2020年河南省新乡市高考(理科)数学二模试卷 解析版

2020年高考（理科）数学二模试卷
一、选择题（共12小题）
1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1} 2．若复数z满足z（2+i）＝5i，则z＝（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 3．已知向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，则向量a→，b→的夹角为（）
A．π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
4．已知a=log35，b=3−0.2，c=31.2，则（）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 5．已知角α的终边上有一点P(−√2，2)，则sin(2α+3π2)=（）
A．−1
3B．−
7
9C．
1
3
D．
7
9
6．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）
A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
7．函数f(x)=(1−
2
1−e x
)cos x的部分图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是（ ） A ．54π
B ．36π
C ．27π
D ．18π
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b +c =8，b(sinB −√3sinC)+csinC =a sin A ，则△ABC 的面积的最大值是（ ） A ．4
B ．4√3
C ．8
D ．8√3
10．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（−π
12，3)，与之相邻的一个对称中心为(π
6，0)，将f （x ）的图象向右平移π
6
个单位长度得到函数g
（x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）为偶函数
B ．g （x ）的一个单调递增区间为[−5π12，π
12
] C ．g （x ）为奇函数
D ．函数g （x ）在[0，π
2]上有两个零点 11．已知双曲线C ：
x 2a 2−y 2
b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的虚轴的一个顶点为N （0，1），左顶点为M ，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→
⋅PF 2→
取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝2S 1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2
B ．2√2
C ．2√3
D ．2√5
12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段A 1B 1，AB 的中点，O 为四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球的球心，点M ，N 分别是直线DD 1，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成角为θ，则当θ最小时，tan θ＝（ ）
A ．2√2111
B ．4√23
C ．
11√205205
D ．
11√21
42
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知点（1，2）在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的焦点坐标为．
14．若实数x，y满足约束条件{x−y+2≥0
2x+y−2≥0
3x−y≤3
，则z＝x﹣3y的最小值为．
15．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”
精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a﹣b|≤3“的概率为
16．已知函数f(x)=(1
2
)x−√x+m，g(x)=x4−2x3−x2+2x+3，若∀x1∈R，∃x2∈（0，
1），f（x2）＜g（x1），则m的取值范围为
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．
（2）求数列{a n}的通项公式．
18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边，若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．
（1）证明：AB⊥PA；
（2）若E为棱BC的中点，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．
19．已知函数f（x）＝ax﹣e x（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．
20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．
（1）设日销售40个零件的概率为p，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写
出z 关于p 的函数关系式，并求z 的极大值点p 0．
（2）试销结束后统计得到该4S 店这30内的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数
9
12
其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．
该4S 店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店，假设日销售量为80件的概率为
p 02
，其中P 0为（1）中z 的极大值点．
（i ）设该4S 店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X ；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y ，求EX 和EY ；
（ii ）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 21．已知椭圆C ：x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0）的离心率为
√2
2
