流体力学笔记整理

流体力学
引言
一、流体力学的研究对象
流体：气体、液体的总称
流体力学：研究流体的运动规律及流体与固体相互作用的一门学科
二、流体力学的研究方法
1、理论分析方法
建立模型→推导过程→求解方程→解释结果
2、实验方法
理论分析→模型试验→测量→数据分析
3、数值方法
数学模型→离散化→编程计算→检验结果
第一章 流体力学的基础概念
§1.流体的物理性质与宏观模型
一、流体的物理性质
1、易形变性：流体静止时，不能承受任何微小的切应力。

原因：分子平均间距和相互作用力的不同。

2、黏性：当流体层之间存在相对运动或者切形变时，流体就会反抗这种相对运 动或切形变，使流体渐渐失去相对运动。

流体这种阻碍流体层相对运 动的特性称为黏性。

库伦实验——表面不滑移假设
内摩擦：宏观：相对快速流层对慢速流层有一个拖带作用力，使慢速流层变 快起来；相应地慢速流层将拽住快速流层让其减速，最终使 流层间的相对运动消失。

流体层间这种单位面积的作用力称 为黏性应力。

微观：流体的黏性是分子输送的统计平均，是由于分子不规则运动， 在不同流层间进行宏观的动量交换。

理想流体：当流体的黏性很小，其相对速度也不大时，其黏性应力对流动作 用就不甚重要并可予以略去，这种不计黏性的流体称为理想流体。

3、压缩性：压强变化引起流体体积或密度变化的性质
液体：一般认为不可压缩（除水中爆炸等压力骤变问题） 气体：①压强变化引起流体体积变化
1%气压差相当于85m 高度上气压的改变量，所以一般认为 大气不可压缩（除非有强烈上升、下沉气流）即ρ不变。

②速度变化也可以影响流体压强的变化 ()
21222
1v v p --
=ρδ 当速度增加时，压强会减小。

2
2
1v ρ——动力气压 在常温常压下，气体作低速流动(v<100m/s),气体密度变化小于5%， 可按不可压缩流体处理。

二、流体的连续介质假设——宏观理论模型
把由离散分子构成的实际流体看作是由无数流体质点没有间隙连续分布构成的。

流体质点（流点、流体微团、流体微元）：大量流体分子的集合 微观“足够大”：能保持大量分子，具有确定地统计平均效应 宏观“充分小”：可以把流体近似看成在几何上没有维度的“点”
§2.流体运动的速度与加速度
一、两种表述流动的方法
1、Lagrange 法（随体法）：跟随流点运动，记录该流点在运动过程中物理量随 时间变化的规律。

（以流点为着眼点）
设该质点标记为(a,b,c)，该质点的物理量B 的Lagrangge 表达式
B=B(a,b,c,t)
不同的(a,b,c)表示不同流点 (a,b,c)称为Lagrangge 变量
位置矢的Lagrange 表达式：()t c b a r r ,,, =——Lagrange 变量
速度的Lagrange 表达式：
()()t c b a r t
t c b a v v ,,,,,, ∂∂== ——不同时刻同一流点的速度
加速度()()t c b a r t
t c b a a a Lagrange a ,,,,,,22
∂∂==表达式：的
2、Euler 法：将其瞬时占据某空间点的流点的物理量作为该空间点的物理量（以 空间点为着眼点）
设空间点坐标为(x,y,z)物理量B 的Euler 表达式B=B(x,y,z,t) 不同(x,y,z)代表不同的空间点
速度),,,(t z y x v v Euler v
=表达式：的——Euler 变量
——同一时刻不同空间点速度 物理量的Euler 表达式代表了该物理量的空间分布，称为该物理力场， 如速度场、气压场等
（a ）若场内函数不依赖于矢径即与(x,y,z)无关，称作空间均匀场。

