离散型随机变量及其分布列(课时1)高二数学练(人教A版2019选择性必修第三册)
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3.离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
[答案] 不是.离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1， ， ， ；也可以是无限个，如取值为1， ， ， ， ．
预学忆思
自主预习·悟新知
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )
√
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量.( )
√
（3）离散型随机变量的取值是任意的实数.( )
×
自学检测
2.下列变量中，是离散型随机变量的是( ).
A.到2022年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C.某人在车站等出租车的时间D.某人投篮10次，可能投中的次数
（2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分 的可能取值，并判定 的随机变量类型．
[解析] （1）可能出现的结果与对应的 的值如下表所示：
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得 ，而 可能的取值 ， ， ， ，所以 对应的各值是6， ， ， ．故 的可能取值为6， ， ， ，显然 为离散型随机变量．
A. B. C. D.
C
[解析] “放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，所以 ．故选C.
随堂检测·精评价
3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为 ，则 的所有可能取值构成的集合是__________．
巩固训练
探究2 离散型随机变量
问题1：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为 ，则 取什么数字？
[答案] , , , ， ， .
问题2：抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为 ，则“ ”表示的随机事件是什么？
[答案] “ ”表示出现的点数为4， ， ．
情境设置
新知生成
1.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 描述一次试验的成功次数，则 的值可以是( ).
A. B. 或2 C. 或1 D. 或1或2
C
[解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对一次试验的成功次数没有影响，故 的可能取值有两种，即 , .
巩固训练
2.已知 为离散型随机变量， 的所有可能取值所构成的集合为 ，则 的可能取值为_ ___________________________________．
随机变量ห้องสมุดไป่ตู้
新知运用
例1 （1）若6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( ).A.取到产品的件数 B.取到正品的件数C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
（2）判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①北京国际机场候机厅明天的旅客数量； ②2024年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； ③2024年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； ④体积为 的球的半径长．
， ， ， ， ， ， ， ， ，
[解析] 由 得 ．因为 的取值为1， ， ， ， ， ，所以对应的 的取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
1.下列随机变量 不是离散型随机变量的是( ).
A.某机场候机室中一天的游客数量为 B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 C.某水文站观察到一天中长江的水位为 D.某立交桥一天经过的车辆数为
探究1 随机变量的概念
问题1：掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数可以用数字 , , , , , 来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
[答案] 可以．可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.
问题2：在掷骰子和掷硬币的随机试验中，试验结果可以一一列举出来吗？若用 表示电灯泡的使用寿命，则 的值可以一一列举出来吗？
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.如何来表示离散型随机变量？
[答案] 随机变量常用字母 ， ， ， 来表示．
2.随机变量与函数有怎样的关系？
[答案]
相同点
随机变量和函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
情境设置
新知生成
一般地，如果 是一个随机变量， ， 是常数且 ，那么 也是一个随机变量.由于 的充要条件是 ，因此 （___________）.
新知运用
例3 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数为 .
（1）列表说明可能出现的结果与对应的 的值；
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）某天某公司客服接到咨询电话的个数；
（2）标准大气压下，水沸腾的温度；
（3）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某人的一件作品获得的奖次；
（4）体积为 的正方体的棱长．
[解析] （1）接到咨询电话的个数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．（2）标准大气压下，水沸腾的温度 是定值，所以不是随机变量．（3）获得的奖次可能是一、二、三等奖，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．（4）体积为 的正方体的棱长为 ,为定值，不是随机变量．
巩固训练
2.某市公交公司规定：身高不超过 的学生免费乘车，凡身高超过 的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为 （单位：元），学生的身高用 （单位： ）表示，则 和 是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．
[解析] 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此 是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高． 因此 也是一个离散型随机变量，其取值为0, .
C
[解析] 选项A，B，D中的随机变量 的可能取值,都可以一一列出,故它们都是离散型随机变量;选项C中的 可以取某一区间内的任意值,无法一一列出,故其不是离散型随机变量．
2.袋中装有10个红球、5个黑球，每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为 ，则表示事件“放回5个红球”的是( ).
1.指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）某超市5月份每天的销售额；
（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ；
（3）南京长江大桥水位监测站所测水位在 这一范围内变化，该水位监测站所测水位 .
[解析] （1）某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．（2）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．（3）水位在 这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是离散型随机变量．
3.若袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能取值为( ).
