完整版)初一数学人教版七下几何复习专题

完整版)初一数学人教版七下几何复习专
题
初一数学人教版七下几何复专题
专题一、基本概念与定理专题
考点1：邻补角、对顶角定义
例1.下列说法中，正确的是（）
A）相等的角是对顶角（B）有公共顶点，并且相等的角
是对顶角
C）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2（D）两条直
线相交所成的两个角是对顶角
改写：正确的说法是有公共顶点，并且相等的角是对顶角。

例2.如图所示，∠1的邻补角是(。

)
A.∠BOC。

B.∠XXX和∠XXX
C.∠AOF。

D.∠BOC和∠AOF
改写：∠1的邻补角是∠AOF。

考点2：垂直公理和平行公理
例3.下列说法中错误的个数是（）
1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。

4）不相交的两条直线叫做平行线。

5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。

A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个
改写：选项（A）有一个错误。

考点3：两点之间线段最短、垂线段最短
例4.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行使，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄.
⑴设汽车行使到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行使到点Q位置时，距离村庄N最近.请你在图中公路
AB上分别画出点P、Q的位置.（保留画图痕迹）
⑵当汽车从A出发向B行使时，在公路AB的哪一段上
距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文
字语言表示你的结论，不必证明）
改写：略
考点4：同位角、内错角与同旁内角定义
例5.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
11
1
1
22
2
2
①②③
A.②③
B.①②③
C.①②④
D.①④
改写：选项（B）中的图形有∠1和∠2是同位角。

例6.如图4所示，下列说法中错误的是(。

).
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；
③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角.
12
4
3
A.①和②
B.②和③
C.②和④
D.③和④
图4
改写：选项（A）中的说法错误。

考点5：平行线性质与判定定理
例7.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
改写：选项（D）是正确的。

例8.（2007浙江绍兴课改）研究了平行线后，XXX想出了过己知直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）：
删除此段，因为缺少图示。

从图中可知，XXX画平行线的依据有四个，分别是同位角相等、内错角相等、两直线平行和内错角相等。

正确答案为D，即①④。

在例9中，正确的真命题是C，即两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

例10中，题设是等角，结论是补角相等。

在例11中，只有图A可以用其中一部分平移得到。

在例12中，三角形DEF是由三角形ABC沿射线AC的方向移动了AC长得到的。

在例13中，若方格的边长为1，则小鱼的面积为5.小鱼向左平移3格再向上平移2格后，其坐标为(-2,3)，(0,3)，(-1,4)，(-1,2)，(1,4)，(1,2)，(-2,3)。

例14中，点P(-1,m2+1)在第三象限。

在例15中，点Q(-m,-n)在第三象限。

在例16中，由题设可得x-2<0，即x<2.因此，正确答案为B，即x<2.
在坐标轴上，一到四象限点的坐标特征分别为(+,+),(-
,+),(-,-),(+,-)。

在例14中，小鱼所在的点P(-1,m2+1)在第三象限，因为其横坐标为负，纵坐标为正。

坐标轴上点的特征：x轴上的点的纵坐标为0，即(x,0)；y 轴上点的横坐标为0，即(0,y)。

例如17.已知点P(m+3，m+1)
在x轴上，则点P的坐标为(4,0)。

例18.在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab=0，那么点P
的位置在坐标轴上。

考虑ab=0的情况，若a=0，则P在y轴上，坐标为(0,b)；若b=0，则P在x轴上，坐标为(a,0)。

通过坐标原点确定点的坐标：若点P在坐标原点O上，
则P的坐标为(0,0)。

例20.如图，围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②
的坐标为(-7,-4)，白棋④的坐标为(-6,-8)，那么黑棋①的坐标
应该是(7,4)，因为黑棋①与白棋②关于x轴对称，且与白棋④关于y轴对称。

根据对称确定点的坐标：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标为相反数；关于原点对称，横坐标、纵坐标都为相反数。

例21.已知点A(3,n)关于y轴对称的点为(-3,2)，点A关于
原点对称的点的坐标是(-3,-n)。

点到坐标轴距离：点P(a,b)到x轴的距离为|b|，到y轴的
距离为|a|。

例23.已知x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐
标为(3,0)或(-3,0)。

用坐标表示平移：将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a,y)（或(x-a,y)）。

例24：点B（-4，-1）向下平移3个单位长度，得到的对
应点为（-4，-4），因此点D的坐标为（4，7-3）=（4，4），答案为A。

例25：矩形ABCD的面积为102*51=5202平方米，入口
的中路面积为2*51=102平方米，两小路汇合处路口面积为
2*2=4平方米，因此草坪面积为5202-102-4=5096平方米，答
案为B。