（b ）若场内函数不依赖于时间即与t 无关，称作定常场。

二、描述流体运动两种方法的联系
1、L 变量⇒E 变量
x=x(a,b,c,t) 已知()t c b a r r ,,,
= y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t) ()t c b a u t
x
,,,=∂∂ ()t z y x u u ,,,=
()t c b a v t
y
,,,=∂∂ ⇒ ()t z y x v v ,,,=
()t c b a w t
z
,,,=∂∂ ()t z y x w w ,,,= 消去a,b,c
2、E 变量⇒L 变量
()t z y
x u u ,,,= ()()()()dt dx t t z t y t x u u ==,,, ()t z y x v v ,,,= ⇒ ()()()()dt dy
t t z t y t x v v ==,,,
()t z y x w w ,,,= ()()()()dt
dz
t t z t y t x w w ==,,,
对时间t 积分
()t C C C x x ,,,321= ()t c b a x x ,,,= ()t C C C y y ,,,321=利用初始条件 ()t c b a y y ,,,= ()t C C C z z ,,,321=确定积分常量 ()t c b a z z ,,,=
三、流体的加速度
()t z y x v v ,,,
=
()()()()()t t z t y t x u t z y x u u ,,,,,,==
()()()()()t t z t y t x v t z y x v v
,,,,,,==
()()()()()t t z t y t x w t z y x w
w ,,,,,,==
z z
v y y v x x v t t v
v ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆
t z z v t y y v t x x v t v t v ∆∆∂∂+∆∆∂∂+∆∆∂∂+∂∂=∆∆⇒ t
z
z v t y y v t x x v t v dt v d t ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=→∆ 时，当0
Lagrange:()t c b a v v ,,, = ()()t
t c b a v t c b a a a ∂∂==⇒,,,,,,
Euler:()t z y x v v ,,, = ()()v v t
v t z y x a a
∇⋅+∂∂=
=⇒,,,
k z
j y i x
∂∂+∂∂+∂∂=∇ ()
k w j v i u v ++=
z
w y v x u v ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅
z w y v x u v ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ z
u
w y u v
x u u t u dt du ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 分量形式 z
v w y v v x v u t v dt dv ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= t
w w t w v t w u t w dt dw ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 个别变化：流体在运动过程中流点随时间的变化。

局地变化：物理量在空间点上随时间的变化。

平流变化：由于流体运动沿运动方向的物理量分布不均匀所引起的变化。

讨论：1）如果流体在运动过程中流体所具有的物理量不随时间变化
∇⋅-=∂∂⇒=v t
dt d 0 物理量的局地变化完全由于平流变化引起
2）如果流体所具有的物理量分布是均匀的或沿运动方向是均匀的
dt
d t v =∂∂⇒=∇⋅0-
§3.迹线和流线
一、迹线
迹线：流点的运动轨迹线。

迹线方程：
1）迹线的Lagrange 表达式：),,,(t c b a r r
=
消去时间t ，得一空间曲线
2）迹线的Euler 表达式：()t z y x v v ,,, =
对时间积分得到x,y,z 关于t 的函数，消去t 得到迹线方程
二、流线
流线：某时刻曲线上任意一点的切线方向跟那一时刻该点的速度方向一致的
假想曲线。

0=⨯v r d
()()()udy vdx k wdx udv j vdz wdy i w
v u dz dy dx k
j i v r d -+-+-==⨯
()()()t z y x w dz t z y x v dy t z y x u dx udy
vdx wdx udz vdz
wdy ,,,,,,,,,==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=== ——流线方程
注：一般情况下，流线和迹线不重合。

