初中数学竞赛奥数基础讲座反比例函数(含解答)

反比例函数
内容讲解
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k
x
（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=
k
x
具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．
3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=
k
x
中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=
k
x
中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式． 4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：y=k
x
（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=k
x
中．
例题剖析
例1 如果函数y=k 222
k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多
少？
分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=k
x
，且k ≠0，若图象在第二、四象限，则k<0，故可求出k 的值．
解：由反比例函数定义，得
211221,200
k k k k k k ⎧
⎧=-=+-=-⎪⎨⎨
<⎩⎪<⎩或
所以k=-1，这时函数为y=-
1
x
． 评注：函数y=k x m 反比例函数，则m=-1，k ≠0；若y=m
k
x 是反比例函数，则m=1，k ≠0．
例2 函数y=kx 和y=
k
x
（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）
分析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=
k
x
来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选（C ）． 解：（C ）．
评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论，当k>•0时的图象是什么？当k<0时的图象是什么？
例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=
k
x
（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．
分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线，x 轴，•正比例函数与垂线所围成的Rt △AOB 的面积是k 的一半． 解：105．
评注：若k 取大于0的自然数1，2，3，……n ，则对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，
S 2，S 3……S n ，则S 1+S 2+S 3+……+S n =
(1)
4
n n ． 例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1
x
的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，
CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．
分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面积为S 的4倍，为一常数． 解：函数y=x 与y=1
x
的图象交点A 、C 的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB•的面积等于1
2
，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2．
评注：理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键． 例5 两个反比例函数y=3x ，y=6
x
在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=
6
x
图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别
是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=
3
x
的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．
分析：解题关键是抓住点P 1，P 2，P 3，…，P 2005与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同．
解：当点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在函数y=
6
x
的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，...，4009•时相应的横坐标分别为666,,135， (6)
4009
．Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，
y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005）在函数y=3
x
的图象上，•且这些点的横坐标分别与点P 1，
P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同，点Q 2005横坐标是6
4009
．所以点Q 2005的纵坐标是
y 2005=k x =34009624009
． 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．
例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1
x
）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．
分析：通过观察，发现x 与1x 互为倒数，把1x 换成x 后可得到关于f （x ）和f （1x
）的两个方程，可以求解．
解：由f （x ）+2f （
1x ）=3x 得f （1x ）+2f （x ）=3x ， 联立两式，消去f （1x ），得3f （x ）=6
x -3x ，
所以f （x ）=2
x
-x ．
从而方程f （x ）=f （-x ），可化为2x -x=-2
x
+x ，解得：x=经检验是方程的解．
评注：本题由于方程比较特殊，抓住x 与1
x
互为倒数的特点是解题的关键．
例7 反比例函数y=k
x
（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一
点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．
分析：因为S △POQ =
1
2
·OQ ·PQ ，若设P 点坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │，又因为P•点在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到S △POQ =12xy ，而由y=k
x
可以
得到xy=k ，•于是可以确定S 与k 的关系式． 解：S 与k 之间的关系式为S=
1
2
k ， 设P 点的坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │． ∵点P 在第一象限内，∴x>0，y>0， ∴OQ=x ，PQ=y ．
∴S△POQ=1
2
·OQ·PQ=
1
2
xy．
又∵xy=k，∴S△POQ =1
2
k．
评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．
例8如图所示，已知反比例函数y=12
x
的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、
•Q两点，并且P点的纵坐标是6．
（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．
分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=12
x
上，可以求得P•点
的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．
又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）•代入即可求出一次函数的解析式，•△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．
解：（1）∵点P在反比例函数y=12
x
的图像上，且其纵坐标为6．
∴12
x
=6解得x=2，∴P（2，6）．
又∵点P在函数y=kx+4的图像上，∴6=2k+4，解得k=1．
∴所求一次函数的解析式为y=x+4．
（2）解方程组12124,
62122, 6.,y x x x y y y x =+⎧=-=⎧⎧⎪
⎨⎨⎨
=-==⎩⎩⎪⎩
得 ∴点Q 的坐标为（-6，-2）． 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．
∴函数y=x+4的图像与x 轴的交点是N （-4，0）．
∴△PON 和△QON 的公共边ON=4，ON 边上的高分别为PA=6，QB=2． ∴S △POQ =S △PON +S △QON =
12×4×6+1
2
×4×2=16． 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．
例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．
（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．
（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，•同时要学会看图形．