例26：根据图中的三角形个数，可以得到8个小三角形
和2个大三角形，共计10个三角形，答案为C。

例27：（1）当三角形内部有3个点时，可以构成4个小
三角形和1个大三角形，共计5个三角形。

2）当三角形内部有4个点时，可以构成7个小三角形和
2个大三角形，共计9个三角形。

3）当三角形内部有n个点时，可以构成n个小三角形和
n-2个大三角形，共计2n-2个三角形。

4）因为任意三边之和大于第四边，所以最长的一条边不
能超过其他两条边之和的一半，即c<=a+b/2，代入a=3，b=5，可得c<=7.5，因此c的取值只能是6或7，但6、7、10这三
条边无法构成三角形，因此互不重叠的三角形的数目无法为2007，答案为不能。

例28：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此只有3、4、5这一组线段可以组成三角形，答案为C。

例29：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此可以组成三角形的个数为C(4,3)-1=3，其中减1是因为这
四根木棍中任意三根都可以组成三角形，答案为B。

例30：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此c的取值范围为4~7，且c必须是偶数，因此c的值只能
是4或6，答案为4或6.
例31：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此7根火柴棒可以组成的三角形个数为C(7,3)=35，但需要
排除不能构成三角形的情况，即三条火柴棒在一条直线上，共有7种情况，因此能摆成的不同的三角形的个数为35-7=28.
例32：根据等腰三角形的定义，两边相等，因此第三边
的长度为2*7+13=27，答案为A。

例33：根据三角形高的定义，BE垂直于AC，因此图B
是⊿ABC的高的图形，答案为B。

例34.三角形的性质
A) 三角形的三条高一定相交于三角形内部的一点。

B) 三角形的三条中线一定相交于三角形内部的一点。

C) 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内部的一点。

D) 三角形的三条高可能相交于三角形外部的一点。

例35.三角形的类型
如果一个三角形的三条高交于三角形的一个顶点，那么这个三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

例36.三角形面积差
已知：AE是△ABC的中线，AB=10mm，AC=8mm，则
△ABE与△XXX的周长之差为2mm，面积之比是3:4.
例37.三角形面积
在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE
的中点，且△ABC的面积为4cm²，则阴影部分的面积为1cm²。

例38.三角形稳定性
一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，具有稳定性的
是三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点。

例39.多边形的对角线
下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不共线的四条木条相交于一点，则这个模型是一个四边形，它有两条对角线。

例40.多边形的对角线
①四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，六边形有九条对角线。

②根据规律，七边形有14条对角线。

③n边形的对角线数为n(n-3)/2.
例41.多边形的边数
从一个多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为15.
例42.平面镶嵌
装饰大世界出售正方形、长方形、正五边形和正六边形的地砖，如果只选购其中一种地砖来镶嵌地面，则不能选用的地砖是正五边形。

例43.正多边形的镶嵌
在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形和正六边形，则另一个为正五边形。

例1.已知∠COD为平角，AO⊥XXX，且
∠AOC=2∠DOE，则∠AOC=90°。

例2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥XXX于O，且∠COE=55°，则∠BOD的度数是45°。

例3.如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若
∠ABE=60°，则∠ECD的度数为100°。

例4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为55°。

例5.如图，已知AB∥CD，∠C=35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是70°。

例6.如图9，已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD 于E，F，∠DMF=50°，EG平分∠MEB，那么∠MEG的大小是40°度。

例7.一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即
AB∥CD，如图）．如果第一次转弯时的∠B=140°，那么，∠C应是40°。

例8.如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且
∠CAD=25°，∠B=95°，(1)求∠DCE的度数；(2)求∠DCA的
度数。

(1)∠DCE=70°；(2)∠DCA=50°。

例9.三角形的三个内角的比为1：3：5，那么这个三角形
的最大内角的度数为100°。

例10.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是60°，20°，100°。

例11.如图，已知点F是△XXX的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于D，交AC于E，且∠A=56°，∠F=31°，求
∠ACB的度数为93°。

例12.已知如图，$\angle 1=20^\circ$，$\angle 2=25^\circ$，$\angle A=35^\circ$，求$\angle BDC$的度数。

解：根据图中所示，$\angle BDC=\angle 1+\angle 2+\angle A=20^\circ+25^\circ+35^\circ=80^\circ$。

