2021年中考数学 一轮专题训练：反比例函数及其应用(含答案)

2021中考数学 一轮专题训练：反比例函数及其
应用
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 已知反比例函数
y=-，下列结论:①图象必经过(-2，4);②图象在二、四象限
内;③y 随x 的增大而增大;④当x>-1时，y>8.其中错误的结论有 ( ) A .3个 B .2个 C .1个
D .0个
2. （2020·海南）下列各点中，在反比例函数
y ＝图象上的点是( )
A ．(－1，8)
B ．(－2，4)
C ．(1，7)
D ．(2，4)
3.
设函数y ＝
k
x
(k ≠0，x >0)的图象如图所示，若z ＝1
y ，则z 关于x 的函数图象可能为( )
4. （2020·无锡）反比例函数
y ＝k x 与一次函数y ＝815x ＋1615的图形有一个交点B （1
2，
m ），则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．23
D ．4
3
5. （2020·天水）若函数
y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则函数y ＝ax
＋b 和y ＝c
x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
6.
如图，一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝
k x
的图象如图所示，当y 1＜y 2时，则x 的取值范围是( )
A. x＜2
B. x＞5
C. 2＜x＜5
D. 0＜x＜2或x＞5
7.
在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点
是线段上一点，过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，
．若双曲线经过点C，则k的值为（）
A．B．C．D．
9. （2019•河北）如图，函数y=的图象所在坐标系的原点是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10. （2020·乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x与双曲线y＝k
x交于
A、B两点，P是以点C(2,2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连接AP，Q为AP 的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）
A．－1
2B．－
3
2C．－2 D．－
1
4
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 已知反比例函数y＝k x
(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A 在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，点C 在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是.
13. 如图，点A，C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为.
14.
如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比
例函数y＝k
x的图象上，则k的值为________．
15.
如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B
，且A为OB的中点．若函数y1＝1
x，则y2与x的函数表达式是________．
16. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为.
17. 如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D，E，若四边形ODBE的面积为12，则k的值为.
18. 如图，已知点A，C在反比例函数y＝a
x的图象上，点B，D在反比例函数y＝
b
x
的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3
4，CD＝
3
2，AB
与CD间的距离为6，则a－b的值是________．
19. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k1
x(x＞0)及y2＝
k2
x
(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__________．
20. （2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双
曲线y=上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=，则k1+k2的值为__________．
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)与反比例函数y＝m x
的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
22. 如图，直线y1＝－x＋4，y2＝3
4x＋b都与双曲线y＝
k
x
交于点A(1，m)．这两条直线分别与x轴交于B，C两点．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)直接写出当x>0时，不等式3
4x＋b>
k
x的解集；
(3)若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标．
23. （2019•广东）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP=1：2，求点P的坐标．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，
2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A，P两点.
(1)求m，n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
25.
如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴交于点B(0，9)，与x轴的负半轴交于点A，
且tan∠BAO＝1.反比例函数y＝m x
与一次函数y＝kx＋b的图象交于C、D两点，且BD2＋BC2＝90.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)某二次函数的图象经过线段CD的中点，且以B点为顶点，求此二次函数的解析式．
26. (2019·浙江金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中
心P在反比例函数y(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
2021中考数学一轮专题训练：反比例函数及其
应用-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B[解析]将(-2，4)代入y=-成立，①正确;k=-8<0，所以反比例函数的图象在二、四象限，②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，③错误;当-1<x<0时，y>8，④错误，所以错误的结论有2个，故选B.
2. 【答案】D
【解析】∵反比例函数的系数8，∴该反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为8，故选D.
3. 【答案】D【解析】函数y＝
k
x (k≠0，x＞0)的图象在第一象限，则k＞0，x＞0.由已知得z＝
1
y＝
1
k
x ＝
x
k，所以z关于x的函数图象是一条射线，且在第一象限，故选D.
4. 【答案】C
【解析】本题考查了函数的交点问题，正确理解点在函数的图象上则坐标一定
满足函数的解析式．B（1
2，m）y＝
8
15x＋
16
15，得m＝
4
3，（
1
2，
4
3）代入y＝
k
x，则代
入k的值为2
3．因此本题选C．
5. 【答案】B
【解析】由二次函数的图象确定a、b、c的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开口向上，说明a＞0；又抛物线与y轴交点位于x轴
上方知c＞0；再根据对称轴x＝－b
2a＞0，得到b＜0；从而确定直线y＝ax＋b经
过第一、三、四象限，双曲线y＝c
x位于第一、三象限，因此本题选B．
6. 【答案】D【解析】根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5.
7. 【答案】D【解析】∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴AH＝CH＝1
2AC＝
1
2
×4＝2，CD＝AD＝y.在Rt△ADH中，DH＝AD2－AH2＝y2－22，在Rt△ABC中，BC＝AC2－AB2
＝42－x2，∵S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC，∴1
2(y＋x)·42
－x2＝
1
2×4×y2
－22
＋1
2x·42
－x2，即y·42－x2
＝4×y2－22，两边平方得y2(42－x2)＝16(y2－22)，16y2－x2y2＝16y2－64，∴(xy
)2＝64，∵x＞0，y＞0，∴xy＝8，∴y与x的函数关系式为：y＝8 x
(0＜x＜4)，故选D.
