计量经济学教学课件(11章)第2章 一元线性模型
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式中，ොy为被解释变量(y)的样本条件均值，作为总体条件期望E(yi )的近似
估计；β 0 、β 1 为样本回归函数的回归系数，分别作为总体回归系数β0 和β1 的
近似估计。
上式为样本回归函数的均值设定形式，它的随机设定形式为：
= መ0 + መ1 +
其中 称为残差项或剩余项(Residual)，它代表被解释变量的样本实际观测
其他相关统计学教材。
在简单相关分析中，所考察变量都是随机变量，且关系对等。
7
2.1 回归分析的基本概念
➢ 回归分析
在研究变量之间的关系时，不仅仅止于研究其相关关系，通常还需判断变
量间是否存在因果关系及其具体的数量依赖关系，此时就需要应用回归分析
来完成这一任务。
回归分析也是研究变量之间数量依存关系的一种常用统计分析方法，其目
的在于研究因果变量之间的数量依存关系，可根据原因变量的数值变化去推
测结果变量的数值变化。
在回归分时，往往要基于特定的研究目的和相关理论，将原因变量作为
可控的解释变量，将结果变量作为随机的被解释变量。若变量之间互为因果
关系时，将某个变量作为解释变量与作为被解释变量所得到的回归分析结果
（回归方程系数）不仅在数量上存在差别，而且经济意义也完全不同。
力。
凯恩斯消费理论认为,居民收入是决定居民消费的最主要因素，两者呈同方向
变化，并且随着居民收入水平的提高，居民消费支出增量占其收入增量的比重却
呈逐步降低趋势，即存在边际消费倾向递减规律。那么，凯恩斯消费理论在我国
具有适用性吗？有学者研究认为“我国居民的边际消费倾向目前仍高于50%”，如
何利用计量经济学模型对凯恩斯消费理论和该学者的研究结论进行验证？
对应的结果变量。在给定解释变量x时，
被解释变量y的分布称为条件分布，被解
释变量y的期望和方差分别称为条件期望
和条件方差，分别用E(y│x)和Var(y│x)表
示，条件期望又称为条件均值。相关分
析是研究变量。
例：一个由50户家庭组成的虚拟社区，
经整理后的人均可支配收入与人均消费
支出数据如右表。
10
2.1 回归分析的基本概念
03
一元线性回归模型的统计检验
04
一元线性回归模型的预测
05
案例分析
引子：凯恩斯消费理论在我国具有适用性吗？
居民消费一直是经济学家和各国政府关注的重要问题。从微观层面来看，居
民消费水平是居民生活质量的主要方面，是家庭幸福感的重要影响因素；从宏观
层面来看，居民消费是一个国家总消费的重要组成部分，是经济增长的重要推动
则和方法”中，由于普通最小二乘法原理简单，易于计算且计算量相对较小，且
在满足一些基本假定时，参数估计量具有良好的统计性质，因此普通最小二乘
法成为计量经济学中最基本、最常用的参数估计方法。
普通最小二乘法的原理：在由参数估计量组成的多种组合中，选择使当前样
本残差平方和最小的那组参数估计量，即在众多的样本回归线中，通过OLS法来
经验，或者基于样本数据绘制的散点图进行设定；
(2) 对现实经济问题进行“计量”研究的手段是寻求总体回归函数，通过用样
本数据得到的样本回归函数作为总体回归函数的近似估计，进而再利用总体回
归函数来分析总体的平均变化规律；
(3) 对于特定的研究总体而言，总体回归函数是客观存在且唯一的；
(4) 总体回归函数中Y与X的函数形式可以是线性的，也可以是非线性的。
型或样本回归方程。
16
在例2-2中，若将家庭人均消费支出(yi)看成是家庭人均可支配收入(xi)的线性函数，此时的样本回归函数为：
2.1 回归分析的基本概念
上例中，若将家庭人均消费支出( )看成是家庭人均可支配收入(x )的线性
函数，此时的样本回归函数为：
ො = መ0 + መ1
➢ 样本回归函数
将样本中每个家庭人均可支配收入
下人均消费支出的条件均值(തy|)按照
人均可支配收入从小到大的顺序用短
线进行连接，得到的这一条连线(如右
图中所示)称为样本回归线。
样本中这条描述被解释变量的条件
均值(തy|)变动轨迹的函数就称为样本
回归函数(Sample Regression