解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设y与x的解析式为y=kx（k≠0）
∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=3
4
，
∴y与x的解析式为y=3
4
x（0<x≤8）．
药物燃烧后函数为反比例函数
设y与x的解析式为y=
`k
x
（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×6=48．
∴y与x的解析式为y=48
x
（x>8）．
（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中
y=48
1.6
=30（分钟）
答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．
（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10．
即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．评注：本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．•解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．
例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？
分析：观察表格发现“投入技改资金x ”与“产品成本y ”的积不变，•故表中数据满足反比例函数关系．
解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 7.2 2.5 2.4
6313.2k b k k b b =+=-⎧⎧⎨
⎨
=+=⎩⎩
解得 ∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2． 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边≠右边，∴其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为y=k
x
当x=2.5时，y=7.2可得7.2=2.5
k
，得k=18 ∴反比例函数为y=
18x ． 验证：当x=3时，y=18
3
=6，符合反比例函数．
同理可验证：
x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．
∴可用反比例函数y=18
x
表示其变化规律． （2）解：①当x=5万元时，y=18
5
=3.6．
∵4-3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2004年降低0.4万元．
②当y=3.2时，3.2=18
x
，得x=5.625，
∵5.625-5=0.625≈0.63（万元）．
∴还需投入0.63万元．
评注：这是一道渗透新课程理念的好题．它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中．较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力．
例11 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，
•点C在y轴上，点B在函数y=k
x
（k>0，x>0）的图像上，点P（m，n）是函数y=
k
x
上的
任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S．
（1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=9
2
时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式．
分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0）．
所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3
即B（3，3），所以x0y0=k，k=9；
（2）①P （m ，n ）在y=9
x
上，S 正方形
OEP1F =mn=9，所以S
矩形
OAGF =3n ，由已知可得
S=9-3n=
92，解得n=32，m=6，•所以P 1（6，3
2
）． ②如图（a ）所示，同理可求得P 2（3
2
，6）．
（3）如图（b ）所示，当0<m<3时，因为点P 坐标为（m ，n ），所以S 矩形OEGC =3m ，S=S 矩形OEPF -S 矩形OEGC
所以S=9-3m （0<m<3）
如图（c ）所示，当m ≥3时，因为P 点坐标为（m ，n ） 所以S 矩形OAGF =3n ，mn=9，n=
9m
，所以S=9-3n=9-27m ． 评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，•还应注意图形的分类讨论．
例12 三个反比例函数（1）y=
1k x ；（2）y=2k
x ；（3）y=3k x
在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．
分析：由图象所在的象限可知：k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 与k 的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2
k x 与y=3k x
的对应函数值b 和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 解：k 3>k 2>k 1．
评注：比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、•三象限的k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k•值比在内部的k 值大． 例13 已知点（1，3）在函数y=
k
x
（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=k
x
（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．
分析：由点P 在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C 的坐标． 解：（1）因为点（1，3）在函数y=k
x
（x>0）的图象上， 所以3=
1
k
，所以k=3； （2）因为点E 在函数y=
3x 的图象上，所以E 点的纵坐标为3m
．所以点E 的坐标为（m ，3m ），•设B 点的坐标为（b ，0），所以A 点的坐标为（b ，6
m
）． 因为A 点在函数y=3x 的图象上，所以6m =3b ，所以b=2m
．所以C 点的横坐标为
OB+BC=b+2（m-b ）=2m +2（m-2m ）=2
m +m=3
2m ；
（3）当∠ABD=45°时，│AB │=│AD │，所以6m =32m -2
m
=m ．所以m 2=6，又因为m>0，
所以
评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系．
例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使
斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=
x
的图象上，求点C 的坐标．
分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B 、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性． 解：本题共有4种情况．
（1）如图①，过点A 做AD ⊥BC 于D ，∵AB=1，∠B=60°，∴BD=
12，AD=2
，
∴点A 的纵坐标为
2．将其代入y=x ，得x=2，即OD=2． 在Rt △ADC 中，DC=
32，所以OC=72，即点C 1的坐标为（7
2
，0）．
（2）如图②，过点A 作AE ⊥BC 于E 则AE=
2
，OE=2，CE=32，
所以OC=
12．即点C 2的坐标为（1
2
，0）．• 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-72，0），点C 4的坐标为（-1
2
，0）．
所以点C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-1
2
，0）．
评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能． 巩固练习
一、填空题
1．若一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则抛物线y=x 2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧；反比例函数y=
kb
x
的图象在第_______象限，在每一个象限内，y 随x•的增大而________． 2．反比例函数y=
k
x
的图象经过点A （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，则A 点坐标为________． 3．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-
4
x
的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．
4．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）；
（2）点P 到原点O ； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限； （4）对于函数y=
n
x
，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题
5．已知反比例函数y=
1m
x
的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ） （A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>12