8. 【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中，轴，轴，∴△BEC∽△CDA.∵直线，∴A(2,0),B（0,3）.∵,∴.∴CD=1，.∴.故选A.
9. 【答案】A
【解析】由已知可知函数y=关于y轴对称，所以点M是原点；故选
A．
10. 【答案】A
【解析】连接BP，得到OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB＝2OQ＝4，设点B的坐标为(x,－x)，根据点C(2,2)，可利用勾股定理求出点B的坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．∵直线y＝－x与
双曲线y＝k
x的图形均关于直线y＝x对称，∴OA＝OB，∵点Q是AP的中点，
点O是AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当OQ的长度最大时，即PB的长度最大；∵PB≤PC＋BC，当三点共线时PB长度最大，∴当P、C、B三点共线时PB＝2OQ＝4；∵PC＝1，∴BC＝3；设点B的坐标为(x,－x)，则BC＝
(2－x)2＋(2＋x)2＝3，解得x＝
2
2或x＝－
2
2（舍去），故B (
2
2,－
2
2)，代
入y＝k
x中可得k＝－
1
2．
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 【答案】k>0【解析】∵反比例函数y＝k x
(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范
围是：k＞0.
12. 【答案】4[解析]设A(a，b)，B(a+m，b)，依题意得b=，b=，∴=，
化简得m=4a.∵b=，∴ab=1，∴S
平行四边形OABC
=mb=4ab=4×1=4.
13. 【答案】8[解析]由得或，
∴A的坐标为(2，2)，C的坐标为(-2，-2).
∵AD⊥x轴于点D，CB⊥x轴于点B，∴B(-2，0)，D(2，0)，∴BD=4，AD=2，∴四边形ABCD的面积=AD·BD×2=8.
14. 【答案】－6 【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，因为四边形ABCO是菱形，且面积为12，则△OCD的面积为3，利用反比例函数k的几何意义可得k＝－6.
15. 【答案】y2＝4 x
【解析】设y2与x的函数关系式为y2＝k
x，A点坐标为(a，b)，则ab＝1.又A点为O
B的中点，因此，点B的坐标为(2a，2b)，则k＝2a·2b＝4ab＝4，所以y2与x的函
数关系式为y2＝4 x.
16. 【答案】4[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，∵反比例函数y=(k>0)
的图象经过点D，E，∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，即S△OMD=S四边形EMHC，
∴S△ODE=S梯形DHCE=3，
设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n).
∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴E2m，，∴S
梯形DHCE
=+n m=3，∴k=mn=4.
17. 【答案】4[解析]由题意得:E，M，D在反比例函数图象上，则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S
矩形ONMG
=|k|，
又∵M为矩形OABC对角线的交点，
∴S
矩形OABC =4S
矩形ONMG
=4|k|，
∵函数图象在第一象限，∴k>0，则+12=4k ，∴k=4.
18.
【
答
案
】
3
【解析】设点A 的纵坐标为y 1，点C 的纵坐标为y 2，∵AB ∥CD ∥x 轴，∴点B 的
纵坐标为y 1，点D 的纵坐标为y 2，∵点A 在函数y ＝a x 的图象上，点B 在函数y ＝b
x
的图象上，且AB ＝34，∴a y1－
b
y1
＝34，∴y 1＝4（a －b ）3，同理y 2＝2（b －a ）3
，又∵AB 与CD 间的距离为6，∴y 1－ y 2＝4（a －b ）3－2（b －a ）
3
＝6，解得a －b ＝3.
19. 【答案】 4 【解析】∵反比例函数y 1＝
k1x (x ＞0)及y 2＝k2
x
(x ＞0)的图象均在第一象限内，
∴k 1＞0，k 2＞0，∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝12k 1，S △OBP ＝1
2
k 2，∴S △OAB ＝S △OAP －S △OBP ＝1
2(k 1－k 2)＝2，解得k 1－k 2＝4.
20. 【答案】0 【解析】∵点A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在双曲线y =上，∴k 1=ab ；
又∵点A 与点B 关于x 轴对称，∴B （a ，–b ）， ∵点B 在双曲线y =上，∴k 2=–ab ；∴k 1+k 2=ab +（–ab ）=0；
故答案为：0．
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 【答案】
解：(1)把A(4，1)代入y ＝m x 得1＝m
4. ∴m ＝4，(2分)
∴反比例函数的解析式为y ＝4
x .(3分)
(2)过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，如解图，设点B 坐标为(n ，4n )，则OE ＝4
n ，BE ＝n.