Function, SRF)，也称为样本回归模
此式又称为线性总体回归函数的随机设定形式，它表明了第个观测的被解释
变量()既受到解释变量()的系统性影响 | ，还受到其他因素的随机影响()。
13
2.1 回归分析的基本概念
• 随机误差项的内容
总体回归模型中的随机误差项一般包括如下方面的内容：
（1）模型函数形式设定误差对被解释变量的影响；
选择使当前样本残差平方和最小的那条样本回归线。
对于样本回归模型：
= መ0 + መ1 +
OLS法用公式表示为：
= 2 = − መ0 − መ1
=1
=1
2
19
2.2 一元线性回归模型的参数估计
根据微积分知识知，使最小的( መ0 , መ1 )可由以
()()
式中，(, )为变量和的协方差，()和()分别为变量和的
方差。
线性相关系数 的取值范围： −1 ≤ ≤ 1。
6
2.1 回归分析的基本概念
线性相关系数 的取值范围： −1 ≤ ≤ 1。
当 > 0时，表示变量和间呈正相关；
值 与样本条件均值ො 之间的偏离，可视为随机误差项 的近似估计。
17
2.1 回归分析的基本概念
•
值得强调的是：
（1）样本回归函数不是唯一的。因为样本是从总体中随机抽取的，样本
回归系数估计量是随机变量，通常一组样本数据可估计出一条样本回归函数；
（2）样本回归函数的形式与设定的总体回归函数的形式一致；
当 < 0时，表示变量和间呈负相关；
当 = 0表，示变量和间不相关
变量和间相关系数的绝对值 越大，表示变量和越相关，当 =
1时，表示变量和完全相关，即变量和之间为函数关系。
一个变量与多个变量之间的相关可用复相关系数与偏相关系数来度量，两组
变量间的相关关系可用一个或多个典型相关系数度量。有关计算公式，请参见
➢ 总体回归函数
若将社区家庭人均消费支出的
条件均值按照人均可支配收入从小
到大的顺序用短线连接起来，可得
到一条连线(如右图所示)，这条连
线称为总体回归线。
总体回归线反映了总体中被解释
变量的条件期望(│)随着解释变
量变动而变动的轨迹。
总体回归线可用一函数进行描述:
= ()
11
2.1 回归分析的基本概念
下方程组求出：
= − መ0 − መ1 = 0
መ
0
=1
= − መ0 − መ1 = 0
መ
1
=1
用于求解回归参数的方程组称为正规方程组,
解此正规方程组得：
σ − ҧ − ത
σ − σ σ
=
σ − ҧ 2
（2）数据测量误差对被解释变量的影响；
（3）无法取得数据的已知影响因素对被解释变量的影响；
（4）未知影响因素对被解释变量的影响；
（5）众多微弱影响因素对被解释变量的综合影响；
（6）现象内在和外在随机因素对被解释变量的影响；
以上(1)~(3)三个方面对计量经济建模质量有着重要影响，是建模实践中需
仔细分析与思考的内容。
根据相关程度可分为：完全相关、不完全相关和不相关。
5
2.1 回归分析的基本概念
•
简单线性相关系数：
简单相关分析所使用的方法手段主要是相关图表法和相关系数法。相关图表
法较为直观。当变量之间大体存在线性相关关系时，常用相关系数法进行分析。
两变量x和y的Pearson相关系数计算公式为：
=
(, )
4
2.1 回归分析的基本概念
2.1.1 相关分析与回归分析
➢相关分析
相关分析是研究变量之间数量依存关系的常用统计分析方法。其目的在于说
明变量之间的相关形式、相关方向和相关程度。
• 相关关系的分类：
根据考察的变量个数可分为：简单相关、复相关和典型相关。
依据相关形式可分为：线性相关和非线性相关。
根据相关方向可分为：正相关和负相关。
假设1：回归模型是“正确”设定的线性回归模型
这一假设包括两个方面的内容：
一是所设定的总体回归函数是“正确的”。即能概括出真实总体回归函数的
必要信息，也就是在变量及变量函数形式的设置上能满足研究需求；
二是模型是“参数线性”回归模型。在计量经济学模型中，“线性”有两种含
（1）根据样本观测值和参数估计方法，获得估计的样本回归方程；
（2）对样本回归方程进行统计显著性及计量经济学检验；
（3）利用通过各种相关检验的样本回归方程对社会经济问题进行分析、
预测及评估。
9
2.1 回归分析的基本概念
2.1.2 回归函数
