2022-2023学年江苏省泰州中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省泰州中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊆{}1,2,3,4,5，那么这样的集合M 的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
【答案】D
【分析】根据子集关系可知：集合M 中一定包含元素1,2，可能包含元素3,4,5，由此可判断集合M 的个数即为集合{}3,4,5的子集个数.
【详解】由题意可知：1,2M ∈且M 可能包含{}3,4,5中的元素， 所以集合M 的个数即为集合{}3,4,5的子集个数，即为328=个， 故选D.
【点睛】本题考查根据集合的子集关系确定集合的数目，难度较易. 2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
【答案】C
【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-
【解析】全称命题与特称命题
3．设11,1,,32α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（ ）．
A ．1-，3
B ．1，3
C ．1-，1
2，1
D ．1-，1，3
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用函数的定义域和奇函数定义即可求解. 【详解】因为11,1,,32α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭，函数()y f x x α==的定义域为R ，
所以1α=或3α=，
由()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，
经检验，当1α=或3α=时，都有()()f x f x -=-，
故α值为1，3. 故选：B.
4．已知0x >，0y >，且2x y +=，则19
x y +的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】A
【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得. 【详解】解：因为0x >，0y >，且2x y +=，
所以()191191919102108222y x y x
x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当9y x x y =，即12x =，3
2
y =时，等号成立，即19x y +的最小值为8. 故选：A
5．若函数()y f x =的定义域为{22}M x
x =-≤≤∣，值域为{02}N y y =≤≤∣，则函数()y f x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据函数的定义可以排除C 选项，根据定义域与值域的概念排除A ，D 选项. 【详解】对于A 选项，当2(]0,x ∈时，没有对应的图像，不符合题意； 对于B 选项，根据函数的定义本选项符合题意；
对于C 选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
对于D 选项，值域当中有的元素在集合M 中没有对应的实数，不符合题意. 故选：B ．
6．已知函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧
-⎪
⎨⎪+++>-⎩，，
是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2
3
a ≤- B ．38a ≤- C ．2a ≤- D ．1a ≤-
【答案】C
【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a 的范围. 【详解】因为1y x
=在(],1-∞-上单调递减，且最小值为-1. 所以要使函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧
-⎪
⎨⎪+++>-⎩，，
是R 上的递减函数， 只需04141a a a a <⎧⎨-++≤-⎩，解得：2a ≤-.
故选：C
7．若()f x 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，则()2
0x f x <的解是（ ）
A ．()()3,01,-+∞
B ．()(),30,3-∞-⋃
C ．()(),33,-∞-+∞
D ．()
()3,01,3-
【答案】B
【分析】将所求不等式转化为0x ≠且()0f x <；根据奇偶性和已知区间单调性可求得()30f =且
()f x 在(),0∞-上是增函数，利用单调性可解得不等式的解集.
【详解】由()2
0x f x <得：0x ≠且()0f x <；
()f x 为奇函数，()()330f f ∴=--=，又()f x 在()0,∞+上是增函数，
f x 在(),0∞-上是增函数， ∴当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <；
()20x f x ∴<的解集为()(),30,3-∞-⋃. 故选：B.
8．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣
⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．b<c<a
D ．a b c <<
【答案】B
【分析】通过121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立可得到()f x 在(1,)+∞上递增，通过()1f x +是偶函数可得到()f x 的图象关于直线1x =对称，即可求出答案
【详解】解：∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， ∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数， ∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，
∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，
即1(2)(3)2f f f ⎛⎫
<-< ⎪⎝⎭
，∴b a c <<，
故选：B ．
二、多选题
9．设集合{}2
320A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）
A ．12
B ．0
C ．1
D ．3
【答案】ABC
【分析】解方程可求得集合A ，根据交集结果可知B A ⊆，分别在0a =和0a ≠的情况下讨论即可求得a 所有可能的取值.
【详解】由2320x x -+=得：1x =或2x =，即{}1,2A =；
A B B =，B A ∴⊆；
当0a =时，B =∅，满足题意；
当0a ≠时，1B a ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，则11a =或12a =，解得：1a =或12a =；
综上所述：实数a 的取值集合为10,,12⎧⎫
⎨⎬⎩⎭.