6．已知反比例函数y=
k
x
的图象如图（a ）所示，则二次函数y=2k x 2-x+k 2的图象大致为（ ）
7．函数y=-ax+a 与y=
a
x
（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
8．如图，A 、B 是函数y=
1
x
的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）
（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=2
9．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=
4
x
（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题
10．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=m
x
（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．
（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
11．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=k
x
的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
12．已知反比例函数y=2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
13．反比例函数y=k
x
的图象上有一点P（m，n），其中m、n是关于t•的一元二次方程t2-3t+k=0
的两根，且P到原点O，则该反比例函数的解析式为________．
14．老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；
乙：函数图像经过第一象限；
丙：当x<2时，y随x的增大而减小；
丁：当x<2时，y>0
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______．
15．已知反比例函数y=12
x
的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a 的值．
16．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元
/千克）存在下列函数关系式：y=100000
x
+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种
农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．
（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？
17．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=1
2x
（x>0）上任意一
点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
（1）求证：AF×BE=1；
（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
18．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．
（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵a2+
2
2
k
a
=（a-
k
a
）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-
k
a
）2≥0，∴a2+
2
2
k
a
≥2k，∴当a-k
a
=0，•即a=a2+
2
2
k
a
取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样
的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的1
6
？若
存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点
B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=1
2x
的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条
曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．
（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．
（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．
答案:
一、1．右，二、四、增大 2．（-2，-2） 3．2 4．②、③、④
二、5～9．CDCDA
三、10．（1）A （-1，0），B （0，1），D （1，0）；（2）y=
2x
，y=x+1． 11．（1）将N （-1，-4）代入y=k x 中得到k=4，反比例函数的解析式为y=4x
， 将M （2，m ）•代入解析式y=4x 中得m=2， 将M （2，2），N （-1，-4）代入y=ax+b 中，224a b a b +=⎧⎨
-+=-⎩解得a=2，b=-2，• 一次函数的解析式为y=2x-2．
（2）由图象可知：当x<-1或0<x<2时反比例函数的值大于一次函数的值．
12．（1）k=2，y=1x
； （2）解方程组121,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
得x 1=1，x 2=-12（舍去）， 从而y=1，点A 的坐标为（1，1）；
（3）符合条件的点P 存在，有下列情况：
①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，
OP 1=P 1A •得P 1（1，0）；
②若OA 为腰，AP 为底，则由
P 2（
0），P 3
0）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由
OP=2，P 4（2，0）．
13．y=2x
-． 14．可填入的答案为：y=
1x （x>0）或y=-x+2或y=（x-2）2或y=│x-2│等均可． 15．（1）y=32
x-7；
（2）A （
32a ，a-7），B （a+2，32a-4），C （a+2，122a +），D （a ，12a
）． 由AB=CD ，得22+32=22+（122a +-12a
）2， 即（122a +-12a
）=±3，解方程得a=-4，a=2均为所求的值． 16．（1）由已知市场处于平衡，此时y=z 得100000x +6000=400x （x-25）（x+10）=0， ∴x 1=25，x 2=-10（•舍去），把x=25代入z=400x 中，得z=10000（千克）．• 一段时间内该地区农民的总销售收入=25×10000=250000（元）．
（2）∵需求函数关系未变，∴平衡点仍在需求函数图象上．
由已知此时价格为（a+25）元/千克，代入y=
100000x +6000中得： 此时的需求数量y 1=10000025
a ++6000（千克）． 又∵此时市场处于平衡，生产数量z 1=需求数量y 1， ∴此时的总销售收入为：（a+25）·（
10000025a ++6000）=250000+6000a （•0<a<25）． ∴农民总销售收入增加了（250000+6000a ）-250000=6000a （元）．
17．（1）过点E ，F 分别作y 轴，x 轴垂线，垂足分别为D 、C ，
则△AOB ，△FCA ，△DBE•为等腰直角三角形．
设P （x 0，y 0），则FC=y 0，DE=x 0，
0，∴AF·
0=2x 0y 0， 又y 0=0
12x ，即2x 0y 0=1，∴AF ·BE=1； （2）平行于AB 的直线L 的解析式为y=-x+b ，
设L 与双曲线的惟一公共点Q 的坐标为（x ，y ）．联立12y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
， 得2x 2-2bx+1=0，由△=4b 2-8=0，得
所以x=2，y=2，即Q 点的坐标为（2，2
）． 18．（1）y=
9x ，x>0； （2）S=π（x 2+y 2）=π [x 2+（
9x ）2]≥18π， 当且仅当x=9x ，即x=3，S 最小=18π，此时，y=9x
=3， 所以当点A 的坐标为（3，3）时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π．
（3）存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，
由已知得A （3，3），Q （0，2），P （-
2m
，0）， ∴S △PAQ =S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ =12 [（-2m +3）×3-1×3-2×（-2m ）]=3-1m
． ∴3-1m =16×36，解得m=-13．
19．（1）E （a ，1-a ），F （1-b ，b ）
（2）当PM 、PN 和线段AB 相交时，
S △EOF =S △AOB -S △AOE -S △BOF =12×1×1-12×1×（1-a ）-12
×1×（-b ）=12a b +-．• 当PM 、PN 中一条与线段AB 相交，另一条与线段AB 的延长线相交时，
也可求得S △EOF =12
a b +-． （3）△AOF 一定和△BOE 相似，
∵OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO ，，
，
∴点P在函数y=1
2x
图象上，
∴b=1
2a
，即：2ab=1．
∴AF OA
OB BE
=，∴△AOF∽△BEO．
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中，∠EOF=45°，
∵△AOF和△BOE一定相似，•
∴∠AFO=∠BOE而∠AFO=∠B+∠BOF，∠BOE=∠BOF+∠EOF，∴∠EOF=45°．。