当流动定常时，两者重合，但反之不成立。

§4.速度的分解
二维：以xy 平面流场为例，设),(0y x M 点速度为()t y x v M v ,,)(000
=，邻
近点()y y x x M δδ++,速度为()()t y y x x v M v ,,00δδ++= 可以用Tailor 展
开来表示
()()y y
u x x u M u M u δδ∂∂+∂∂+=0 ()()y y
v x x v M v M v δδ∂∂+∂∂+
=0 对上式进行适当整理，可得：
()()y x
v y x v y y u x x u M u M u δδδδ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+=21210 ()()x y
u x y u y y v x x v M v M v δδδδ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+
=21210 已略去二阶以上的高阶小量
()()y x v y
u y x v y
u x x
u M u M u δδδ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=21210
()()x y u x v x y u x v y y v M v M v δδδ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+
=21210 记：⎪⎪⎫ ⎛∂+∂=∂=
∂=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=v u v u
y u x v xy yy xx z 121εεεω
()()y x y M u M u
xy xx z δεδεδω++-=0
()()y x x M v M v yy yx z δεδεδω+++=0
()()()
()
y x y x k
j i M v M u M v M u yy yx xy xx z δδεεεεδδω++=0
0000
得到：()()r A r M v M v
δδω⋅+⨯+=0
物理意义：M 的流速可以分为三部分
1）随0M 点一起运动的平移速度()0M v
2）绕0M 点旋转引起的转动线速度r v R
δω⨯=
3）由0M 点形变引起的线速度r A
δ⋅
三维：
()()()()()()z
y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x z y x k
j
i M w M v M u M w M v M u εεεεεεεεεεεεδδδωωω++= 000
记：
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂=∂∂=∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u x w z v y w y u x v z w y v x u y u x v x w z u z v y w xz zx zy yz yx xy zz yy xx z y x 212121212121εεεεεεεεεωωω 亥姆霍兹速度分解定理
§5.涡度、散度与形变率
一、法形变率
以xy 平面流场为例，u 沿y 方向不变，v 沿x 方向不变，t δ时间后，x 方
向上增加的长度为t x x
u
δδ∂∂
单位长度，单位时间的伸长为z
w y
v x
u zz yy xx ∂∂=
∂∂=
∂∂=εεε 面积的相对扩张率
()t y v x u y v x u t y x y x t y y v y t x x u x t A A A δδδδδδδδδδδδδδδδ∂∂∂∂+∂∂+∂∂=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=∆→0lim
当0→t δ时
()—速度散度—v y v x u t A A t A ⋅∇=∂∂+∂∂=∆→→δδδδδ0
0lim 体积的相对膨胀率
()z w y v x u t z y x z y x t z z w z t y y v y t x x u x t t ∂∂+∂∂+∂∂=-⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅∆→→δδδδδδδδδδδδδδδδδτδδτδτδ0
0lim
体积的相对膨胀率()—体胀速度—v
z w y v x u t t
⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∆→∆→∆δτδδττ0
0lim
二、切形变率（角形变率）
考察xy 平面流场中过任意点M 的一对正交线元MA,MB 分别长为y x δδ,，存在速度梯度y
u x v ∂∂∂∂,
t δ时间后，MA ，MB 分别转过角度
δβδα，
t
y
u y t
y y
u
t
x
v
x t x x v
δδδδδβδδδδδα∂∂=⋅∂∂=∂∂=⋅∂∂=
定义切形变率为该面元正交于该点两线元夹角的瞬间变化率
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=+=y w z v x w z u y u x v t yz zx
xy υυδδβδαυ ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y w z v x w z u y u x v yz zx xy 212121εεε切形变率
三、流体的旋转
考察xy 平面流场中过任意点M 的一对正交线元MA,MB 分别长为y x δδ,，存在速度梯度y
u x v ∂∂∂∂,
MA 、MB 绕M 点作旋转运动，规定逆时针方向旋转为正。