，且四个顶点构成的四边形的面积是8√2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过点P （﹣2，0），且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F 两点（O 是坐标原点），求四边形AEBF 的面积的最小值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα（α为参数）．以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π
4)=2√2．
（1）求C 与l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），求−1
|PM|+1
|PN|的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣5|．
（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤10的解集；
（2）若f（x）≥1．求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．若复数z满足z（2+i）＝5i，则z＝（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由z（2+i）＝5i，得z=
5i
2+i
=5i(2−i)
(2+i)(2−i)
=1+2i．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．已知向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，则向量a→，b→的夹角为（）
A．π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出向量a→，b→的夹角．解：设向量a→，b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，
故cosθ=
a→⋅b
→
|a→|⋅|b
→
|
=2√3+2√3
4⋅2
=√32，∴θ=π6，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4．已知a=log35，b=3−0.2，c=31.2，则（）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；
0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，
∴b＜a＜c．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．已知角α的终边上有一点P(−√2，2)，则sin(2α+3π2)=（）
A．−1
3B．−
7
9C．
1
3
D．
7
9
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要去式子的值．
解：角α的终边上有一点P(−√2，2)，∴tanα=
2
−2
=−√2，
则sin(2α+3π
2
)=−cos2α=sin
2α−cos2α
sin2α+cos2α
=tan
2α−1
tan2α+1
=2−1
2+1
=13，
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
6．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）
A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
【分析】分别求出甲、乙两厂轮胎宽度的平均数，众数，中位数，极差，由此能求出结果．
解：由题意得：
甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，
乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，
故A，C，D正确，B错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、众数、中位数、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．函数f(x)=(1−
2
1−e x
)cos x的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．
解：f（x）=1−e x−2
1−e x cos
x=e
x+1
e x−1cos
x，
则f（﹣x）=e−x+1
e−x−1cos（﹣
x）=1+e
x
1−e x cos
x＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原
点对称，排除A，B，
当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除C，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用极限思想是解决本题的关键．难度不大．
8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是（）
A．54πB．36πC．27πD．18π
【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，由圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，列出方程组，求出r＝h＝3，由此能求出该圆柱的体积．
解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
由题意得{
2πrℎ
2πr2+2πrℎ
=12
2(2r+h)=18
，
解得r＝h＝3，
则该圆柱的体积是V＝πr2h＝27π．
故选：C．
【点评】本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b+c=8，b(sinB−√3sinC)+ csinC=a sin A，则△ABC的面积的最大值是（）
A．4B．4√3C．8D．8√3
【分析】由b（sin B−√3sin C）+c sin C＝a sin A，利用正弦定理可得：b（b−√3c）+c•c ＝a•a，再利用余弦定理可得A．由b+c＝8，利用基本不等式的性质可得bc的最大值．即可得出△ABC的面积的最大值．
解：∵b（sin B−√3sin C）+c sin C＝a sin A，∴b（b−√3c）+c•c＝a•a，∴b2+c2﹣a2=√3bc，
∴cos A=b 2+c2−a2
2bc
=√32，A∈（0，π），解得A=
π
6．
由b+c＝8，∴bc≤(b+c
2
)2=16，当且仅当b＝c＝4时取等号．
∴△ABC的面积的最大值=1
2bc sin A=
1
2
×16×12=4．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（−π
12，3)，
与之相邻的一个对称中心为(π
