高中数学新课标人教A版选修2：二项式系数的性质教学设计 课件

计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中
二.新授
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
1 11
1 21 1331 1 4 6 41
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
n 1，且当
r
n1
时
2 n1
n1
2
二项式系数 Cn 2 Cn 2 最大；
性质4.二项式系数的和
(P27)各二项式系数和
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
?
(a
b
)n
在C(((二aaan02an项nbbbC式)))132Cn1a定0nn理1bC中1n，11令C132n2Ca1nr3a1nb1rbrC1，nn则 C：nnb
n
(n
2
4
8
N*)
21
22
23
(这a 就b是)4说，(a 1 b)4n的展6 开4式1的各二项式系16 24
数的(和a 等b于)5：2n 1 5 10 10 5 1
32 25
对恒(a等式b)的6 字1母进6行1赋5值2，0 可1得5 一6些重1 要性质
——赋值法(是数学中一种常用方法). C0n C1n Cn2 Cnn 2n
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
此表叫作：二项式系数表
杨辉三角
人物介绍
杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有
11 1 21 1331 1 4 6 41
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
拓展：在(a b)n 展开式中，奇数项的二项式系
数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。
解：
(1
x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnr (1)n Cnn ,
36
C f(r)= r
f(r)
6
34 32 30 28
26
24
20
22
18
20
16
1 6 15 20 15 6 1
18
14 12
C60C61C62C63C64C65C66
16 14
10
12
8 6
1 7 21 35 35 21 7 1
10 8
4 2
C70C71C72C73C74C75C76C77
6 4
二项式系数的性质
一.复习引入
1.二项式定理及其特例：
(a b)n
Cn0a n
Cn1a n1b
Cn2a n2b2
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(1 x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
2.二项展开式的通项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1,2, , n)
3.二项式系数，依次为：C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
二.新授
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 (a+b)4 1 4 6
1 41
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6
……
…1 …7 2…1 3…5 3…5 2…1
(a+b)n
1 …7 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44 C50C51C52C53C54C55
C60C61C62C63C64C65C66
………………
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两
项的二项式系数相等.即：C
r n
C
n n
r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
f(r)
………………
(a+b)n
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
性质1.
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
每行两端都是1； 除1以外的每一个数都等于它“肩上”的
两个数的和.即：Crn1 Crn-1 Crn
思考如下问题：
1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是
《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通
变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘
奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、
日本等国均有译本出版，流传世界。
早在1261年，“杨辉三角”在其编著的《详解九章算法 中出现，此书还说明了表内除“一”以外的每一个数都等于
它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，
Cr n1
(1+x)n (1+x)它的展开式中xr项的
系数可以表示为
C
r n
C r1 n
Байду номын сангаас
2.通过以上两个问题你联想到了什么？
Crn1 Crn-1 Crn
(a
b)n
展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
其定义域是：r {0,1,2,, n}
C f(r)= r
f(r)
6
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
O 369 r
f(r) 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10
8 6 4 2
O
3
f(r)= Cr7
69
r
性质2.对称性
11 121 1331 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………
且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个
表不晚于11世纪。 在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的
（1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得 中华民族自豪的。
三.探究成果展示
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
2
O 369 r
O3
C f(r)= r 7
69 r
性质3. 二项式系数的增减性及最大值
n!
证明：
C
r n
C r1 n
r!(n r)! n!
nr1 r
(r 1)!(n r 1)!
令
即：当
n
n
r 1
n
1r
r
为偶数时，r
最大为
n2
2
1
C
r n
Cnr 1
n
，二项式系数Cn2
最大
当 n为奇数时，r 最大为