MA 、MB 绕M 点旋转
角度为()⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂-=∂∂=∂∂==→→逆时针为正y u x v t t x v t x
MB t t MA ωδδδδωδδ00lim lim
定义一点邻域内流体绕z 轴方向旋转的角速度为xy 平面上正交于该点两线
元的平均角速度：
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=x w z u z v y w y u x v y x z 212121ωωω
四、速度环流和涡度
速度环流：在流场中任取一闭合曲线l ,速度v
沿该闭合曲线的线积分
⎰⎰=⋅=Γdl v dl v αcos
dz k dy j dx i l d k w j v i u v
++=++=
是标量Γ++=Γ⎰wdz
vdy udx
动的趋势
流体有逆着闭合曲线流动的趋势
流体有顺着闭合曲线流00<Γ>Γ
()⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅=Γσd v l d v
当0→σ时，
()限值
单位面积速度环流的极σ
σ
σσσσ
σΓ
==⋅⨯∇=⋅⨯∇→→⎰⎰⎰⎰0
lim
lim
n n
S S n v d d v
§6.速度势函数和流函数
一、速度势函数
1、以平面流场为例，若：
0=∂∂-∂∂y
u x v 则可以引入势函数()0,,,,=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⇒∂∂-=∂∂-=x y y x y v x u t y x φφφφφ 可推广至三维无旋流场
φφφφ
-∇=∂∂-
=∂∂-
=∂∂-
=v z
w y
v x
u
()t z y x ,,,φ ——速度势函数
相应的
φφφφ2
222222-∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=z y x
z w y v x u v D 2、等位势面
某一时刻t ：()—等位势面—Const z y x =,,φ
对φ取全微分 ()0=++-=∂∂+∂∂+∂∂=
wdz vdy udx dz z
dy y dx x d φ
φφφ 00
=⋅=⋅∇r d v r d
φ
()()C y x C z y x ==,,,φφ等势线处处与速度相垂直
二、流函数
1、若流动是无辐散（不可压缩）和二维（平面），即水平无辐散
0=∂∂+∂∂y
v
x u 则可定义流函数()t y x ,,ψ
x
v y
u ∂∂=
∂∂-
=ψ
ψ 相应地
ψψψ22222∇=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=y
x y u x v S
2、流函数等值线 某一时刻t ：()()()曲面等势面曲线
C
z y x t t C y x =ψ==,,,,0ψ
取全微分：0=∂∂+∂∂=
dy y
dx x d ψψψ v
dy
u dx udy vdx =⇒=-0
说明：流函数等值线就是流线
流线不一定是流函数等值线！必须满足无辐散、平面
3、流函数与体积流量的关系
通过AB 两点间单位时间的流量 dl
l d k n dl
v q B
A
n
⨯==⎰ dy j dx i l d
+=
()dl dy j dx i k n /
+⨯=
()()dl
dx j dy i dl dy i dx j //
+-=-= ()
()dl vdx udy n j v i u n v v n /+-=⋅+=⋅=
⎰⎰⎰⎰-==∂∂+∂∂=+-==B
A
A
B
B A B A B A n d dx x dy y vdx udy dl v q ψψ
ψψψ
三、二维流动
一般的二维流动，既不是无旋也不是无辐散
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠∂∂+∂∂=≠∂∂-∂∂=00y v x u D y u x v S φψv v v +=
其中
：无旋辐散流
：无辐散涡旋流φψv v
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂-=⇒-∇=∂∂+∂∂=y v x u y v x u D φφφφφ2 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
∂∂=∂∂-=⇒∇=∂∂-∂∂=x v y u y u x v S ψψψψψ2 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-=⇒x y v y x u ψφψφ
第二章 基本方程
流体运动同其他运动一样，同样遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。

本章将导出描述流体运动的连续方程、运动方程和能量方程。

§1.连续方程
流体的连续方程是说明流体运动和其质量分布的关系式，它是按质量守恒定律建立起来的。

一、Lagrange 观点下的流体连续方程
流体块在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不
变的。

()()000=+⇒====dt
d dt d dt d
m dt d
m z y x δτρρδτρδτδρδτ
δδδδδτ 连续方程———体胀速度—其中Lagrange v dt d z
w y v x u v dt d dt d dt d 0101=⋅∇+⇒∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇==+⇒
ρρδτδτδτδτρρ
()()()流体局地密度不变
流体体积不变流体局地密度增大流体体积减小流体局地密度减小
流体体积增大⇒=∂∂⇒⇒=⋅∇⇒>∂∂⇒⇒<⋅∇⇒<∂∂⇒⇒>⋅∇003002001t
v t v t
v ρρρ
()()v t
v t v v t
ρρρρρρρ⋅-∇=∂∂⇒=⋅∇+∂∂=⋅∇+∇⋅+∂∂00
流体通量
()()()流体局地密度不变
流体无出入流体局地密度增大有流体流入流体局地密度减小
有流体流出⇒=∂∂⇒⇒=⋅∇⇒>∂∂⇒⇒<⋅∇⇒<∂∂⇒⇒>⋅∇003002001t
v t v t
v ρρρρρρ
二、自由表面的流体连续方程
通常把自然界中水面与空气面的交界面称为水面或水表面
当水面向某处汇集，该处水面将被拥挤而升高。