6，0)，将f（x）的图象向右平移
π
6
个单位长度得到函数g
（x）的图象，则（）A．g（x）为偶函数
B．g（x）的一个单调递增区间为[−5π
12，
π
12
]
C．g（x）为奇函数
D．函数g（x）在[0，π
2
]上有两个零点
【分析】先根据余弦函数的图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ）的解析式，最后根据余弦函数性质得出结论． 解：由题可得：T
4=
π6
−（−π12）=π
4；
∴T ＝π⇒ω＝2；
∴f （x ）＝3cos （2x +φ）；
因为f （−π
12）＝3cos[（2×（−π
12）+φ]＝3⇒−π
6+φ＝K π； ∵0＜φ＜π；
∴φ=π
6，∴f （x ）＝3cos （2x +π
6）；
∴g （x ）＝3cos[2（x −π
6）+π
6]＝3cos （2x −π
6）；是非奇非偶函数；
令﹣π+2k π≤2x −π
6≤2k π⇒−5π
12
+k π≤x ≤k π+π
12，k ∈z ；
当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：[−
5π12，π12
]； 2x −π
6=k π+π
2⇒x =kπ2
+π
3
，k ∈z ，∴函数g （x ）在[0，π2
]上只有一个零点．
故选：B ．
【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题．
11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1(a ＞0，b ＞0)的虚轴的一个顶点为N （0，1），左顶点为
M ，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→⋅PF 2→
取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝2S 1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2
B ．2√2
C ．2√3
D ．2√5
【分析】根据条件得到M （﹣a ，0），b ＝1，直线MN 方程为y =1
a
x +1，设P （m ，
m+a m
），
则PF 1→⋅PF 2→=(a 2+1)m 2+2am−a 4a
2
，分别求出其最大、最小值列出方程c ＝2×a 2c
a 2+1
，解出a ，b 即可．
解：根据条件，M （﹣a ，0），b ＝1，则直线MN 方程为y =1
a x +1，因为点P 在线段
MN 上，
可设P （m ，
m+a m
）其中m ∈（﹣a ，0]，设双曲线焦距为2c ，则c 2＝a 2+1，F 1（﹣c ，0），
F 2（c ，0），
则PF 1→
⋅PF 2→
=（﹣c ﹣m ，−m+a m ）（c ﹣m ，−m+a
m
）＝m 2﹣c 2+
m 2+2am+a 2
2
=
(a 2+1)m 2+2am−a 4
a 2
，
因为m ∈（﹣a ，0]，所以当m =−a a 2+1时，PF 1→⋅PF 2→取最小值，此时S 1=1
2
×2c [1
a (−
a
a +1
)+1]=
a 2c
a 2+1
， 当−
a a 2+1
＞−
a
2时，即a ＞1时，无最大值， 故0＜a ≤1，此时在m ＝0处取得最大值，此时S 2＝c ，
因为S 2＝2S 1，所以c ＝2×a 2c
2，解得a ＝1，
故a ＝1，b ＝1，c =√2， 则离心率e =c
a =√2， 故选：A ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查离心率求法，双曲线焦点三角形面积的最值，属于中档偏难题．
12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段A 1B 1，AB 的中点，O 为四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球的球心，点M ，N 分别是直线DD 1，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成角为θ，则当θ最小时，tan θ＝（ ）
A ．2√2111
B ．4√23
C ．
11√205205
D ．
11√21
42
【分析】设P ，Q 分别是棱CD 和C 1D 1的中点，则四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球即三棱柱DFC ﹣D 1EC 1的外接球，其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点，θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角，问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值．
解：如图，设P ，Q 分别是棱CD 和C 1D 1的中点，
则四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球即三棱柱DFC ﹣D 1EC 1的外接球， ∵三棱柱DFC ﹣D 1EC 1是直三棱柱，
∴其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点， 由题意，MN 是平面DD 1EF 内的一条动直线，
记直线OC 与MN 所成角为θ，
则θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角， 即问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值，
不妨设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则EQ ＝2，ED 1=√5，
∵△EC 1D 1为等腰三角形，∴△EC 1D 1外接圆直径为2GE =ED 1
sin∠EC 1D 1=
√5
2√5
=5
2，
则GE =54，GQ ＝2−54=3
4
=PH ，
如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，0），O （3
4，1，1），
DD 1→=（0，0，2），DF →=（2，1，0），OC →
=（−34
，1，−1）， 设平面DD 1EF 的法向量n →
=（x ，y ，z ），
则{n →
⋅DD 1→
=2z =0n →⋅DF →=2x +y =0，取x ＝1，得n →
=（1，﹣2，0）， 则sin θ=
|n →⋅OC →
||n →
|⋅|OC →|
=
11√5×√41，tan θ=11√
2142
．
故选：D ．
