16 解三角形及应用-备战2020年高考数学刷题小卷(理).pdf

参考答案：60
AB 30－10 3 30－10 3
解析：在 Rt△ABM 中,AM＝ ＝
＝
＝
sin15° sin15°
6－ 2
4
20 6,过点 A 作 AN⊥CD 于点 N,在 Rt△ACN 中,因为∠CAN＝30°,所
以∠ACN＝60°,又在 Rt△CMD 中,∠CMD＝60°,所以∠MCD＝30°,所
参考答案：C
4
sinA a a a 解析：∵ ＝ ,∴ ＝ ,∴b＝c.
sinB c b c
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc,∴b2＋c2－a2＝bc,
b2＋c2－a2 bc 1
∴cosA＝
＝ ＝.
2bc
2bc 2
π
∵A∈(0,π),∴A＝
,∴△ABC
是等边三角形． [来源:]
3
3．[2019·赣州模拟]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
π 3．在△ABC 中,已知 C＝ ,b＝4,△ABC 的面积为 2 3,则 c＝
3
( )
A．2 7 B. 7
C．2 2 D．2 3
参考答案：D
1
3
解析：由 S＝ absinC＝2a× ＝2 3,解得 a＝2,由余弦定理得
2
2
c2＝a2＋b2－2abcosC＝12,故 c＝2 3.
4．[2019·广东广雅中学、江西南昌二中联合测试]已知 a,b,c 为
1
2π
以
＝－ ,即 cosB＝－ 又
2
2
3
12．[2019·贵阳监测]△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
且满足 a＝4,asinB＝ 3bcosA,则△ABC 面积的最大值是________．
参考答案：4 3
解析：由正弦定理可得 sinAsinB＝ 3sinBcosA,得 sinA＝ 3
a2＋b2－c2
△ABC 的面积为
,则 C＝( )
4
ππ A. B.
23
ππ C. D.
46
参考答案：C
1
a2＋b2－c2 2abcos C 1
解析：∵S＝ absin C＝
＝
＝ abcos C,∴ sin
2
4
4
2
C＝cos C,即 tan C＝1.
π ∵ C∈(0,π),∴ C＝ .
4
故选 C.
10．[2019·郑州模拟]如图,一栋建筑物 AB 的高为(30－10 3)米,
在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD,在它们之间的点 M(B,M,D
三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别是 15°和 60°,在楼顶 A 处
测得塔顶 C 的仰角是 30°,则通信塔 CD 的高为________米．
11．[2019·上海长宁、嘉定区模拟]在△ABC 中,内角 A, B,C 所对
的边分别为 a,b,c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac,则 B＝________.
3
2π
参考答案：
[来源:学_科_网]
3
解析：因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac,整理得 a2＋c2－b2＝－ac,所
a2＋c2－b2 1
2
7
8．[2019·河南联考 ]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
π 3sin2C
若 A＝ ,
＝2sinAsinB,且 b＝6,则 c＝( )
3 cosC
A．2 B．3
6
C ．4 D．6
参考答案：C
1
3sin2C
解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc× ＝b2＋c2－bc,又
且满足 2acosA＝bcosC＋ccosB,b＋c＝4,则 a 的最小值为( )
A．2
B．2 2
C．3
D．2 3
参考答案：A
解析：由题意及正弦定理得 2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝
1
b2＋c2－a2 b＋c2－2bc－a2
sinA,故 cosA＝ ,由余弦定理得 cosA＝
3
14
10 3 A.
3
B．10
C．10 3 D．20 3[来源:Z+xx+]
参考答案：C
11
53
ab
解析：由 cosA＝ 得 sinA＝ ,由正弦定理得 ＝ ⇒b＝
14
14
sinA sinB
43 7,又 sinC＝sin(A＋B)＝ ,
7
1
43
所以△ABC 的面积 S＝ ×5×7× ＝10 3.
x2－2 3x＋2＝0 的两个根,且 2cos(A＋B)＝1,则 c＝________.