故选：ABC.
10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =+为偶函数，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()4f x f x +=
B ．()f x 的图像关于直线1x =对称
C ．()f x 为奇函数
D ．()f x 为偶函数
【答案】ABC
【分析】由函数的等量关系可得()()42()f x f x f x +=-+=、(2)()f x f x -=判断A 、B 的正误，进而判断()f x 的奇偶性.
【详解】由()()2f x f x +=-，知：()()42()f x f x f x +=-+=，A 正确；
由()1(1)y f x f x =+=-+，知：(2)()f x f x -=，即()f x 的图像关于直线1x =对称，B 正确； 由上知：()(2)()f x f x f x -=+=-，即()f x 为奇函数，C 正确，D 错误. 故选：ABC
11．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．()1y x x =+∈Z ，()1y x x =+∈Z B ．()20y x x =>，()20y x x =-< C ．()10y x x =-≠，
1
1y x
+= D ．()21f x x =-，()2
1g t t =-
【答案】CD
【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可 【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数； 选项C ，
1
11(0)y y x x x
+=⇔=-≠，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD
12．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 B ．命题“2R,230x ax x ∀∈++≥”是真命题，则1
3
a ≥
C ．设,R x y ∈则“2x ≥且2y ≥”是“228x y +≥”的必要而不充分条件
D ．设,R a b ∈，则“0ab ≠”是“0a ≠”的必要不充分条件 【答案】AB
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】选项A ，由1a >，能推出11a <，但是由11a <，不能推出1a >，例如当0a <时，符合1
1a <，但是不符合1a >，所以“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件，故A 正确； 选项B ，“x ∀∈R ，2230ax x ++≥”是真命题可知，=0a 时不成立，当0a ≠时，只需满足2
>0
Δ=2120a a ⎧⎨-≤⎩，解得1
3
a ≥，故B 正确；
选项C ，根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出228x y +≥，充分性成立，故C 错误； 选项D ，因为0ab ≠等价于0a ≠且0b ≠，由0ab ≠可推出0a ≠，而b 可以等于零，所以由0a ≠不能推出0ab ≠，所以“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件，故D 错误. 故选：AB.
三、填空题
13．函数()f x =
_________ . 【答案】[)2,0(0,)-⋃+∞
【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为0和被开方数大于等于0即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则0
20x x ≠⎧⎨+≥⎩，即2x ≥-且0x ≠，
()f x ∴=
[)2,0(0,)-⋃+∞. 故答案为：[-2,0)()0,⋃+∞
14．幂函数()()21m
f x m m x =+-的图象必不过第 象限.
【答案】四 【详解】
()()
21m f x m m x =+-为幂函数
211m m ∴+-=
即220m m +-=
()()210m m +-=
2m ∴=-或1m =
则图象必不过第四象限
15．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 _________ . 【答案】04a ≤≤
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围.
【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题， 即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题， 当0a =时，10≥，不等式显然成立，
当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2
Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩
，解得04a <≤， 综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤. 故答案为：04a ≤≤.
16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()
0f x x
<的解集__________ 【答案】(1,0)(1,
)
【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=， 又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数， ①当0x >时，由()
0f x x
<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >； ②当0x <时，由()
0f x x
<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.
综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,).
故答案为：(1,0)(1,
).
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..
四、解答题
17．已知集合{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或．
（1）若2a =-，求R A C B ⋂； （2）若A B A =，求a 的取值范围． 【答案】（1）{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤；（2）4a
．
【详解】试题分析：（1）先求得R C B ，再借助于数列数轴可求得R A C B ⋂；（2）由,A B A A B ⋂=∴⊂，可得关于a 的不等式，解得a 的范围．
试题解析：（1）当2a =-时，集合{|1}A x x =≤，{|15}R C B x x =-≤≤ ∴{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤．
（2）∵{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或，A B ⊆， ∴31a +<-，∴4a
．
【解析】集合的运算；集合间的关系．
【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图，这是数形结合思想的又一体现．
18．已知函数()2
234f x x mx m =+++，
（1）若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求m 的取值范围； （2）求()f x 在[0,2]上的最大值()g m .
