2017年高考数学(四海八荒易错集)专题07 三角变换及解三角形 文

专题07 三角变换及解三角形
1．若tan α＝34，则cos 2
α＋2sin2α等于( )
A.6425
B.4825 C ．1 D.1625 答案 A
解析 tan α＝34，则cos 2
α＋2sin2α＝cos 2
α＋2sin2αcos 2α＋sin 2
α ＝
1＋4tan α1＋tan 2
α＝6425
. 2．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A
解析 由余弦定理得AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2
＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2
＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.
3．方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0,2π]上的解为__________． 答案
π6，5π
6
解析 3sin x ＝2－2sin 2
x ，即2sin 2
x ＋3sin x －2＝0， ∴(2sin x －1)(sin x ＋2)＝0，∴sin x ＝12，∴x ＝π6，5π
6
.
4．在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 答案 8
解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .
∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，
A ，
B ，
C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：
tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .
又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－
tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C
tan B tan C －1
.
∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则
△ABC 的面积为________． 答案
52
6．若α∈(0，π2)，则sin2α
sin 2α＋4cos 2
α的最大值为________． 答案 1
2
解析 ∵α∈(0，π
2)，
∴
sin2αsin 2
α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2
α＝2tan α
tan 2α＋4
且tan α>0，
∴
2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋
4tan α
≤224＝12
(当且仅当tan α＝2时等号成立)，故sin2α
sin 2α＋4cos 2
α的最大值为12
. 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B
处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
答案 100 6
解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得
BC
sin∠BAC
＝
AB
sin∠ACB
，即
BC
sin30°＝600sin45°
，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝
3002·tan30°＝100 6.
8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案
3
解析 ∵
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
，a ＝2， 又(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ， 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2
－b 2
＝c 2
－bc ，∴b 2
＋c 2
－a 2
＝bc .
∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12
＝cos A ，∴A ＝60°.
∵△ABC 中，4＝a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc ·cos60°
＝b 2
＋c 2
－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×3
2
＝ 3.
9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．
(2)由(1)知f (x )＝sin(3x －
π6)－12
， 易得f (A )＝sin(3A －π6)－1
2.
因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2
A ＝sin
B sin
C ， 所以a 2
＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc
2bc
＝1
2(当且仅当b ＝c 时取等号)， 因为0<A <π，所以0<A ≤π
3，
所以－π6<3A －π6≤5π6，
所以－12<sin(3A －π
6)≤1，
所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，
所以函数f (A )的值域为(－1，1
2
]．
易错起源1、三角恒等变换
例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π
12
B.π
3
C.
π4 D.π6
答案 (1)24
25
(2)C
解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝3
5>0，
所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝4
5
，
则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝24
25.
又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π
3)，
所以cos(2α－π6)＝24
25
.
【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( )
A.45 B ．－45 C ．－35 D.3
5 (2)3cos10°－1s in170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，
得sin αcos π4－cos αsin π4＝72
10，
即sin α－cos α＝7
5
，①
又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2
α＝725，
即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝7
25，
因此cos α＋sin α＝－1
5.②
由①②得sin α＝3
5
，故选D.
(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1
sin10°
＝
3sin10°－cos10°
sin10°cos10°＝
－31
2
sin20°
＝
－2sin20°
1
2
sin20°＝－4，
故选D. 【名师点睛】
(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2
α＋2cos 2
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)＋cos 2
α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 易错起源2、正弦定理、余弦定理
例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A 等于( )
A.
31010 B.1010C ．－1010D ．－310
10
(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π
3，则B ＝________.
答案 (1)C (2)π
4
(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin
2π33＝2
2，
因为A 为钝角，所以B ＝π
4
.
【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin B sin C ；
(2)若AD ＝1，DC ＝
2
2
，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝1
2
AB ·AD sin∠BAD ，
S △ADC ＝1
2
AC ·AD sin∠CAD .
因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ，
所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝1
2
. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .
故AB 2
＋2AC 2
＝3AD 2
＋BD 2
＋2DC 2
＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 【锦囊妙计，战胜自我】
1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A
＝a
2R
，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶s in C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ；
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
.
易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．
解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π22
＝
sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －1
2
.
由－π2＋2k π≤2x ≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
可得－π4＋k π≤x ≤π
4＋k π，k ∈Z ；
由π2＋2k π≤2x ≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π
4＋k π，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．
【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2
x ＋23sin x cos x －sin 2
x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A
2)＝2且a 2
＝bc ，试判断△ABC 的形状．
解 (1)f (x )＝cos 2
x ＋23sin x cos x －sin 2
x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6
)，
所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．
(2)因为f (A 2)＝2sin(A ＋π
6
)＝2，
所以sin(A ＋π
6
)＝1.
因为0<A <π，所以A ＋π6＝π
2
，
所以A ＝π
3
.
由a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A 及a 2
＝bc ， 得(b －c )2
＝0，所以b ＝c ， 所以B ＝C ＝π
3
.
所以△ABC 为等边三角形. 【名师点睛】
解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求． 【锦囊妙计，战胜自我】
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．
1．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1
3，则tan β的值为( )
A.1
3 B ．3 C.913
D.139
答案 B
解析 由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝4
5，
∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－1
3，
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
tan α－
α－β1＋tan α
α－β
＝3.
2．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33
C ．－
33
D ．－ 3
答案 D
解析 因为tan120°＝tan70°＋tan50°
1－tan70°·tan50°
＝－3，
即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形 答案 C
解析 由已知可得，b ＝c
2cos A
＝2c cos A ， ∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12
. 又∵0°<A <180°，∴A ＝60°， 由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
得a 2－c 2＝0， ∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.
4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝
π3
，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.
38 B.36 C.34 D.32 答案 C
5．若sin2α＝
55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4
B.9π4
C.5π4或7π4
D.5π4或9π4
答案 A
解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π， ∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－31010
， ∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α
＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55
＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋4sin 2αsin2α
的值为________． 答案 334
解析 1＋cos2α＋4sin 2αsin2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334
. 7．在△AB C 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14
，则a 的值为________． 答案 8
解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154
， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×
154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，
由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A
＝52－2×24×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.
8．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.
答案 150
9．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sin C cos C .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，sin C ＝34
，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B 2
＝32sin2B －32
sin2C ， 整理得
32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ， 即sin(2B －π6)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2C －π6， 由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)，
得2B －π6＋2C －π6
＝π，
即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.
(2)因为a ＝3，sin C ＝34，
由正弦定理a
sin A ＝c sin C ，得c ＝32.
由c <a ，得C <A ，从而co s C ＝7
4，
故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3
2×7
4＋1
2×3
4＝3＋21
8.
所以△ABC 的面积为
S ＝12ac sin B ＝12×32×3×3＋218＝932(3＋7)．
10．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x
4.
(1)若f (x )＝1，求cos(2π
3－x )的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋1
2c ＝b ，求f (B )的取值范围．
解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4 ＝3
2sin x
2＋1
2cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋1
2.
由f (x )＝1，可得sin(x
2＋π
6)＝12.
令θ＝x
2＋π
6，则x ＝2θ－π3，
cos(2π
3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ
＝2sin 2θ－1＝－1
2.
(2)由a cos C ＋1
2c ＝b ，
得a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2
＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3，B ＋C ＝2π
3，
所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π
2，
所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32
)． 所以f (B )的取值范围是(1，32
)．。