创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第8章 平面解析几何 第2节 精品

2．几种距离 (1)两点距离 两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)点线距离 点 P0(x0，y0)到直线 l∶Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)的 距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)线线距离 两平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d ＝ |CA1－2＋CB2|2.
(2)①当 l 的斜率 k 不存在时显然满足要求，此时 l 的方程 为 x＝2；②当 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)， 即 kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得－12＋k－k21＝2，∴k ＝34，∴l 的方程为 3x－4y－10＝0.综上，所求 l 的方程为 x＝2 或 3x－4y－10＝0.
k1≠k2 k1k2＝－1
A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0
A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0
直线方程
斜截式
平行
k1＝k2 且 b1≠b2
重合
k1＝k2 且 b1＝b2
一般式 A1B2－A2B1＝0 B2C1－B1C2≠0 或AA11BC22－－AA22BC11＝≠00 A1B2－A2B1＝0 B2C1－B1C2＝0 或AA11BC22－－AA22BC11＝＝00
直线方程
关系，巧设直线方程，在此基础上借助三
种距离公式求解．
一是转化为几何问题，利用几何知识求
与距离最值有
解，二是借助于基本不等式或函数性质求
关的问题
解.
跟踪训练
1．若直线 l1∶x－2y＋m＝0(m>0)与直线 l2∶x＋ny－3＝0 之间的距离是 5，则 m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
(3)当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直 线间的距离最大．因为 kAB＝－01－－11＝2，所以两条平行直线的 斜率为－12，所以直线 l1 的方程是 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y －3＝0.
[答案] (1)C (2)x＝2 或 3x－4y－10＝0 (3)x＋2y－3＝0
【名师说“法”】
距离问题的常见题型与求解策略
题型
求解策略
已知距离，求点的 借助于距离公式，建立方程(组)求 坐标或点的个数 解或判断解的个数即可．
可利用距离公式得出方程，解方程 已知距离求参数值
求得．
题型
求解策略
立足确定直线的几何要素——点和方向，利
已知距离，求 用直线方程的各种形式，结合直线的位置
质疑探究：应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应 注意什么？
提示：(1)将方程化为最简的一般形式；(2)利用两平行线之 间的距离公式时，应使两平行线方程中 x、y 的系数分别对应相 等．
[小题查验]
1．(2016·成都模拟)若直线(a＋1)x＋2y＝0 与直线 x－ay＝1
互相垂直，则实数 a 的值等于( )
角度一 点关于点的对称 1．过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1∶2x＋y－8＝0 和 l2∶ x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程．
[解] 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)，则由题意知，点 A 关 于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2上，代入 l2的方程得－a－3(2a －6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以由两点 式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
角度二 点关于线对称 2．已知直线 l∶2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)，求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标．
[解] 设 A′(x，y)，再由已知得 yx＋ ＋21×23＝－1， 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得yx＝＝1－4331，33，
故 A′－3133，143.
________．
(3)l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直
线，当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是________．
[解析] (1)作出 A 点关于 x 轴的对称点 A′(1，－3)，则 A′B 所在直线方程为 x－4y－13＝0.令 y＝0 得 x＝13，所以点 P 的坐标为(13,0)．
又∵l2∶2x＋by＋1＝0 与 l1 平行，∴－2b＝1，∴b＝－2，∴ a＋b＝－2.
[答案] B
4．(2016·浙江温州十校联考)过两直线 2x－y－5＝0 和 x＋y ＋2＝0 的交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程为 ________．
[解析] 联立x2＋x－y＋y－2＝5＝0，0， 得交点 P(1，－3)． 设过点 P 且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程为 3x＋y ＋m＝0，则 3×1－3＋m＝0，解得 m＝0.
由图知，当 PQ⊥l 时，点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值|PQ|＝ 2－02＋1＋32 ＝2 5，所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离为 2 5.
[答案] 2 5
考点三 对称问题(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的 一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：
[解析]
由xy＋＝y2＝x，3， 得yx＝＝21.，
∴点(1,2)满足方程 mx＋2y＋5＝0，即 m×1＋2×2＋5＝0，
∴m＝－9.
[答案] －9
5．已知直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2 的方程为 6x＋8y＋1＝0，则直线 l1 与 l2 的距离为________．
[解析] ∵直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2 的方程
[冲关集训]
1．(2016·广州模拟)直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称
的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
[解析] 由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐 标为(1,1)．又直线 x－2y＋1＝0 上的点(－1,0)关于直线 x＝1 的 对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得1y－－00＝1x－－33，即 x＋2y－3＝0.
