2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷(附答案详解)

2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.将一元二次方程2x2−1=3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是
()
A. 2，−1
B. 2，0
C. 2，3
D. 2，−3
2.下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别
随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是()
A. B. C. D.
4.已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是
()
A. 点P在⊙O内
B. 点P在⊙O外
C. 点P在⊙O上
D. 无法确定
5.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为()
A. (x+2)2=3
B. (x+2)2=5
C. (x−2)2=3
D. (x−2)2=5
6.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+2)(x−4)经变换后得到抛物线y=(x−
2)(x+4)，则下列变换正确的是()
A. 向左平移6个单位
B. 向右平移6个单位
C. 向左平移2个单位
D. 向右平移2个单位
7.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上.已
知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是()
A. 63°
B. 58°
C. 54°
D. 52°
8.三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号
为1，2，3.从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是()
A. 4
9B. 5
9
C. 17
27
D. 7
9
9.如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O
上一点，连接AC，BC.若∠P=60°，∠MAC=75°，
AC=√3+1，则⊙O的半径是()
A. √2
B. √3
C. 3
2
D. 3
4
√3
10.已知二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A(x1,2023)和
B(x2,2023)，则当x=x1+x2时，二次函数的值是()
A. 2020
B. 2021
C. 2022
D. 2023
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是______．
12.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD
于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是______ ．
13.国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少.某
地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人.则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是______ ．
14.已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=140°，则∠BIC的大小是______ ．
15.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动
到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．
16.下列关于二次函数y=x2−2mx+1(m为常数)的结论：
①该函数的图象与函数y=−x2+2mx的图象的对称轴相同；
②该函数的图象与x轴有交点时，m>1；
③该函数的图象的顶点在函数y=−x2+1的图象上；
④点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的图象上.若x1<x2，x1+x2<2m，则y1<y2．
其中正确的结论是______ (填写序号)．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另
一个根．
18.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线
段AB上.求证：DC平分∠ADE．
19.小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别
对应价值2，5，5，10(单位：元)的四件奖品．
(1)如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；
(2)如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元
的概率．
20.如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙P经过A，B
两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．
(1)在图(1)中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；
(2)在图(2)中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，
使FG=FA．
21.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC⏜的中点，连接AE，DE，
CE．
(1)求证：AE=DE；
(2)若CE=1，求四边形AECD的面积．
22.疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接
受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学
生到校的累计人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟)
的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其
图象经过原点，且顶点坐标为(30,900)，其中0≤x≤
30.校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？
(3)检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体
温检测点.已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果)．
23.问题背景
如图(1)，△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等
的值．边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD.若BD⊥BC，求DF
DE 拓展创新
如图(3)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
24.如图，经过定点A的直线y=k(x−2)+1(k<0)交抛物线y=−x2+4x于B，C
两点(点C在点B的右侧)，D为抛物线的顶点．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图(1)，若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；
(3)如图(2)，以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t
的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将一元二次方程2x2−1=3x化成一般形式是2x2−3x−1=0，二次项
的系数和一次项系数分别是2和−3，
故选：D．
先化成一般形式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用中心对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】A
【解析】解：第一个袋子摸到红球的可能性=1
10
；
第二个袋子摸到红球的可能性=2
10=1
5
；
第三个袋子摸到红球的可能性=5
10=1
2
；
第四个袋子摸到红球的可能性=6
10=3
5
．
故选：A．
要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
4.【答案】B
【解析】解：∵r=3，d=5，