A. ， ， ， ， B. ， ， ， ， C. ， ， ， ， D. ， ， ，
B
[解析] 由于取到白球游戏结束，由题意可知, 的可能取值为1， ， ， ， ， ， ．
1.定义：所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
2.特征：（1）可用数值表示；（2）试验之前可以判断其出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取何值；（4）试验结果能一一列出．
一一列举
新知运用
例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）某教学资源网站一天内的点击量；
方法总结 离散型随机变量判定的关键及方法
（1）关键：判断随机变量 的所有取值是否可以一一列出．
（2）具体方法： ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的试验结果数量化； ③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
B
方法指导 利用随机变量的定义进行判断.
[解析] （1）A中取到的产品的件数是一个常量而不是变量，C，D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0， ， ，是随机变量.（2）①旅客人数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②所查酒驾的人数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．④球的体积为 时，球的半径为定值，不是随机变量．
[答案] 掷骰子和掷硬币的试验结果可以一一列举出来，而电灯泡的使用寿命 不能一一列举．
情境设置
合作探究·提素养
新知生成
一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，就称 为__________.随机变量一般用大写英文字母___，___，___， 或小写英文字母___，___，___， 来表示.随机变量所有可能取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围.
[解析] 三个问题回答完，其回答的可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分的可能情况是6分，3分，0分，-3分，所以 的所有可能取值构成的集合为 ．
4.已知在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，则选手甲回答这三个问题的总得分 的取值范围是_____________________．
[解析] 由题意知，有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分．
探究3 随机变量之间的关系
一个袋中装有8个红球、3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为 .问题：若规定取出一个红球积2分，而每取出一个白球扣1分，以 表示累积得分，则结果如何？
[答案] “ ”表示“取出的5个球全是红球”；“ ”表示“取出1个白球，4个红球”；“ ”表示“取出2个白球，3个红球”；“ ”表示“取出3个白球，2个红球”．
方法总结 随机变量的辨析方法
1.随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2.随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，那么该变量为随机变量．
D
[解析] 根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值.选项A中的结果是定值，所以不是随机变量，选项B，C的数值可以是区间内的任一实数，所以不是离散型随机变量，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量.
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
课时1 离散型随机变量
学习目标
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.（数学抽象）
2.了解随机变量与函数的区别与联系.（数学抽象）
3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义.（数学抽象、数学建模）
自主预习·悟新知
（2）某学生明天上学进入校门的时间；
（3）某市明年下雨的次数；
（4）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
方法指导 根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．
[解析] （1）某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．（2）某学生明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．（3）某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．（4）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
[答案] 不是.离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1， ， ， ；也可以是无限个，如取值为1， ， ， ， ．
预学忆思
自主预习·悟新知
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )
√
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量.( )
√
（3）离散型随机变量的取值是任意的实数.( )
×
自学检测
2.下列变量中，是离散型随机变量的是( ).
A.到2022年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C.某人在车站等出租车的时间D.某人投篮10次，可能投中的次数
（2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分 的可能取值，并判定 的随机变量类型．
[解析] （1）可能出现的结果与对应的 的值如下表所示：
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得 ，而 可能的取值 ， ， ， ，所以 对应的各值是6， ， ， ．故 的可能取值为6， ， ， ，显然 为离散型随机变量．
A. B. C. D.
C
[解析] “放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，所以 ．故选C.
随堂检测·精评价
3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为 ，则 的所有可能取值构成的集合是__________．
巩固训练
探究2 离散型随机变量
问题1：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为 ，则 取什么数字？
[答案] , , , ， ， .
问题2：抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为 ，则“ ”表示的随机事件是什么？
[答案] “ ”表示出现的点数为4， ， ．
情境设置
新知生成
1.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 描述一次试验的成功次数，则 的值可以是( ).
A. B. 或2 C. 或1 D. 或1或2
C
[解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对一次试验的成功次数没有影响，故 的可能取值有两种，即 , .
巩固训练
2.已知 为离散型随机变量， 的所有可能取值所构成的集合为 ，则 的可能取值为_ ___________________________________．
随机变量ห้องสมุดไป่ตู้
新知运用
例1 （1）若6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( ).A.取到产品的件数 B.取到正品的件数C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
（2）判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①北京国际机场候机厅明天的旅客数量； ②2024年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； ③2024年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； ④体积为 的球的半径长．
， ， ， ， ， ， ， ， ，
[解析] 由 得 ．因为 的取值为1， ， ， ， ， ，所以对应的 的取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
1.下列随机变量 不是离散型随机变量的是( ).
A.某机场候机室中一天的游客数量为 B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 C.某水文站观察到一天中长江的水位为 D.某立交桥一天经过的车辆数为
探究1 随机变量的概念
问题1：掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数可以用数字 , , , , , 来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
[答案] 可以．可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.