➢ 条件期望与条件方差
回归分析中的解释变量x通常是给定的
原因变量，被解释变量y是与解释变量x
8
2.1 回归分析的基本概念
回归分析所采用的方法手段是建立回归方程。回归方程中的回归系数反映
了变量之间 的具体数量依存关系。在满足一定假定条件下，利用样本数据对
回归方程的系数进行估计，当回归方程通过有关检验后，可用其对社会经济
问题进行分析、预测及评估。
回归分析是计量经济学方法论的基础，其主要内容包括：
ECONOMETRICS
第二章
一元线性回归模型
教
学
目
的
和
要
求
01
了解一元线性回归模型
02
掌握一元线性模型OLS法的基本原理及其假定
03
了解一元线性模型OLS估计量的统计性质
04
掌握一元线性模型统计检验的意义和方法
05
掌握一元线性回归EVIEWS软件实现
课
程
内
容
01
回归分析的基本概念
02
一元线性回归模型的参数估计
就总体中的个别单位而言，给定解释变量值时被解释变量的实际观测值与其期
望值之间存在一定偏离，由于期望值未知，所以这个偏离是一个不可观测的随机
变量，这个偏离通常被称为随机误差项或随机扰动项，简称为误差项或干扰项，
记为ε。以下标表示第个观测单位，则线性总体回归函数的个别值设定形式为：
= 0 + 1 +
14
2.1 回归分析的基本概念
➢ 样本回归函数
总体回归函数虽然客观存在，但
却未知，可用随机样本数据得到的
样本回归函数作为总体回归函数的
一个估计。
例：假如无法收集虚拟社区50个
居民家庭的收支数据，于是从这一
总体的各组可支配收入下随机抽取2
个家庭，组成一个包含10个家庭的
随机样本，如右表所示。
15
2.1 回归分析的基本概念
12
2.1 回归分析的基本概念
假若将虚拟社区中家庭人均消费支出(y)看成是家庭人均可支配收入水平(x)的线
性函数，则总体回归函数可表示为：
= 0 + 1
式中，β0 、β1 称为总体回归系数或回归参数，其中，β0 称为截距项、常数项或
截距系数；β1 称为斜率系数。此式可称为线性总体回归函数的期望值设定形式。
在用样本回归函数估计总体回归函数时，不仅需要能获得样本回归函数，还
希望获得的样本回归函数要尽可能地“接近”总体回归函数。普通最小二乘法虽能
使样本回归函数“很好地”拟合样本数据，但没考虑到获得的样本回归函数是否
“接近”总体回归函数。因此，为了使获得的样本回归函数 “接近”总体回归函数，
在采用普通最小二乘法拟合样本数据时，还需要满足以下假设。
（3）样本回归函数反映样本中被解释变量条件均值的变动轨迹，它只是
总体回归函数的一个近似反映；
（4）样本回归函数中的残差项 在一定条件下是可以计算出来的。
18
2.2 一元线性回归模型的参数估计
2.2.1 普通最小二乘估计（OLS）
取得样本数据后，可通过某些 “规则和方法”获得样本回归线。在众多的“规
σ 2 − σ 2
൞
መ0 = ത − መ1 ҧ
መ1 =
若记 ሶ = − ，
ҧ ሶ = − ，则有：
ത
ቐ
σ ሶ ሶ
መ1 = σ ሶ 2
መ0 = ത − መ1 ҧ
20
2.2 一元线性回归模型的参数估计
2.2.2 一元线性回归的经典假设
将总体中描述被解释变量条件期望E(y│x)变动轨迹的函数称为总体回归函数
(Population Regression Function, PRF)，也称为总体回归模型，或总体回归方程。
总体回归函数反映了被解释变量的总体条件期望E(y│x)随解释变量x变化而变化
的规律。
值得强调的是：
(1) 在现实经济研究中，总体回归函数是未知的，只能根据经济理论和实践
估计；β 0 、β 1 为样本回归函数的回归系数，分别作为总体回归系数β0 和β1 的
近似估计。
上式为样本回归函数的均值设定形式，它的随机设定形式为：
= መ0 + መ1 +
其中 称为残差项或剩余项(Residual)，它代表被解释变量的样本实际观测
其他相关统计学教材。
在简单相关分析中，所考察变量都是随机变量，且关系对等。
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2.1 回归分析的基本概念
➢ 回归分析