∴d>r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
根据①点P在圆外⇔d>r.②点P在圆上⇔d=r.③点P在圆内⇔d<r，即可判断．本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5.【答案】D
【解析】解：x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
故选：D．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：y=(x+2)(x−4)=(x−1)2−9，顶点坐标是(1,9)．
y=(x−2)(x+4)=(x+1)2−9，顶点坐标是(−1,9)．
所以将抛物线y=(x+2)(x−4)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x−2)(x+4)，故选：C．
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠A=33°，∠B=30°，
∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=63°，
∴∠ACE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−63°−63°=54°．
故选：C．
先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．
8.【答案】B
【解析】解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，
∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是15
27=5
9
．
故选：B．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如
图，设⊙O的半径为r，
∵PM与⊙O相切于A点，
∴OA⊥PM，
∴∠OAM=90°，
∵∠MAC=75°，
∴∠OAC=15°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=15°，∴∠AOH=30°，
在Rt△AOH中，AH=1
2OA=1
2
r，OH=√3AH=√3
2
r，
在Rt△ACH中，(1
2r)2+(r+√3
2
r)2=(√3+1)2，解得r=√2，
即⊙O的半径为√2．
故选：A．
连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得
到∠OAM=90°，则∠OAC=15°，再计算出∠AOH=30°，则可表示出AH=1
2r，OH=√3
2
r，
利用勾股定理得到(1
2r)2+(r+√3
2
r)2=(√3+1)2，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．10.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A(x1,2023)和
B(x2,2023)，
∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，
∴x1+x2=−2021
2020
，
∴当x=x1+x2时，二次函数y=2020x2+2021x+2022=2020(−2021
2020
)2+2021⋅
(−2021
2020
)+2022=2022．
故选：C．
根据题意得出x=x1+x2=−2021
2020
，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点符合解析式．
11.【答案】(1,−2)
【解析】解：在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是(1,−2)，
故答案为：(1,−2)．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12.【答案】1
4
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积=1
4S
四边形ABCD
，
∴点A落在阴影区域内的概率为1
4
，
故答案为：1
4
．
用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案．
此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】50%
【解析】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：4(1−x)2=1，
解得：x1=0.5=50%，x2=1.5(不合题意，舍去)．
故答案为：50%．
设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】125°或145°
【解析】解：∵O是△ABC的外心，
∴∠BAC=1
2∠BOC=1
2
×140°=70°(如图
1)
或∠BAC=180°−70°=110°，(如图2)
∵I是△ABC的内心，
∴∠BIC=90°+1
2
∠BAC，
当∠BAC=70°时，∠BIC=90°+1
2
×70°=125°；
当∠BAC=110°时，∠BIC=90°+1
2
×110°=145°；
即∠BIC的度数为125°或145°．
故答案为125°或145°．
利用圆周角定理得到∠BAC=70°或∠BAC=110°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC=
90°+1
2
∠BAC，然后把∠BAC的度数代入计算即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心．
15.【答案】3
2
π
【解析】解：点O所经过的路径长=3×90π⋅1
180=3
2
π.
故答案为：3
2
π.
点O所经过的路径是三个1
4
圆周长．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】①③
【解析】解：①∵二次函数y=x2−2mx+1的对称轴为直线x=−−2m
2×1
=m，二次函
数y=−x2+2mx的对称轴为直线x=−2m
2×(−1)
=m，故结论①正确；
②∵函数的图象与x轴有交点，则△=(−2m)2−4×1×1=4m2−4≥0，
∴m≥1，故结论②错误；
③∵y=x2−2mx+1=(x−m)2+1−m2，
∴顶点为(m,−m2+1)，
∴该函数的图象的顶点在函数y=−x2+1的图象上，故结论③正确；
④∵x1+x2<2m，
∴x1+x2
2
<m，
∵二次函数y=x2−2mx+1的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离
∵x1<x2，且a=1>0
∴y1>y2
故结论④错误；
故答案为①③．
利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，
∴1−b+2=0，
解得：b=3，
把b=3代入方程得：x2−3x+2=0，
设另一根为m，可得1+m=3，
解得：m=2，
则b的值为3，方程另一根为x=2．
【解析】把x=1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
18.【答案】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠CDE，AC=DC，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE．
【解析】利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)∵在价值为2，5，5，10(单位：元)的四件奖品，价值为5元的奖品有2张，
∴抽中5元奖品的概率为2
4=1
2
；
(2)画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于10元的有8种，
∴所获奖品总值不低于10元的概率为8
12=2
3
．
【解析】(1)根据概率公式计算可得；
(2)画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于10元的结果数，利用概率公式计算可得．
此题还考查了列举法与树状图法求概率，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，画出树形图是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点P，线段BD即为所求作．
(2)如图，点P，线段FG即为所求作．
【解析】(1)取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW 交⊙P于点D，线段BD即为所求作．
(2)取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证FA=FR=FG，线段FG即为所求作．
本题考查作图−应用与设计垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴AB⏜=CD⏜，