【点评】本题考查㫒面直线所成最小角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知点（1，2）在抛物线y 2＝2px 上，则该抛物线的焦点坐标为 （1，0） ． 【分析】由题意直接将点的坐标代入抛物线的方程求出p 的值，进而可得焦点的坐标． 解：由点（1，2）在抛物线y 2＝2px 上，所以22＝2×1，可得p ＝2， 所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，所以焦点坐标为：（1，0）． 故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查抛物线的性质，属于基础题．
14．若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0
2x +y −2≥03x −y ≤3，则z ＝x ﹣3y 的最小值为 ﹣11 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
解：由z ＝x ﹣3y 得y =1
3
x −z
3，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y =1
3
x −z
3，
由图象可知当直线y =13x −z 3经过点A 时，直线y =13x −z
3截距最大，
此时z 最小，
由{x −y +2=0
3x −y =3，解得A （52，92
）． 将A （52
，9
2
）代入目标函数z ＝x ﹣3y ，
得z ＝﹣11．
∴目标函数z ＝x ﹣3y 的最小值是﹣11． 故答案为：﹣11．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
15．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“|a ﹣b |≤3“的概率为
815
【分析】由题意知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，从中任取两个有效数字，
共有n =C 62=15种情况，利用列举法求出事件“|a ﹣b |≤3“包含的基本事件有8种，由此能求出事件“|a ﹣b |≤3“的概率． 解：由题意知第三到第八位有效数字为： 4，1，5，9，2，6，
从中任取两个有效数字，共有n =C 62=15种情况，
从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ， 则事件“|a ﹣b |≤3“包含的基本事件有8种，分别为：
（4，1），（4，5），（4，2），（4，6），（1，2），（5，2），（5，6），（9，6）， ∴事件“|a ﹣b |≤3“的概率为815
．
故答案为：
8
15
．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．已知函数f(x)=(1
2)x −√x +m ，g(x)=x 4−2x 3−x 2+2x +3，若∀x 1∈R ，∃x 2∈（0，
1），f （x 2）＜g （x 1），则m 的取值范围为 （﹣∞，5
2）．
【分析】由题意可知，f （x 2）min ＜g （x 1）min ，利用函数的单调性质可求得f （x ）在（0，1）上的值域为（m −1
2，m +1），g （x ）min ＝2，故m −1
2＜2，解之即可．
解：∵函数f(x)=(12)x −√x +m ，g(x)=x 4−2x 3−x 2+2x +3， 若∀x 1∈R ，∃x 2∈（0，1），f （x 2）＜g （x 1），即f （x 2）min ＜g （x 1）min ， ∵g （x ）＝x 4﹣2x 2（x +1）+x 2+2x +1+2＝[x 2﹣（x +1）]2+2， 又x 2﹣（x +1）＝0有解， ∴g （x ）min ＝2，
又f(x)=(1
2)x −√x +m ∈在0，1）上单调递减，
∴f （x ）在（0，1）上的值域为（m −12
，m +1）， ∴m −1
2
＜2，
解得：m ＜5
2，
故答案为：（﹣∞，5
2
）．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，依题意得f（x2）min＜g（x1）min是关键，考查等价转化思想与运算能力，是中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．
（2）求数列{a n}的通项公式．
【分析】（1）把已知递推关系式整理即可证明结论；
（2）利用第一问的结论以及叠加法即可求解．
解：（1）因为a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0⇒a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1）；
又a1＝1，a2＝3，∴a2﹣a1＝2≠0；
∴数列{a n+1﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得a n+1﹣a n＝2n；
∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣2﹣a n﹣3）+…+（a2﹣a1）+a1
＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1
=1−2n
1−2
＝2n﹣1；（n≥2），
当n＝1时，a1＝1适合上式，
故a n＝2n﹣1．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目．18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边，若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．
（1）证明：AB⊥PA；
（2）若E为棱BC的中点，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．
【分析】（1）首先证得AB⊥AC，再利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面PAC，进
而可证AB ⊥PA ；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式即可得解． 解：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边， ∴AB ⊥AC ，
又∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴AB ⊥平面PAC ， 又PA 在平面PAC 内， ∴AB ⊥PA ；
（2）由（1）知，AB ⊥AC ，PC ⊥平面ABC ，则以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点A 作平行于PC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PC ＝1，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，2，1），E （1，1，0），
故AB →
=(2，0，0)，AP →
=(0，2，1)，AE →
=(1，1，0)，
设平面PAB 的一个法向量为n →
