高中数学 新高考 复习试卷讲义 第7章 §7.7 向量法求空间角

1.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面P AC；
(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
2.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
3．如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.
(1)证明：OD ⊥平面P AQ ；
(2)若BE ＝2AE ，求平面CBQ 与平面ABQ 夹角的余弦值．
4．(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO 是三棱锥P －ABC 的高，P A ＝PB ，AB ⊥AC ，E 为PB 的中点．
(1)证明：OE ∥平面P AC ；
(2)若∠ABO ＝∠CBO ＝30°，PO ＝3，P A ＝5，求平面AEC 与平面AEB 夹角的正弦值．
5.(2023·莆田模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，F 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AFC ；
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①∠ABC ＝π3
； ②BD ＝3AC ；
③PC 与平面ABCD 所成角的大小为π4
. 若P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝2，且________，求平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值．
6.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面P AD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．。