反之，当该处有水向四周散
开，该处水面将降低。

因流动而伴随出现的可以升降的水面，称为自由表面。

假设流团密度为()t z y x ,,,ρρ=，考虑流体运动为二维，即满足00=∂∂
≈z ，ω并
选取适当的坐标系，取流向方向为x 轴正方向，设流体自由表面高度h ，且h=h(x,y,t)，即h 在各处高低不同且可以随时间变化。

经流体柱前侧流出的质量为：()
()x z y u x z y u h
h
δδδρδδρ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∂∂+⎰⎰00 流出质量减去流入质量，可以得到柱体内的净流出量，等于柱体内质量的减
少量，即：()()x z y u x z y x t h
h δδδρδδρδ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∂∂=∂∂-⎰⎰00 由于上式积分中的上限h 为x,y,t 的函数，根据可变上限的积分规则：
()()()()()()()[]()()[]()dt
t db t t b f dt t da t t a f dx t x f dx t x f dt d t a t b t a t b t
,,,,-+=⎰⎰ 水
空气
分界面
在流体中选取一个以y x δδ为底的方形柱体，该柱体是一个固定不动的空间区域，称为控制区 ——Euler 观点 考虑柱体内流体的质量为 ()z y x m h
δδρδδ⎰=0
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
()z y u h
δδρ⎰0
对上式两边展开， 左边为：
()y x t
h
y x z t y x t z y x z t z y x t h h h
h h δδρδδδρδδρδδδρδδρδ∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-=∂∂-⎰⎰⎰0000
右边为：
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰⎰⎰h h h h h h u x h z x u z x u y x u x h z x u y x x z y u x 0000ρδρδρδδρδρδδδδδρ 消去y x δδ：
0000=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰x u dz z u x
u x h z t t h h h h h h ρδρρδρρ 由连续方程，得00=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎰z x u t h
δρρ 010
=∂∂⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂⇒
⎰
x
u
dz x h u t h h
h
ρρ
()
()
⎰
⎩⎨
⎧→=h
h
h
h dz 0
1
自由面附近或浅层流体均匀流体ρρ
0:
=∂∂+∂∂+∂∂x
u
h x h u t h X 自由表面连续方程：()0=⋅∇+∂∂v h t
h
§2.作用于流体的力 应力张量
牛顿第二定律：物体宏观运动（加速度）——作用于物体的力 一、作用于流体的力
分析对象：流体中以界面σ包围的体积为τ的流体块
⎩⎨
⎧表面力
质量力
流体的作用力 ①质量力（体力）：是指作用于所有流体质点的力，如重力、万有引力和电
磁力等。

（1）质量力是长程力：它随着相互作用的元素之间的距离的增加而减小， 对于一般流体的特征运动距离而言，均能显示出来。

（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量 力与其周围其他流体的存在并无关系。

如果F 表示单位质量的流体的质量力，规定其为：m
F F m δδδ
'
=→0
lim
⎰⎰⎰'τ
τ
ρτδδd F F m F 的流体块上的质量力是是过体积分，作用于体积质量力的分布密度。

通可以看做是不难看出，的流体块上的质量力，是作用在质量式中 ②表面力：是指流体内部之间或流体与其他物质之间的接触面上所受到的相
互作用力，如流体内部的黏性应力和压力，流体与固体接触面上 的摩擦力和压力等。

（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。

表面力随相互作 用元素之间距离增加而迅速减弱，只有在 相互作用元素之间的距离与分子距离同量 级时，表面力才显现出来。

（2）根据作用力与反作用力原理，流体块内各部分之间的表面力都是 互相作用而互相抵消，只有处于界面上的流体质点所受的、由界 面外侧流体所施加的表面力存在。

（3）表面力也是一种分布力。

定义单位面积上的表面力为：δσ
δδσp p
'
=→0
lim
⎰⎰'σ
σσδσδd p p
上所受到的表面力为触面某流体块与周围流体接分，
上的表面力，通过面积是作用于某个流体面积其中
③质量力与表面力的比较
质量力与表面力有着本质差别。