参考答案： 10
解析：因为 a,b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两个根,所以 a＋b＝2
1 3,ab＝2,又 2cos(A＋B)＝1,所以 cosC＝－ ,由余弦定理得,c2＝a2＋
2
b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab＝10,得 c＝ 10.
△ABC 的三个角 A,B,C 所对的边,若 3bcosC＝c(1－3cosB),则
sinCsinA＝( )
A．2：3 B．4：3
C．3：1 D．3：2
参考答案：C
解析：由正弦定理得 3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝
sinC,3sinA＝sinC,所以 sinC：sinA＝3：1.故选 C.
AC
AM
以∠ACM＝30°,在△AMC 中,∠AMC＝105°,所以
＝
sin105° sin∠ACM
20 6 ＝ ,所以 AC＝60＋20 3,所以 CN＝30＋10 3, 所以 CD＝DN＋
＝
2
2bc
2bc
1 ＝,
2
( )b＋c
所以 a2＝16－3bc≥16－3×
2＝4(当且仅当 b＝c＝2 时,等
2
号成立),所以 a 的最小值为 2.故选 A.
π 4．[2019·天津河东区模拟]在△ABC 中,b＝5,B＝ ,tanA＝2,则 a
4
的值是( )
A．10 2 B．2 10
C. 10 D. 2
a2＋b2－c2
A,B,C 的对边分别是 a,b,c,其面积 S＝
,则 C 的大小是
4
( )
A．30° B．90°
C．45° D．135°
参考答案：C
a2＋b2－c2 2abcosC 1
解析：由题意及余弦定理得 S＝
＝
＝
4
42
absinC,故 tanC＝1,而 C∈(0,π),因此 C＝45°.故选 C.
π cosA,则 tanA＝ 3,所以在△ABC 中,A＝ .又 a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2
3
＋c2－bc≥2bc－bc＝bc,所以 bc≤16(当且仅当 b＝c 时取等号)．所以
1
1
3
S△ABC＝ bcsinA≤ ×16× ＝4 3,所以△ABC 面积的最大值为 4
2
2
2
3.
刷题课时增分练⑯
sinC),则其外接圆半径等于________．
参考答案：1
解析：设外接圆半径为 R,已知 2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c,得 a＋b＋c
＝2①.根据正弦定理知 a＋b＋c＝2RsinA＋2Rsinb＋ sinA＋sinB＋sinC
2Rsinc,代入①式得 2R＝2,即 R＝1.
10．[2019·上海杨浦区模拟]若△ABC 中,a＋b＝4,C＝30°,则
7．[2019·安徽皖江名校大联考]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边
分别为 a,b,c.若 a＝c＝ 6＋ 2,且∠A＝75°,则 b＝( )
A．2
B．4－2 3
C．4＋2 3 D. 6－ 2
参考答案：A
解析：在△ABC 中,由 a＝c 知△ABC 为等腰三角形,所以 b＝
2
6－ 2
2c·cosA＝2×( 6＋ 2)×
5．[2019·成都摸底测试]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且 B＝2C,2b cosC－2ccosB＝a,则角 A 的大小为( )
ππ A. B.
23
ππ C. D.
46
参考答案：A
解析：由正弦定理得 2sinBcosC－2sinCc osB＝sinA＝sin(B＋C)
参考答案：B
sinA 解析：∵在△ABC 中,tanA＝ ＝2,sin2A＋cos2A＝1,
cosA
25
π
a5
∴sinA＝ .由 b＝5,B＝ 及正弦定理可得 ＝ ,解得 a＝2
5
4
25 2
52 10.故选 B.