例13.已知如图，$\triangle ABC$中，$\angle A=100^\circ$，$BI$、$CI$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$，求$\angle
BIC$的度数。

若$BM$、$CM$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$的外角平分线，求$\angle M$的度数。

解：根据图中所示，$\angle BIC=\dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\dfrac{1}{2}(180^\circ-\angle A)=40^\circ$。

又因为$\angle BIM=\angle CIM=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle
A=45^\circ$，所以$\triangle BIM$、$\triangle CMI$为等腰直角三角形，$BM=CM$，$\angle BMC=180^\circ-\angle
BIC=140^\circ$。

根据外角和定理可得$\angle
M=\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$。

例14.已知如图，在$\triangle ABC$中，$AD$、$AE$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线，$\angle B=30^\circ$，
$\angle C=50^\circ$。

1) 求$\angle DAE$的度数。

2) 写出$\angle DAE$与$\angle C-\angle B$的关系。

解：(1) 根据图中所示，$\angle DAE=90^\circ-
\dfrac{1}{2}\angle A=90^\circ-\dfrac{1}{2}(180^\circ-\angle B-\angle C)=\dfrac{1}{2}(\angle B+\angle C-90^\circ)=35^\circ$。

2) 因为$\angle DAE$是$\angle A$的平分线，所以$\angle DAB=\angle DAC=\dfrac{1}{2}\angle A$。

又因为$\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C$，所以$\angle BAE=\angle BAC-\angle CAE=(180^\circ-\angle B-\angle C)-
\dfrac{1}{2}\angle A=\dfrac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。

例15.如图，光线$a$照射到平面镜$CD$上，然后在平面镜$AB$和$CD$之间来回反射，这时光线$a$的入射角等于反射角，即$\angle 1=\angle 6$，$\angle 5=\angle 3$，$\angle
2=\angle 4$，若已知$\angle 1=55^\circ$，$\angle 3=75^\circ$，则$\angle 2$等于（）。

begin{figure}[htbp]
centering
includegraphics[width=0.3\idth]{example-image-a}
end{figure}
解：根据图中所示，$\angle 1=\angle 6$，$\angle 5=\angle 3$，$\angle 2=\angle 4$，所以$\angle 6=55^\circ$，$\angle
3=75^\circ$，$\angle 2=\angle 4=180^\circ-\angle 5-\angle
6=50^\circ$。

例16.（2007湖南永州课改）如图所示，$AB\parallel CD$，$\angle E=27^\circ$，$\angle C=52^\circ$，求$\angle EAB$的度数。

begin{figure}[htbp]
centering
includegraphics[width=0.3\idth]{example-image-a}
end{figure}
解：根据图中所示，$\angle EAB=\angle ECD=180^\circ-\angle C=128^\circ$。

例17.如图，$AB\parallel CD$，$\angle B=45^\circ$，$\angle D=\angle E$，求$\angle E$的度数。

begin{figure}[htbp]
centering
includegraphics[width=0.3\idth]{example-image-a}
end{figure}
解：根据图中所示，$\angle E=\angle ABD=180^\circ-
\angle B=135^\circ$。

例18.如图，$C$处在$B$处的北偏西40方向，$C$处在$A$处的北偏西75方向，则$\angle ACB$的度数为（）。

begin{figure}[htbp]
centering
includegraphics[width=0.3\idth]{example-image-a}
end{figure}
解：根据图中所示，$\angle ACB=360^\circ-
(40^\circ+75^\circ)=245^\circ$。

例19.如图，若$AB\parallel CD$，$EF$与$AB$、$CD$分别相交于$E$、$F$，$EP\perp EF$，$\angle EFD$的平分线与$EP$相交于点$P$，且$\angle BEP=40^\circ$，求$\angle P$的度数。

begin{figure}[htbp]
centering
includegraphics[width=0.3\idth]{example-image-a}
end{figure}
解：根据图中所示，XXX，$\angle BEP=40^\circ$，所以$\angle BPC=2\angle BEP=80^\circ$。

又因为$\angle EFD$的平分线与$EP$相交于点$P$，所以$\angle EPF=\dfrac{1}{2}\angle EFD=20^\circ$。

根据$\triangle EFP$可得$\angle P=\angle BPC-\angle EPF=80^\circ-20^\circ=60^\circ$。

例20.已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是五边形。

解：根据多边形的内角和公式可得，五边形的内角和为$3\times 180^\circ=540^\circ$，因此题目所给的多边形是五边形。

例21.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是四边形。

解：根据多边形的外角和公式可得，四边形的外角和为$2\times 360^\circ=720^\circ$，而四边形的内角和为$2\times 180^\circ=360^\circ$，因此题目所给的多边形是四边形。