本质上，矢量F
是质量力的分布密
度，它是时间点和空间点的函数，因而构成一个矢量场。

而矢量p
为流体 的应力矢量，它不但是时间点和空间点的函数，并且在空间的每一点还随 着受力面元的取向不同而变化，所以要确定应力矢p
，必须考虑点的矢径
r ，该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢n
）以及时间t 。

确
切地说应力矢量是两个矢量()n r
,和一个标量t 的函数，即()t r n p ,, 。

二、应力张量
取流体四面体体元M-ABC ，三角形ABC 为其底面，这个四面体是由一个
斜面和三个坐标面相交而成的，其底面积为n δσ，跟坐标面平行的三个侧面面积
分别为z y x δσδσδσ和,，首先分析四面体元M-ABC 所受到的力，其受到质量力
m F δ ，四个侧面受到的表面力分别为z z y y x x n n p p p p δσδσδσδσ---
,,,。

按照牛顿第二定律，可得：
z z y y x x n n p p p p m F m dt
V d δσδσδσδσδδ---++++=
根据作用力与反作用力原理：
z z y y x x n n p p p p m F m dt
V d δσδσδσδσδδ
---+= 当四面体元向内收缩时，即0→m δ时，
z z y y x x n n p p p p δσδσδσδσ ++=
上式为作用于小四面体元的应力矢量之间的相互关系。

考虑到面元间的关系：
()()()⎪⎩⎪
⎨⎧======n z n z
n y n y n x n x n z n n y n n x n δσ
δσδσδσδσδσδσδσδσ,cos ,cos ,cos 于是，z z y y x x n n p p p p δσδσδσδσ ++=可以改写为：
z z y y x x n p n p n p n p
++=
引进应力张量：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=zz zy
zx
yz yy yx
xz xy xx p p p p p p p p p P 说明：应力矢量的下标取其受力面元的外法向，并规定为外法线方向流体对另一部分流体的作用应力。

应力分量ij p 的物理含义：第一个下标表示面元的外法线方向（且规定应力为外法线方向流体对另一部分流体的作用；第二个下标表示应力所投影的方向。

利用应力张量，可将z z y y x x n p n p n p n p ++=改写成：
P n p n
⋅=
另外，应力矢量n p
也可以表示为：
nz ny nx n p k p j p i p
++=
以上分析表明：对于以n
为外法线方向面元上的应力矢量n p ，可以用三个
坐标面平行的应力矢量y x p p ,和z p 进行线性表示，也可以将其表示为沿三个坐标轴的分量形式nz ny nx p p p ,,的组合。

通常应力矢量也可以表示为：
ττ
n nn n p n p p +=
法应力为τn n nn p n p p ，
⋅=为切应力。

三、应力张量与流体运动间的关系
流体中的应力与流体的运动状态（主要是形变率）之间有着非常密切的对应
关系。

设有两无界平行平板间的黏性流体运动，保持下板不动，使上板以速度U 作匀速直线运动。

牛顿归纳上述实验，提出牛顿黏性定律：dz
du zx μ
τ= 式中μ称为动力学黏性系数，简称黏性系数。

一般情况下，需以流体的切形变率代替上式的速度梯度。

对确定地流体，切应力与切形变率成正比，不论流体的黏性如何，只要流体无切形变就无黏性应力存在。

当流体作任意形式流动时，广义牛顿黏性假设为： ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛+-=100010001322I I V div p A P ，其中 μμ
实验表明，两平板上的流体质点黏附在平板上，随平板一起运动。