=(x ，y ，z)，则{n →
⋅AB →
=2x =0
n →⋅AP →=2y +z =0
，故可取n →=
(0，1，−2)，
设平面PAE 册一个法向量为m →
=(a ，b ，c)，则{m →
⋅AE →
=a +b =0m →
⋅AP →=2b +c =0
，故可取m →=(1，−1，2)，
∴cos ＜m →
，n →
＞=m →⋅n
→
|m →||n →|
=−√306，
由图可知二面角B ﹣PA ﹣E 为锐角，故二面角B ﹣PA ﹣E 的余弦值为√
30
6
．
【点评】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面垂直的性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题． 19．已知函数f （x ）＝ax ﹣e x （a ∈一、选择题）． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）讨论f （x ）在（0，+∞）上的零点个数．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求；
（2）由f（x）＝0分离参数后，构造函数，结合导数分析函数的性质可求．
解：（1）f′（x）＝a﹣e x，
当a≤0时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，
当a＞0时，当x＜lna时，f′（x）＞0，函数在R上单调递增，当x＞lna时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，
（2）令f（x）＝0可得a=e x x，
设g（x）=e x
x，
x＞0，则g′(x)=
(x−1)e x
x2
，
当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，故g（x）≥g（1）＝e，
当a＜e时，a=e x
x在（0，+∞）上没有零点，即
f（x）没有零点；
当a＝e时，a=e x
x在（0，+∞）上有一个零点，即
f（x）有一个零点；
当a＞e时，a=e x
x在（0，+∞）上有2个零点，即
f（x）有2个零点；
【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及函数零点个数的判断，体现了分类讨论思想的应用．
20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．
（1）设日销售40个零件的概率为p，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z关于p的函数关系式，并求z的极大值点p0．
（2）试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量（单位：件）的数据如表：
日销售量406080100
频数912
其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．
该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设日销
售量为80件的概率为
p 02
，其中P 0为（1）中z 的极大值点．
（i ）设该4S 店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X ；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y ，求EX 和EY ；
（ii ）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 【分析】（1）设日销售40个零件的概率为p ，记5天中恰有2天销售40个零件的概率
为z ，写出z 关于p 的函数关系式z =C 52p 2(1−p)3=10p 2（1﹣p ）3，0＜p ＜1，再由z ′
＝10p （1﹣p ）2（2﹣5p ），利用导数性质能求出z 的极大值点p 0． （2）日销售量为80件的概率为
p 02
=1
5
，日销售量为100的概率为1−310−25−15=1
10，
（i ）批发两大箱，则批发成本为60500元，分别求出当日销售量为40件、60件、80件、100件时的利润，由此能求出EX ；若批发两小箱，则批发成本为48000元，分别求出当日销售量为40件、60件、80件或100件时的利润，由此能求出EY ．
（ii ）当4S 店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量ξ，分别求出当日销售量为40件、60件、80件、100件时的利润，求出E ξ，由EY ＜E ξ＜EX ，得到以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按批发两大箱．
解：（1）由题意可得z =C 52p 2(1−p)3=10p 2（1﹣p ）3，0＜p ＜1，
z ′＝10[2p （1﹣p ）3﹣3p 2（1﹣p ）2]＝10p （1﹣p ）2（2﹣5p ）， 当0＜p ＜2
5
时，z ′＞0，当2
5
＜p ＜1时，z ′＜0，
∴p 0=25
．
（2）由题意得日销售量为80件的概率为p 02
=1
5
，
日销售量为100的概率为1−
310−25−15=1
10
， （i ）批发两大箱，则批发成本为60500元，
当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣60500+70×550×90%＝1.415（万元）， 当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣60500+50×550×90%＝2.425（万元）， 当日销售量为80件时，利润为：80×1000﹣60500+30×550×90%＝3.435（万元）， 当日销售量为100件时，利润为：100×1000﹣60500+10×550×90%＝4.445（万元）， ∴EX =1.415×
310+2.425×25+3.435×15+4.445×1
10
=2.526（万元）． 若批发两小箱，则批发成本为48000元，
当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣48000+40×600×90%＝1.36（万元），当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣48000+20×600×90%＝2.3075（万元），当日销售量为80件或100件时，利润为：80×1000﹣48000＝3.2（万元），
∴EY＝1.36×3
10
+2.28×25+3.2×310=2.28（万元）．
（ii）当4S店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量ξ，