例22.一个多边形的外角和等于它的内角和的2，则这个多边形的边数是10.
解：根据多边形的外角和公式可得，多边形的外角和为$2\times 180^\circ=360^\circ$，而多边形的内角和为$(n-
2)\times 180^\circ$，因此$(n-2)\times 180^\circ=360^\circ\times 2$，解得$n=10$。

例23.如果一个n边形的边数增加1，那么这个n+1边形的内角和增加180度。

因此答案为A。

例24.一个n边形的每一个外角都等于45度，因此每一个内角都等于180度-45度=135度。

所以n边形的内角和是135n 度。

例25.一个n边形（n>3）的内角之和与某一外角之和为630度。

由于一个外角等于一个内角的补角，所以这个n边形
的内角之和为180(n-2)度，某一外角的补角为180-630=-450度，因此这个外角的度数为-450度/(n-2)。

由于n>3，所以这个外
角的度数为正数，因此n-2的符号为负数，即n<182.又因为n
是整数，所以n的取值范围为4<=n<=181.同时，n边形的边数为n条，内角之和为180(n-2)度。

例26.如图3，五角星五个顶角的度数和为540度。

例1.(1) 因为∠1=∠2，所以AB∥CD。

(2) 因为∠1=∠3，所以AC∥BD。

例2.因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB。

又因为
∠1=∠2，所以∠XXX∠FCB。

因此BE∥CF。

例3.因为AD⊥BC于D，XXX于G，所以
∠XXX∠XXX=90度。

因此AD∥EG。

又因为∠E=∠1=∠3，
所以AD平分∠BAC。

例 4.因为AD∥BE，∠1=∠2，所以∠A=∠E（同位角）。

例5.∠2=∠3，因此∠B=180度-∠1-∠2=180度-132度-48
度=0度。

由于AB∥CD，所以AB与CD是垂直的（平行线之间的夹角为90度）。

例6.因为AD平分∠EAC，所以∠BAD=∠CAD。

又因为AD∥BC，所以∠B=180度-∠BAD=180度-∠CAD=∠C。

例7.把纸片沿DE折叠后，点A落在四边形BCDE内部
的A'处。

因为DE是BC的中线，所以∠1=∠2.又因为ABCD
是平行四边形，所以∠A=∠C。

因此
∠1+∠2=2∠1=2∠A'CD=2∠ACD-2∠ACB=2(180度-40度-48度)-92度=180度-92度=88度。

例8.因为AB∥CD，所以∠A+∠C=180度。

又因为
AB∥EC，所以∠AEC=180度-∠C。

因此
∠A+∠C=∠AEC+∠C，即∠A=∠XXX。

例9.已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC。

根据
题中所给的条件，解答下列问题：
1) 如图25-1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，则∠C=105°。

2) 如图25-2，若∠BAD=62°，∠EAD=22°，则∠C=96°。

3) 通过以上的计算，可以发现∠XXX和∠C—∠B之间的关系应为：∠C—∠B=∠EAD。

4) 在图25-3中，若∠C>∠B，那么（3）中的结论仍然成
立吗？答案是肯定的，因为结论中只涉及∠XXX和∠C—∠B
的关系，与∠C和∠B的大小关系无关。

例10.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜
上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等。

1) 如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面
镜b上，又被b反射。

若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=50°，∠3=50°。

2) 在(1)中，若∠1=55°，则∠3=55°；若∠1=40°，则
∠3=40°。

3) 由(1)、(2)，可以猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b
的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行。

这是因为，
根据反射光线的规律，第一次反射后光线与平面镜a所成的角
等于∠1，第二次反射后光线与平面镜b所成的角也等于∠1，故第二次反射后光线与入射光线平行。

例11.如图11，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD
及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上
各点不属于任何部分。

当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角。

1) 当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD。

2) 当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠XXX不
成立。

3) 当动点P在第③部分时，可以发现：当∠PAC=∠PBD 时，有∠APB=180°；当∠PAC>∠PBD时，有∠APB180°。

因此，可以得出结论：当动点P在第③部分时，∠APB的大小
关系取决于∠PAC和∠PBD的大小关系。

其中，当
∠PAC=∠PBD时，∠APB为一条直线；当∠PAC>∠PBD时，∠APB为一锐角；当∠PAC<∠PBD时，∠APB为一钝角。

可以通过反证法证明这个结论。