【答案】（1）1m ≤-；（2）34(1)()78(1)m m g m m m +≤-⎧=⎨
+>-⎩
【分析】（1）二次函数的对称轴是x m =-，若()f x 在(,1]-∞上单调递减，比较对称轴和区间端点列出不等式，可得m 的取值范围；
（2）函数是开口向上的抛物线，对称轴是x m =-，离对称轴远，函数值大，区间的中点是1x =，所以讨论对称轴与1x =的关系，分1m -≥和1m -<两种情况讨论函数的最大值. 【详解】（1）()f x 的对称轴是x m =-
又
()f x 在(,1]-∞上单调递减
1m ∴-≥
1m ∴≤-
（2）()f x 的对称轴为x m =-
当1m -≥，即1m ≤-时，()(0)34g m f m ==+，
当1m -<，即1m >-时，()(2)78g m f m ==+
34(1)
()78(1)
m m g m m m +≤-⎧∴=⎨+>-⎩
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．
(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12
x y
+的最小值．
【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小 (2)3
10
．
【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y 2xy （2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥22y x
x y
⋅得出．
【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 2xy =24， 当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．
∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得x +2y ＝30，
又∵（12x y +）•（x +2y ）＝
522y x x y ++≥22y x
x y ⋅=9， ∴123
10x y +≥，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立． ∴12x y +的最小值是310
． 20．设函数f (x )=ax 2+(b －2)x +3（a ≠0）．
(1)若不等式f (x )＞0的解集(－1，1)，求a ，b 的值；
(2)若f (1)=2，
①a ＞0，b ＞0，求14
a b
+的最小值；
②若f (x )＞1在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)3,2a b =-=； (2)①9；
②(3-+
【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解； （2）由条件得+=1a b ，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．
【详解】（1）由题意2(2)30ax b x +-+=的两根是1-和1且0a <， 所以2
=1+1=03=1b a a
-⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得=3=2a b -⎧⎨⎩．
（2）①(1)232f a b =+-+=，+=1a b ， 又0,0a b >>，
所以14144()()559a b a b a b a b b a +=++=+
+≥+，当且仅当4a b b a =，即12,33a b ==时等号成立．
所以14
a b
+的最小值是9．
②由①得1b a =-，2()(1)3f x ax a x =-++，()1f x >即2(1)20ax a x -++>， 2(1)20ax a x -++>的解集为R ，0a =时，20x -+>不合题意，
所以2(1)80a a ∆=+-<，且0a >
，解得33a -<+ 所以a
的范围是(3-+． 21．已知()y f x =是幂函数，
(1)若函数()y f x =过定点14,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求函数()y f x =的表达式和定义域；
(2)若()()()322
,13f x x f a f a -
=+<+，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)()1
2f x x -
=，定义域为()0,∞+
(2)31a -<<-或2a >
【分析】（1）设()a f x x =，代点计算可得表达式，进而可得定义域；
（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】（1）设()a f x x =，代入点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得142
a =，解得12a =- 即()1
2
f x x -=，其定义域为()0,∞+ （2）由幂函数的性质可得，函数()3
2
f x x -=的定义域为()0,∞+，且在定义域上单调递减， ()
()213f a f a +<+， 2130a a ∴+>+>，
解得31a -<<-或2a >.
22．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =+．
(1)当0x <时，求()f x 解析式；
(2)若()()1210f a f a --+<，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)()22f x x x =-
(2)()(),20,-∞-⋃+∞
【分析】（1）根据函数奇偶性求分段函数解析式的步骤即可解决；
（2）根据函数单调性，偶函数性质()()f x f x = 即可解决.
【详解】（1）因为函数()f x 是R 上的偶函数，
当0x ≥时，()22f x x x =+，
所以当0x <时，0x ->，
所以()()()2
222f x x x x x -=-+-=-，
因为()()=f x f x -，
所以()22f x x x =-， 故当0x <时，()22f x x x =-
（2）由（1）知，222,(0)()2,(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩
， 当0x ≥时，()22f x x x =+，
易知此时函数单调递增，由偶函数性质得，
当0x <时，()f x 单调递减，
所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()()1210f a f a --+<，
所以()()121f a f a -<+，
又因为函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以121a a -<+，
解得0a >或2a <-．
故实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．。