在研究变量之间的关系时，不仅仅止于研究其相关关系，通常还需判断变
量间是否存在因果关系及其具体的数量依赖关系，此时就需要应用回归分析
来完成这一任务。
回归分析也是研究变量之间数量依存关系的一种常用统计分析方法，其目
的在于研究因果变量之间的数量依存关系，可根据原因变量的数值变化去推
测结果变量的数值变化。
在回归分时，往往要基于特定的研究目的和相关理论，将原因变量作为
可控的解释变量，将结果变量作为随机的被解释变量。若变量之间互为因果
关系时，将某个变量作为解释变量与作为被解释变量所得到的回归分析结果
（回归方程系数）不仅在数量上存在差别，而且经济意义也完全不同。
力。
凯恩斯消费理论认为,居民收入是决定居民消费的最主要因素，两者呈同方向
变化，并且随着居民收入水平的提高，居民消费支出增量占其收入增量的比重却
呈逐步降低趋势，即存在边际消费倾向递减规律。那么，凯恩斯消费理论在我国
具有适用性吗？有学者研究认为“我国居民的边际消费倾向目前仍高于50%”，如
何利用计量经济学模型对凯恩斯消费理论和该学者的研究结论进行验证？
对应的结果变量。在给定解释变量x时，
被解释变量y的分布称为条件分布，被解
释变量y的期望和方差分别称为条件期望
和条件方差，分别用E(y│x)和Var(y│x)表
示，条件期望又称为条件均值。相关分
析是研究变量。
例：一个由50户家庭组成的虚拟社区，
经整理后的人均可支配收入与人均消费
支出数据如右表。
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2.1 回归分析的基本概念
03
一元线性回归模型的统计检验
04
一元线性回归模型的预测
05
案例分析
引子：凯恩斯消费理论在我国具有适用性吗？
居民消费一直是经济学家和各国政府关注的重要问题。从微观层面来看，居
民消费水平是居民生活质量的主要方面，是家庭幸福感的重要影响因素；从宏观
层面来看，居民消费是一个国家总消费的重要组成部分，是经济增长的重要推动
则和方法”中，由于普通最小二乘法原理简单，易于计算且计算量相对较小，且
在满足一些基本假定时，参数估计量具有良好的统计性质，因此普通最小二乘
法成为计量经济学中最基本、最常用的参数估计方法。
普通最小二乘法的原理：在由参数估计量组成的多种组合中，选择使当前样
本残差平方和最小的那组参数估计量，即在众多的样本回归线中，通过OLS法来
经验，或者基于样本数据绘制的散点图进行设定；
(2) 对现实经济问题进行“计量”研究的手段是寻求总体回归函数，通过用样
本数据得到的样本回归函数作为总体回归函数的近似估计，进而再利用总体回
归函数来分析总体的平均变化规律；
(3) 对于特定的研究总体而言，总体回归函数是客观存在且唯一的；
(4) 总体回归函数中Y与X的函数形式可以是线性的，也可以是非线性的。
型或样本回归方程。
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在例2-2中，若将家庭人均消费支出(yi)看成是家庭人均可支配收入(xi)的线性函数，此时的样本回归函数为：
2.1 回归分析的基本概念
上例中，若将家庭人均消费支出( )看成是家庭人均可支配收入(x )的线性
函数，此时的样本回归函数为：
ො = መ0 + መ1
➢ 样本回归函数
将样本中每个家庭人均可支配收入
下人均消费支出的条件均值(തy|)按照
人均可支配收入从小到大的顺序用短
线进行连接，得到的这一条连线(如右
图中所示)称为样本回归线。
样本中这条描述被解释变量的条件
均值(തy|)变动轨迹的函数就称为样本
回归函数(Sample Regression
Function, SRF)，也称为样本回归模
此式又称为线性总体回归函数的随机设定形式，它表明了第个观测的被解释
变量()既受到解释变量()的系统性影响 | ，还受到其他因素的随机影响()。
13
2.1 回归分析的基本概念
• 随机误差项的内容
总体回归模型中的随机误差项一般包括如下方面的内容：
（1）模型函数形式设定误差对被解释变量的影响；
选择使当前样本残差平方和最小的那条样本回归线。
对于样本回归模型：