角度三 线关于线对称 3．在[角度二]的条件下，求直线 m∶3x－2y－6＝0 关于直 线 l 的对称直线 m′的方程．
[解] 在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．设对称点 M′(a，b)，则
2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1，
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 由－a＋2 1×1a＝－1，得 a＋1＝2a，故 a＝1.
[答案] C
2．平面直角坐标系中直线 y＝2x＋1 关于点(1,1)对称的直
线方程是( )
A．y＝2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3
D．y＝2x－3
[解析] 在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则 点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1)，B 关于点(1,1)对称的点为 N(1，－1)．由两点式求出对称直线 MN 的方程1y＋＋11＝2x－－11，即 y＝2x－3，故选 D.
(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若 a＝－1，则 l1∶x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝ 0，显然两条直线垂直；若 l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a ＝－1 或 a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条 件，故选 A.
[题组集训]
1．(2016·怀化模拟)已知直线 ax＋2y＋2＝0 与 3x－y－2＝0
平行，则系数 a＝( )
A．－3
B．－6
C．－32
D.23
[解析] ∵直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，
∴－a2＝3，∴a＝－6.故选 B.
[答案] B
2．(2016·浙江名校联考)已知直线 l1∶x＋(a－2)y－2＝0，l2：
第八章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系
◆考纲·了然于胸◆ 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两平行直线间的距离.
[要点梳理]
1．两条直线位置关系的判定
直线方程
斜式
一般式
位置关系
相交 垂直
y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
[答案] 3x＋y＝0
考点二 距离问题(重点型考点——师生共研)
【例】 (1) 已知 A(1,3)，B(5，－2)，在 x 轴上有一点 P，
若|AP|－|BP|最大，则 P 点坐标为( )
A．(3.4,0)
B．(13,0)
C．(5,0)
D．(－13,0)
(2)过 P(2，－1)点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程为
[答案] D
3．点(1,1)到直线 x＋2y＝5 的距离为( )
5 A. 5
85 B. 5
35 C. 5
25 D. 5
[解析] 直线方程化为一般式 x＋2y－5＝0，
所以
d＝|1＋21×2＋12－2 5|＝
2 ＝2 5
5
5.故选
D.
[答案] D
4．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同 一点，则 m 的值为________．
提醒：当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)已知两直线的一般方程 两直线方程 l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0 中系 数 A1，B1，C1，A2，B2，C2 与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2 ＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2. 2．两直线交点的求法 求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组， 以方程组的解为坐标的点即为交点．
[解] 作出草图，如图所示，设 A 关于 直线 y＝x 的对称点为 A′，D 关于 y 轴的对 称 点 为 D′ ， 则 易 得 A′( － 2 ， － 4) ， D′(1,6)．由入射角等于反射角可得 A′D′ 所在直线经过点 B 与 C.
故 BC 所在的直线方程为－y－4－66＝－x－2－11， 即 10x－3y＋8＝0.
为 6x＋8y＋1＝0，即 3x＋4y＋12＝0，∴直线 l1 与直线 l2 的距离
为 123＋2＋742＝32.
[答案]
3 2
考点一 两条直线的位置关系(基础型考点——自主练透) [方法链接]
1．两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不 等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[答案] A
3．已知直线 l 的倾斜角为34π，直线 l1 经过点 A(3,2)，B(a，
－1)，且 l1 与 l 垂直，直线 l2∶2x＋by＋1＝0 与直线 l1 平行，则 a＋b 等于( )
A．－4
B．－2
C．0
D．2
[解析] 由题意知，l 的倾斜角为34π，∴k＝tan34π＝－1，设 l1 的斜率为 k1，∴k1＝23＋ －1a＝3－3 a，∵l1 与 l 垂直，∴k·k1＝－1， ∴a＝0.
[通关锦囊] 对称问题的解题策略 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决 轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时， 关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两 对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直” 列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
得 M′163，3103.
设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由32xx－－23yy－＋61＝＝00，， 得 N(4,3)． 又∵m′经过点 N(4,3)，∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
角度四 对称问题的应用 4．已知光线从 A(－4，－2)点射出，到直线 y＝x 上的 B 点后被直线 y＝x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反 射光线恰好过点 D(－1,6)，求 BC 所在的直线方程．
[解析] ∵直线 l1∶x－2y＋m＝0(m>0)与直线 l2∶x＋ny－3＝ n＝－2，
0 之间的距离为 5，∴|m＋53|＝ 5， ∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．∴m＋n＝0. [答案] A
2．点 P(2,1)到直线 l∶mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是 ________．
[解析] 直线 l 经过定点 Q(0，－3)，如 图所示．