问题2：在掷骰子和掷硬币的随机试验中，试验结果可以一一列举出来吗？若用 表示电灯泡的使用寿命，则 的值可以一一列举出来吗？
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.如何来表示离散型随机变量？
[答案] 随机变量常用字母 ， ， ， 来表示．
2.随机变量与函数有怎样的关系？
[答案]
相同点
随机变量和函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
情境设置
新知生成
一般地，如果 是一个随机变量， ， 是常数且 ，那么 也是一个随机变量.由于 的充要条件是 ，因此 （___________）.
新知运用
例3 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数为 .
（1）列表说明可能出现的结果与对应的 的值；
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）某天某公司客服接到咨询电话的个数；
（2）标准大气压下，水沸腾的温度；
（3）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某人的一件作品获得的奖次；
（4）体积为 的正方体的棱长．
[解析] （1）接到咨询电话的个数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．（2）标准大气压下，水沸腾的温度 是定值，所以不是随机变量．（3）获得的奖次可能是一、二、三等奖，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．（4）体积为 的正方体的棱长为 ,为定值，不是随机变量．
巩固训练
2.某市公交公司规定：身高不超过 的学生免费乘车，凡身高超过 的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为 （单位：元），学生的身高用 （单位： ）表示，则 和 是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．
[解析] 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此 是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高． 因此 也是一个离散型随机变量，其取值为0, .
C
[解析] 选项A，B，D中的随机变量 的可能取值,都可以一一列出,故它们都是离散型随机变量;选项C中的 可以取某一区间内的任意值,无法一一列出,故其不是离散型随机变量．
2.袋中装有10个红球、5个黑球，每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为 ，则表示事件“放回5个红球”的是( ).
1.指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）某超市5月份每天的销售额；
（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ；
（3）南京长江大桥水位监测站所测水位在 这一范围内变化，该水位监测站所测水位 .
[解析] （1）某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．（2）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．（3）水位在 这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是离散型随机变量．
3.若袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能取值为( ).
A. ， ， ， ， B. ， ， ， ， C. ， ， ， ， D. ， ， ，
B
[解析] 由于取到白球游戏结束，由题意可知, 的可能取值为1， ， ， ， ， ， ．
1.定义：所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
2.特征：（1）可用数值表示；（2）试验之前可以判断其出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取何值；（4）试验结果能一一列出．
一一列举
新知运用
例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）某教学资源网站一天内的点击量；
方法总结 离散型随机变量判定的关键及方法
（1）关键：判断随机变量 的所有取值是否可以一一列出．
（2）具体方法： ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的试验结果数量化； ③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
B
方法指导 利用随机变量的定义进行判断.
[解析] （1）A中取到的产品的件数是一个常量而不是变量，C，D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0， ， ，是随机变量.（2）①旅客人数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②所查酒驾的人数可能是0， ， ， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．④球的体积为 时，球的半径为定值，不是随机变量．
[答案] 掷骰子和掷硬币的试验结果可以一一列举出来，而电灯泡的使用寿命 不能一一列举．
情境设置
合作探究·提素养
新知生成
一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，就称 为__________.随机变量一般用大写英文字母___，___，___， 或小写英文字母___，___，___， 来表示.随机变量所有可能取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围.
[解析] 三个问题回答完，其回答的可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分的可能情况是6分，3分，0分，-3分，所以 的所有可能取值构成的集合为 ．
4.已知在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，则选手甲回答这三个问题的总得分 的取值范围是_____________________．
[解析] 由题意知，有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分．
探究3 随机变量之间的关系
一个袋中装有8个红球、3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为 .问题：若规定取出一个红球积2分，而每取出一个白球扣1分，以 表示累积得分，则结果如何？
[答案] “ ”表示“取出的5个球全是红球”；“ ”表示“取出1个白球，4个红球”；“ ”表示“取出2个白球，3个红球”；“ ”表示“取出3个白球，2个红球”．
方法总结 随机变量的辨析方法
1.随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2.随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，那么该变量为随机变量．
D
[解析] 根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值.选项A中的结果是定值，所以不是随机变量，选项B，C的数值可以是区间内的任一实数，所以不是离散型随机变量，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量.
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
课时1 离散型随机变量
学习目标
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.（数学抽象）
2.了解随机变量与函数的区别与联系.（数学抽象）
3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义.（数学抽象、数学建模）
自主预习·悟新知
（2）某学生明天上学进入校门的时间；
（3）某市明年下雨的次数；
（4）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
方法指导 根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．
[解析] （1）某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．（2）某学生明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．（3）某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．（4）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．