∴S △BEO ＝1
2OE·BE ＝2，(4分) ∵S △BOC ＝3， ∴S △BCE ＝1，
∴OE ∶EC ＝2∶1，
∴CE ＝2n ，OC ＝6
n
.(6分)
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋6n ，把(n ，4
n )和(4，1)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝nk ＋6
n 1＝4k ＋6
n ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧n ＝2k ＝－12 ，(7分)
∴6
n ＝3，
∴一次函数的解析式为y ＝－1
2x ＋3.(8分)
22. 【答案】
(1)∵直线y 1＝－x ＋4，y 2＝34x ＋b 都与双曲线y ＝k
x 交于点A (1，m )， ∴将A (1，m )分别代入三个解析式，得
⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1＋4
m ＝3
4＋b m ＝k 1
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3
b ＝94k ＝3
，
∴y 2＝34x ＋94，y ＝3
x ；
(2)当x >0时，不等式34x ＋b >k
x 的解集为x >1； (3)将y ＝0代入y 1＝－x ＋4，得x ＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)，
将y ＝0代入y 2＝34x ＋9
4，得x ＝－3， ∴点C 的坐标为(－3，0)， ∴BC ＝7，
又∵点P在x轴上，AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，且△ACP和△ABP等高，
∴当PC＝1
4BC时，
S△ACP
S△ABP＝
1
3，
此时点P的坐标为(－3＋7
4，0)，
即P(－5
4，0)；
当BP＝1
4BC时，＝
1
3，
此时点P的坐标为(4－7
4，0)，即P(
9
4，0)，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(－5
4，0)或(
9
4，0)．
23. 【答案】
（1）由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x<–1或0<x<4；（2）直线解析式y=–x+3，反比例函数的解析式为y=–；（3）P（，）．
【解析】（1）∵点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x<–1或0<x<4；
（2）∵反比例函数y=的图象过点A（–1，4），B（4，n），
∴k2=–1×4=–4，k2=4n，∴n=–1，∴B（4，–1），
∵一次函数y=k1x+b的图象过点A，点B，
∴，
解得k=–1，b=3，
∴直线解析式y=–x+3，反比例函数的解析式为y=–；（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），
∵S△AOC=×3×1=，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=，
∵S△AOP：S△BOP=1：2，∴S△AOP=×=，
∴S△COP=–=1，∴×3x P=1，∴x P=，
∵点P在线段AB上，∴y=–+3=，∴P（，）．24. 【答案】
解:(1)将点P(-1，2)的坐标代入y=mx，
得:2=-m，解得m=-2，
∴正比例函数解析式为y=-2x;
将点P(-1，2)的坐标代入y=，
得:2=-(n-3)，解得:n=1，
∴反比例函数解析式为y=-.
解方程组
得
∴点A的坐标为(1，-2).
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP，
即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°， ∴△CPD ∽△AEO.
(3)∵点A 的坐标为(1，-2)， ∴AE=2，OE=1，AO=
=.
∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP=∠AOE ， ∴sin ∠CDB=sin ∠AOE===.
25. 【答案】
(1)∵tan ∠BAO ＝1，∴OA ＝OB ， ∵点B (0，9)，∴点A (－9，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝9－9k ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝9， ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋9；
(2)联立⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋9y ＝m x 得x 2＋9x －m ＝0，
设点C 、D 的横坐标分别为x 1、x 2， ∵BD 2＋BC 2＝90，
∴(2x 2)2＋(2x 1)2＝90即2(x 21＋x 2)＝90， ∴x 21＋x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ (－9)2－2(－m )＝45，
即81＋2m ＝45，解得m ＝－18，
∴反比例函数解析式为y ＝－18
x ；
(3)设所求的二次函数的解析式为y ＝ax 2＋9(a ≠0)，
由(1)和(2)得⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋9y ＝－18x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－3y1＝6或⎩
⎪⎨⎪⎧x2＝－6
y2＝3， 则线段CD 的中点为(x1＋x22，y1＋y22)即(－92，92)， 代入y ＝ax 2＋9得92＝(－9
2)2a ＋9， 解得a ＝－2
9，
故所求的二次函数的解析式为y＝－2
9x
2＋9.
26. 【答案】
(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析；(2)Q点横坐标为；【解析】(1)点A在该反比例函数的图象上，理由如下：
如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=2，
∴BP=2，G是CD的中点，
∴PG，
∴P(2，)，
∵P在反比例函数y上，
∴k=2，
∴y，
由正六边形的性质，A(1，2)，
∴点A在反比例函数图象上；
(2)由题易得点D的坐标为(3，0)，点E的坐标为(4，)，
设直线DE的解析式为y=ax+b，
∴，
∴，
∴y x﹣3，
联立方程，
解得x(负值已舍)，
∴Q点横坐标为；
(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，
设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，F(3﹣m，2n)，
①将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)；
则点E与F都在反比例函数图象上；
②将正六边形向左平移–1个单位，再向上平移个单位后，C(2，)，B(1，
2)，
则点B与C都在反比例函数图象上；
③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–2个单位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；
则点B与C都在反比例函数图象上．。