= መ0 + መ1 +
OLS法用公式表示为：
= 2 = − መ0 − መ1
=1
=1
2
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2.2 一元线性回归模型的参数估计
根据微积分知识知，使最小的( መ0 , መ1 )可由以
()()
式中，(, )为变量和的协方差，()和()分别为变量和的
方差。
线性相关系数 的取值范围： −1 ≤ ≤ 1。
6
2.1 回归分析的基本概念
线性相关系数 的取值范围： −1 ≤ ≤ 1。
当 > 0时，表示变量和间呈正相关；
值 与样本条件均值ො 之间的偏离，可视为随机误差项 的近似估计。
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2.1 回归分析的基本概念
•
值得强调的是：
（1）样本回归函数不是唯一的。因为样本是从总体中随机抽取的，样本
回归系数估计量是随机变量，通常一组样本数据可估计出一条样本回归函数；
（2）样本回归函数的形式与设定的总体回归函数的形式一致；
当 < 0时，表示变量和间呈负相关；
当 = 0表，示变量和间不相关
变量和间相关系数的绝对值 越大，表示变量和越相关，当 =
1时，表示变量和完全相关，即变量和之间为函数关系。
一个变量与多个变量之间的相关可用复相关系数与偏相关系数来度量，两组
变量间的相关关系可用一个或多个典型相关系数度量。有关计算公式，请参见
➢ 总体回归函数
若将社区家庭人均消费支出的
条件均值按照人均可支配收入从小
到大的顺序用短线连接起来，可得
到一条连线(如右图所示)，这条连
线称为总体回归线。
总体回归线反映了总体中被解释
变量的条件期望(│)随着解释变
量变动而变动的轨迹。
总体回归线可用一函数进行描述:
= ()
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2.1 回归分析的基本概念
下方程组求出：
= − መ0 − መ1 = 0
መ
0
=1
= − መ0 − መ1 = 0
መ
1
=1
用于求解回归参数的方程组称为正规方程组,
解此正规方程组得：
σ − ҧ − ത
σ − σ σ
=
σ − ҧ 2
（2）数据测量误差对被解释变量的影响；
（3）无法取得数据的已知影响因素对被解释变量的影响；
（4）未知影响因素对被解释变量的影响；
（5）众多微弱影响因素对被解释变量的综合影响；
（6）现象内在和外在随机因素对被解释变量的影响；
以上(1)~(3)三个方面对计量经济建模质量有着重要影响，是建模实践中需
仔细分析与思考的内容。
根据相关程度可分为：完全相关、不完全相关和不相关。
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2.1 回归分析的基本概念
•
简单线性相关系数：
简单相关分析所使用的方法手段主要是相关图表法和相关系数法。相关图表
法较为直观。当变量之间大体存在线性相关关系时，常用相关系数法进行分析。
两变量x和y的Pearson相关系数计算公式为：
=
(, )
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2.1 回归分析的基本概念
2.1.1 相关分析与回归分析
➢相关分析
相关分析是研究变量之间数量依存关系的常用统计分析方法。其目的在于说
明变量之间的相关形式、相关方向和相关程度。
• 相关关系的分类：
根据考察的变量个数可分为：简单相关、复相关和典型相关。
依据相关形式可分为：线性相关和非线性相关。
根据相关方向可分为：正相关和负相关。
假设1：回归模型是“正确”设定的线性回归模型
这一假设包括两个方面的内容：
一是所设定的总体回归函数是“正确的”。即能概括出真实总体回归函数的
必要信息，也就是在变量及变量函数形式的设置上能满足研究需求；
二是模型是“参数线性”回归模型。在计量经济学模型中，“线性”有两种含
（1）根据样本观测值和参数估计方法，获得估计的样本回归方程；
（2）对样本回归方程进行统计显著性及计量经济学检验；
（3）利用通过各种相关检验的样本回归方程对社会经济问题进行分析、