∵E是BC⏜的中点，
∴BE⏜=EC⏜，
∴AE⏜=DE⏜，
∴AE=DE．
(2)解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°−45°=45°，
∴DE=DF，
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
{∠ADE=∠CDF ∠AED=∠F
DA=DC
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S
四边形AECD
=S△DEF，
∵EF=√2DE=EC+DE，EC=1，∴1+DE=√2DE，
∴DE=√2+1，
∴S△DEF=1
2DE2=√2+3
2
．
【解析】(1)欲证明AE=DE，只要证明AE⏜=DE⏜．
(2)连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.证明△ADE≌△CDF(AAS)，推出AE= CF，推出S△ADE=S△CDF，推出S四边形AECD=S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵顶点坐标为(30,900)，
∴设y=a(x−30)2+900，
将(0,0)代入，得：900a+900=0，
解得a=−1，
∴y=−(x−30)2+900；
(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，
由题意可得：w=y−40x
=−(x−30)2+900−40x
=−x2+60x−900+900−40x
=−x2+20x
=−(x−10)2+100，
∴当x=10时，w的最大值为100，
答：排队等待人数最多时是100人；
(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得：
−(4+m)2+60(4+m)−40×4−(40+12)m=0，
整理得：−m2+64=0，
解得：m1=8，m2=−8(舍)．
答：人工检测8分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．
【解析】(1)由顶点坐标为(30,900)，可设y=a(x−30)2+900，再将(0,0)代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；
(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w=y−40x及(1)中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第4分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为(m+4)分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD=60°，∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB(SAS)，
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠CAB=∠DAE，
∴△ADE≌△ACB(SAS)，
∴∠ADE=∠ACB=90°，DE=CB，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADF=90°，
∵∠ADC=∠ACD=60°，
∴∠DCF=∠CDF=30°，
∴CF=DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF=30°，
∴BF=1
2
DF，
设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x，
∴DF
DE =2x
3x
=2
3
；
拓展创新
∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD=1
2
AB=1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC=90°，PA=AC，
∵∠EAD=90°，
∴∠PAE=∠CAD，
∴△CAD≌△PAE(SAS)，
∴PE=CD=1，
∵AB=2，AE=AD=1，
∴BE=√AE2+AB2=√12+22=√5，
∴BP≤BE+PE=√5+1，
∴BP的最大值为√5+1．
【解析】问题背景
由等边三角形的性质得出∠BAD=60°，∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，证得△ACD≌△AEB(SAS)，由旋转的概念可得出答案；
尝试应用
证明△ADE≌△ACB(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ADE=∠ACB=90°，DE=CB，
DF，则可得出答案；
得出∠BDF=30°，由直角三角形的性质得出BF=1
2
拓展创新
过点A作AE⊥AB，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE 的长，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵A为直线y=k(x−2)+1上的定点，
∴A的坐标与k无关，
∴x−2=0，
∴x=2，此时y=1，
∴点A的坐标为(2,1)；
(2)∵y=−x2+4x
=−(x −2)2+4，
∴顶点D 的坐标为(2,4)，
∵点A 的坐标为(2,1)，
∴AD ⊥x 轴．
如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，
∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，
∴CN =2BM ，
∴x 2−2=2(2−x 1)，
∴2x 1+x 2=6．
联立{y =−x 2+4x y =kx −2k +1
，得x 2+(k −4)x −2k +1=0，① 解得x 1=4−k−√k
2+122
，x 2=4−k+√k 2+122， ∴2×4−k−√k 2+122+4−k+√k 2+122=6，
化简得：√k 2+12=−3k ，
解得k =−√62
． 另解：接上解，由①得x 1+x 2=4−k ，
又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．
∴(2+k)2+(k −4)(2+k)−2k +1=0，
解得k =±√62
． ∵k <0，
∴k =−√62； (3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a,−a 2+4a)． ∵E 是AC 的中点，
∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，
∴x E −x A =x C −x E ，y E −y A =y C −y E ，
∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C ).
∴E(1+a 2,−a 2+4a +12
). 分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：
EA 2=(1+a 2−2)2+(−a 2+4a +12−1)2 =(a 2−1)2+(−a 2+4a+12−1)2，
过点E 作PE ⊥GH ，垂足为P ，连接EH ，
∴GH =2PH ，EP 2=(
−a 2+4a+12−t)2，
又∵AE =EH ，
∴GH 2=4PH 2
=4(EH 2−EP 2)
=4(EA 2−EP 2)
=4[(a 2−1)2+(−a 2+4a +12−1)2−(−a 2+4a +12
−t)2] =4[a 24−a +1+(−a 2+4a +12)2−(−a 2+4a +1)+1−(−a 2+4a +12
)2+t(−a 2+4a +1)−t 2]
=4[(54
−t)a 2+(4t −5)a +1+t −t 2]. ∵GH 的长为定值，
∴54−t =0，且4t −5=0， ∴t =5
4．
【解析】(1)由A为直线y=k(x−2)+1上的定点，可得k的系数为0，从而求得x值，则点A的坐标可得；
(2)先求得顶点D的坐标，可得AD⊥x轴．分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2由△ACD的面积是△ABD面积的两倍得出2x1+x2=6.将抛物线解析式与直线y=k(x−2)+1解析式联立，得出关于x的一元二次方程，方法一可以直接解方程，再结合2x1+x2=6求得答案；方法二可以用韦达定理及2x1+x2=6求得答案；
(3)设⊙E与直线y=t交于点G，H，点C的坐标为(a,−a2+4a)，用含a的式子表示出点E的坐标，再由勾股定理得出关于a的方程；分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，用含a的式子表示GH2，根据GH为定值，可得答案．
本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．。