 2=AC 2，，则90B ∠=︒，即△ABC 为直角三角形，
若△ABC 为直角三角形，推不出90B ∠=︒，所以AB 2+BC 2=AC 2不一定成立，
综上，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选A
5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()
A ．:325,:235p x q x +>-->-
B ．:2,2,:p a b q a b ><>
C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形
D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解
【答案】CD
【解析】对于A ，:3251p x x +>⇒>，:2351q x x -->-⇒<，∴p 推不出q ，q 推不出p ，p 是q 既不充分也不必要条件；对于B ，:2,2:p a b q a b ><⇒>；当1,0a b ==时，满足a b >但q 推不出p ，故p 是q 的充分不必要条件；对于C ，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要条件；对于D ，:0:p a q ≠⇔关于x 的方程1ax =有唯一解，故p 是q 的充分必要条件.故选CD.
6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有(
)A ．A B A = B ．(
)U A B Ç=ÆðC ．()()
U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD 【解析】
由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选BCD ．
7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则(
)
A ．p 是q 的充分条件
B ．p 是s 的必要条件
C ．r 是q 的必要不充分条件
D ．s 是q 的充要条件
【答案】AD
【解析】由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.故选AD
8.下列命题：
①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；
②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；
③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．
【答案】③
【解析】①2x >且3y >时，5x y +>成立，反之不一定成立，如0x =，6y =，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故①错误；
②方程有解的充要条件是240b ac -≥，故②错误；
③当1x =或2x =-时，方程220x x +-=一定成立，
反过来，方程220x x +-=成立时，1x =或2x =-，故③正确．
9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．
【答案】()()
,41,-∞-+∞U 【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，
当B =∅时，23a a >+，则3a >；
当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩
，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．
10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.
【解析】(1)假设存在满足条件的实数a ，则B A =，即11x =-，23x =.因为1x ，2x 是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根，所以2131a -⨯=-+，即24a =，解得2a =±，即当2a =±时，“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.
(2)由题意可知，关于x 的方程22210x x a --+=的两根分别为1a -和1a +.因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A .当11a a ->+，即0a <时，{}11B x a x a =+<<-，则11,13,a a +>-⎧⎨-<⎩
解得20a -<<；当11a a -<+，即0a >时，{}11B x a x a =-<<+，则11,13,
a a ->-⎧⎨+<⎩解得02a <<.综上，a 的取值范围是{20a a -<<或}02a <<.。