预测及评估。
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2.1 回归分析的基本概念
2.1.2 回归函数
➢ 条件期望与条件方差
回归分析中的解释变量x通常是给定的
原因变量，被解释变量y是与解释变量x
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2.1 回归分析的基本概念
回归分析所采用的方法手段是建立回归方程。回归方程中的回归系数反映
了变量之间 的具体数量依存关系。在满足一定假定条件下，利用样本数据对
回归方程的系数进行估计，当回归方程通过有关检验后，可用其对社会经济
问题进行分析、预测及评估。
回归分析是计量经济学方法论的基础，其主要内容包括：
ECONOMETRICS
第二章
一元线性回归模型
教
学
目
的
和
要
求
01
了解一元线性回归模型
02
掌握一元线性模型OLS法的基本原理及其假定
03
了解一元线性模型OLS估计量的统计性质
04
掌握一元线性模型统计检验的意义和方法
05
掌握一元线性回归EVIEWS软件实现
课
程
内
容
01
回归分析的基本概念
02
一元线性回归模型的参数估计
就总体中的个别单位而言，给定解释变量值时被解释变量的实际观测值与其期
望值之间存在一定偏离，由于期望值未知，所以这个偏离是一个不可观测的随机
变量，这个偏离通常被称为随机误差项或随机扰动项，简称为误差项或干扰项，
记为ε。以下标表示第个观测单位，则线性总体回归函数的个别值设定形式为：
= 0 + 1 +
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2.1 回归分析的基本概念
➢ 样本回归函数
总体回归函数虽然客观存在，但
却未知，可用随机样本数据得到的
样本回归函数作为总体回归函数的
一个估计。
例：假如无法收集虚拟社区50个
居民家庭的收支数据，于是从这一
总体的各组可支配收入下随机抽取2
个家庭，组成一个包含10个家庭的
随机样本，如右表所示。
15
2.1 回归分析的基本概念
12
2.1 回归分析的基本概念
假若将虚拟社区中家庭人均消费支出(y)看成是家庭人均可支配收入水平(x)的线
性函数，则总体回归函数可表示为：
= 0 + 1
式中，β0 、β1 称为总体回归系数或回归参数，其中，β0 称为截距项、常数项或
截距系数；β1 称为斜率系数。此式可称为线性总体回归函数的期望值设定形式。
在用样本回归函数估计总体回归函数时，不仅需要能获得样本回归函数，还
希望获得的样本回归函数要尽可能地“接近”总体回归函数。普通最小二乘法虽能
使样本回归函数“很好地”拟合样本数据，但没考虑到获得的样本回归函数是否
“接近”总体回归函数。因此，为了使获得的样本回归函数 “接近”总体回归函数，
在采用普通最小二乘法拟合样本数据时，还需要满足以下假设。
（3）样本回归函数反映样本中被解释变量条件均值的变动轨迹，它只是
总体回归函数的一个近似反映；
（4）样本回归函数中的残差项 在一定条件下是可以计算出来的。
18
2.2 一元线性回归模型的参数估计
2.2.1 普通最小二乘估计（OLS）
取得样本数据后，可通过某些 “规则和方法”获得样本回归线。在众多的“规
σ 2 − σ 2
൞
መ0 = ത − መ1 ҧ
መ1 =
若记 ሶ = − ，
ҧ ሶ = − ，则有：
ത
ቐ
σ ሶ ሶ
መ1 = σ ሶ 2
መ0 = ത − መ1 ҧ
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2.2 一元线性回归模型的参数估计
2.2.2 一元线性回归的经典假设
将总体中描述被解释变量条件期望E(y│x)变动轨迹的函数称为总体回归函数
(Population Regression Function, PRF)，也称为总体回归模型，或总体回归方程。
总体回归函数反映了被解释变量的总体条件期望E(y│x)随解释变量x变化而变化
的规律。
值得强调的是：
(1) 在现实经济研究中，总体回归函数是未知的，只能根据经济理论和实践