因此，下平板的流体处于静止，上平板的流体速度为U ，且流体的流速随距上板距离的增加而减小。

经过实践测定此流动中黏性应力处处相
同，与速度梯度成正比：h
U
zx ∝τ
§3.运动方程
一、流体的运动方程
在运动流体中选取一小六面体体元，其边长z y x δδδ,,
因此，周围流体通过侧面作用于小体元的x 向表面力合力为：
z y x z p y p x p zx yx xx δδδ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ 小六面体体元运动时，还受到质量力的作用，并且小体元所受x 向质量力为
z y x F x δδρδ
考虑小体元沿x 方向的运动加速度为
dt
du
，根据牛顿第二定律，则 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z p y p x p F dt du z y x z p y p x
p z y x F z y x dt du
zx yx xx x zx yx xx x ρδδδδδρδδδρδ1:可以化简为
这就是单位质量流体块x 向运动方程。

同理，可以得到y 和z 方向的运动方
程为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z p y p x p F dt
dw z p y p x p F dt dv zz yz xz z zy yy xy y ρρ11
将其写成矢量的形式：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z p y p x p F dt V d z y x ρ1 或者 P F dt V d
⋅∇+=ρ
1
小体元运动时，周围流体通过6个表面有表面力的作用。

通过六个侧面作用于小体元沿x 向的表面力分别为：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+---y x p y x z z p p z x p z x y y p p z y p z y x x p p zx zx zx yx yx yx xx xx xx δδδδδδδδδδδδδδδ和上下侧面：和右左侧面：和前后侧面：
其中，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∂∂∂∂∂∂
=⋅∇zz zy
zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p z y
x
P 这就是流体运动方程的一般形式。

二、纳维--斯托克斯方程
将广义牛顿黏性假设条件下的应力张量P 的具体形式I
V p A P ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅∇+-=μμ3
22代入流体运动的一般形式，有纳维--斯托克斯方程：
()
V V p F dt V d
2311∇+⋅∇∇+∇-=ρ
μρμρ 这就是适合牛顿黏性假设的流体运动方程，是牛顿第二定律在流体力学的一
种表示式，表明了作用力与流体运动变量之间的关系。

各物理量的意义说明：
dt
V d 是单位质量流体的加速度
F
是单位质量流体所受的质量力
p ∇-
ρ
1
可做如下变换：⎰⎰⎰⎰⎰-
=∇-
σ
τ
σρ
τρ
d n p pd 1
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∇-⇒⎰⎰→σ
τστρρd n p p 1lim 1
1
即为周围流体通过单位质量流体的表面，对其所产生的压力的合力矢量，其效果相当于作用于单位质量流体上的质量力，将其称为压力梯度力。

对于不可压缩（0=⋅∇V ），并将ρμ
定义为流体的运动学黏性系数，记作υ，
于是方程简化为：V p F dt V d
21∇+∇-=υρ
方程的最后一项V
2
∇υ，表示单位质量流体所受到的黏性力的合力，称之为
黏性力。

三、欧拉方程
对于理想流体（μ=0
上式为理想流体的运动方程，又称为欧拉方程。

压力梯度力可以引起运动状态的变化，反之流动结果又会使原来的压力分布状况发生变化（或者说压力梯度发生变化）
四、静力方程
流体静止时，即V
和dt
V
d 均等于零时，作用于流点的力应该达到平衡，于
是流体运动方程变成
p F ∇-=ρ
1
假设作用于单位质量流体的质量力就是重力，上式可以转化为
p k g ∇=-ρ
1
或z g p δρδ-=
对于密度只与z 有关的流体，积分上式可得()C z z g p +-=⎰δρ 如流体是均匀不可压缩的（密度保持常数），上式化简为C gz p +-=ρ
§4.能量方程
能量守恒定律是自然界的普遍规律，流体在运动过程中也是遵循上述规律的。

对一个孤立的流体块或系统而言，流体在运动过程中可以伴随着各种形式能量的互相转化，但其总能量是不变的，对非孤立系统而言，其总能量的变化等于外力（包括质量力和系统外部的表面力）对系统做的功和热量输入。

能量方程的普遍形式：流体中以界面σ包围的体积为τ的流体块 （内能+动能）的变化率==外界对系统所作的功率
()()()
⎰⎰⎰+⋅+⋅=+σ
τυδτρδσδτρδτρq dt d V p V F V T c dt d n 2/2
将微分号移至积分号内，即
ρδτδτρυττυ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222V T c dt d V T c dt d。