当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣54250+55×550×90%＝1.2975（万元），当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣54250+35×550×90%＝2.3075（万元），当日销售量为80件时，利润为：80×1000﹣54250+15×550×90%＝3.3175（万元），当日销售量为100件时，利润为：100×1000﹣54250＝4.075（万元），
∴Eξ=1.2975×3
10
+2.3075×25+3.3175×15+4.075×110=2.38325（万元）．
∴EY＜Eξ＜EX，∴以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按批发两大箱．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知椭圆C：x2
a
+
y2
b
=1(a＞b＞0）的离心率为
√2
2
，且四个顶点构成的四边形的面
积是8√2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l经过点P（﹣2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形AEBF的面积的最小值．
【分析】（1）由题意得关于a，b，c的方程组，解得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；
（2）设直线l的方程为x＝my﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，得到直线OM的方程，与椭圆方程联立，求出|EF|，设点A到直线OM的距离为d，则点B到OM的距离也为d，利用点到直线的距离公式求得2d，写出四边形的面积S再由配方法求四边形AEBF的面积的最小值．
解：（1）由题意得{ c a =√22
12×2a ×2b =2ab =8√2a 2
=b 2+c 2，解得a =2√2，b ＝2．
故椭圆C 的方程为
x 28
+
y 24
=1；
（2）设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =my −2
x 28+y 24=1，整理得（m 2+2）y 2﹣4my ﹣4＝0．
则y 1+y 2=
4m m 2+2，y 1y 2=−4
m 2+2
， 从而x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−8
m 2+2
． 故M （−
4
m 2+2，2m m +2
）． 直线OM 的斜率为−m
2，∴直线OM 的方程为y =−m
2x ，即mx +2y ＝0． 联立{mx +2y =0x 28+y 24=1，整理得x 2=16m 2+2，则|EF |=2√x 2+y 2=4√m 2+42．
设点A 到直线OM 的距离为d ，则点B 到OM 的距离也为d ， 从而2d =
1122√m +4
．
∵点A ，B 在直线OM 的两侧，∴（mx 1+2y 1）（mx 2+2y 2）＜0． ∴|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2|＝|mx 1+2y 1﹣mx 2﹣2y 2|， 则2d =
212√m +4
．
∵|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2√m 2
+1m 2+2
，∴2d =4√2√m 2+1m 2+4
．
则四边形的面积S =12
|EF|×2d =12
×4√m 2
+4m 2+2
×4√2√m 2+1m 2+2
=8√2√m 2
+1m 2+2
．
∵
m 2+1m 2+2
=1−
1m 2+2
≥1
2
（当且仅当m ＝0时等号成立）．
∴S ≥8√2×√12
=8．
即四边形AEBF 的面积的最小值是8．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，是中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα
（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=2√2．
（1）求C 与l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），求−1|PM|+1|PN|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：（1）曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα
（α为参数）．转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝9．
直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=2√2，转换为直角坐标方程为x ﹣y +4＝0．
（2）线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），所以直线的参数方程为{x =−2+√22t y =2+√22t
（t 为参数），代入圆的方程为：t 2−2√2t −5=0， 所以t 1+t 2=2√2，t 1t 2＝﹣5， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2|
|t 1t 2|=2√75． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣5|．
（1）当a ＝3时，求不等式f （x ）≤10的解集；
（2）若f （x ）≥1．求a 的取值范围．
【分析】（1）f （x ）≤10即|x +3|+|x ﹣5|≤10，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）f （x ）≥1等价为|x +a |+|x ﹣5|≥1恒成立，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，由绝对值不等式的解法可得所求范围．
解：（1）当a ＝3时，f （x ）≤10即|x +3|+|x ﹣5|≤10，
等价为{x ≥5x +3+x −5≤10或{−3＜x ＜5x +3+5−x ≤10或{x ≤−3−x −3−x +5≤10
， 解得5≤x ≤6或﹣3＜x ＜5或﹣4≤x ≤﹣3，
则原不等式的解集为[﹣4，6]；
（2）f （x ）≥1等价为|x +a |+|x ﹣5|≥1恒成立，
由|x +a |+|x ﹣5|≥|x +a +5﹣x |＝|a +5|，当（x +a ）（x ﹣5）≤0取得等号，
则|a +5|≥1，解得a ≥﹣4或a ≤﹣6．
则a 的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[﹣4，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．。