22 5．已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosC＝
3 ,bcosA＋acosB＝2,则△ABC 的外接圆的面积为( )
参考答案：D
解析：在△BCD 中,∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
BC
30
由正弦定理得 ＝
,解得 BC＝15 2(m)．
sin30° sin135°
在 Rt△ABC 中,
AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6(m)．
二、非选择题
9．[2019·湖南长沙模拟]△ABC 的周长等于 2(sinA＋sinB ＋
A．4π B．8π
5
C．9π D．36π
参考答案：C
解析：因为 bcosA＋acosB＝2,所以由余弦定理可得,b×
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
22
＋a×
＝2,整理解得 c＝2,又 cosC＝ ,可得
2bc
2ac
3
1
c
sinC＝ 1－cos2C＝ .设△ABC 的外接圆的半径为 R,则 2R＝ ＝
2
cosC
a2＋b2－c2
＝2sinAsinB,由正弦定理可得 3c2＝2ab·
,即 a2＋b2－4c2＝
2ab
0,
则 b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0,又 b＝6,∴c2＋2c－24＝0,解得 c＝4,c
＝－6(舍)．故选 C.
二、非选择题
9．已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b 是方程
△ABC 面积的最大值是____________．
参考答案：1
1 解析：在△ABC 中,∵C＝30°,a＋b＝4,∴△ABC 的面积 S＝
2
( ) 1
1 1 a＋b 1
ab·sinC＝ ab·sin30°＝ ab≤ ×
2＝ ×4＝1,当且仅当 a＝b＝2
2
44 2 4
时取等号．因此△ABC 面积的最大值是 1.
＝2.故选 A.
4
8．如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面
内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD＝15°,∠BDC＝30°,CD＝30 m,并在
点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB 等于( )
A．5 6 m B．15 3 m
C．5 2 m D．15 6 m
2
a2＋c2－b2 3
7
cosB＝
＝ ,所以 sinB＝ .
2ac
4
4
sinA a 2．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ＝ ,(b＋c＋
sinB c
a)(b＋c－a)＝3bc,则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形[来源:]
C．等边三角形 D．钝 角三角形
综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·河北联考]△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,c
1 ＝2a,bsinB－asinA＝ asinC,则 sinB 的值为( )
2
7
3
A．－ B.
4
4
7
1
C.
D.
4
3
参考答案：C
1 解析：由正弦定理,得 b2－a2＝ ac,又 c＝2a,所以 b2＝2a2,所以
3
sinC
6,所以 R＝3,所以△ABC 的外接圆的面积 S＝πR2＝9π.
6．已知△ABC 的一个内角为 120°,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
且满足 a＝b＋4,c＝b－4,则△ABC 中最小角的余弦值为( )
4
9
A. B.
7 14
13 11 C. D.
14 14
参考答案：C
解析：因为 a＝b＋4,且 c＝b－4,所以 A>B>C,则 A＝120°,由余弦
＝sinBcosC＋cosBsinC,∴sinBcosC＝3sinCcosB,∴sin2CcosC＝
1 3sinCcos2C,∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C),求得 tan2C＝ .∵B＝2C,∴C
3
3
πππ
为锐角,∴tanC＝ ,∴C＝ ,B＝ ,A＝ .故选 A.
3
632
6．[2019·甘肃西北师范大学附属中学诊断]在△ABC 中,内角
16 解三角形及应用
一、选择题
1．[2019·长沙模拟]已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为
ππ a,b,c,若 A＝ ,B＝ ,a＝1,则 b＝( )
64
A．2
B．1
C. 3
D. 2
参考答案：D
2
asinB 2 解析：由正弦定理得 b＝ ＝ ＝ 2.
sinA 1
2
2．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若
定理 a2＝b2＋c2－2bccosA,得(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b×(b－4)×
( )1
a2＋b2－c2 13
－ ,得 b＝10,所以 a＝14,c＝6,cosC＝
＝ ,故选 C.
2
2ab
14
7．[2019·广东佛山教学质量检测]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对
π
11
边分别为 a,b,c.若 a＝5,B＝ ,cosA＝ ,则△ABC 的面积 S＝( )