经典数学压轴题

25．如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点

（1）求证：∠BQM=60°；

（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．如图1，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E．

（1）求证：∠AEP=∠ABP；

（2）P为AC延长线上任意一点，PE交DA的延长线于点E（图2），其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．

1、由“边角边”相等，推出：三角形BCN = 三角形ABM

故角CBN = 角BAM

由于ABC是等边三角形，故角ABN + 角CBN = 60°

因此，角ABN + 角BAM = 60°

从而，角AQB = 120°

即角BQM = 60度。

2、

（1）即论证：当【点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且角BQM = 60°，AM,BN交于点Q】时，能否证得BM=CN。

答：命题为真。理由很简单，逆推回去就行了，就跟证第一个问一样，最后用“角边角”关系证明三角形BCN = 三角形ABM就可以了。

（2）能。画图马上出结果，证明同1。

（3）不能。理由是在开头就不能运用“边角边”相等，推出：三角形BCN = 三角形ABM。从而导致以下证明无法进行。

1）求证：∠AEP=∠ABP；

（2）P为AC延长线上任意一点，PE交DA的延长线于点E（图2），其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论

分析：（1）由PE⊥PB，就可以得出∠BPE=90°，根据等角的余角相等就可以直接得出结论；

（2）由条件得出（1）中的结论不成立，直接由四边形的内角和可以得出∠AEP+∠ABP=180°

解答：解：（1）证明：∵∠EPB=∠BAD=90°

∴∠AEP=90°-∠AFE

∠ABP=90°-∠BFP

∵∠AFE=∠BFP

∴∠AEP=∠ABP；

（2）∠AEP≠∠ABP，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAE=90°．

∵PE⊥PB，

∴∠BPE=90°．

∵∠BAE+∠AEP+∠BPE+∠ABP=360°，

∴∠AEP+∠ABP=180°

24…如图，△ABC是等边三角形，线段AD为BC边上的中线，动点P在直线AD上运动时以PC 为一边且在PC的下方做等边△PCE，连接BE．

（1）求∠CAD的值；

（2）当点P在线段AD上（点P不与点A重合）时，求证：AP=BE；

（3）当点P运动的过程中（点P不与点A重合），若点C关于直线BE的对称点是Q点，求证：CQ=AC．

1）解：∵△ABC是等边三角形

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵线段AD为BC边上的中线，

∴∠CAD=

1

2

∠CAB=

1

2

×60°=30°．

（2）证明：∵△ABC和△PCE是等边三角形，∴AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，

∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB，

∴∠ACP=∠ECB，

在△ACP和△BCE中

AC

＝

BC

∠

ACP

＝∠

BCE

CP

＝

CE

∴△ACP≌△BCE（SAS），

∴AP=BE．

（3）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵△ACP≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD=30°，

连接BQ，延长BE交CQ于M，

∵C、Q关于直线BE对称，

∴BM⊥CQ，CM=QM，

∴BC=BQ，

∴∠CBE=∠QBE=30°，

即∠CBQ=60°，

∵BC=BQ，

∴△CBQ是等边三角形，

∴CQ=BC，

∴CQ=AC．

29．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

解：（1），

（2），

证明：①由已知，得，，

又，

，

在和中

，，

，

②如图3，延长BQ交AP于点

M

，

在中，，又

，

（3）成立

证明：①如图4，，

又，

，

在和中

，，

，

②如图4，延长QB交AP于点N，

则

在中，

25．将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合．