应用多元统计分析课后答案_朱建平版
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第二章
.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
设二维随机向量1
2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设1
2()X X '的均值向量为()1
2μμ'=μ，协方差矩阵为21
122212σσσσ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，则其联合分布密度函数为
1/2
12
2
2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
'=---⎨⎬ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
x x μx μ。
已知随机向量1
2()X X '的联合密度函数为
12121222
2[()()()()2()()]
(,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=
--
其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求
（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；
11212122
2[()()()()2()()]
()()()
d
x c
d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰
12212222222()()2[()()2()()]()()()()
d
d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=
+----⎰ 121
222
2
02()()2[()2()]()()()()d
d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 22
1212222
2()()[()2()]
1()()()()d c
d
c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a
------=
+
=
----- 所以
由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a
+，方差为()2
12b a -。
同理，由于2X 服从均匀分布[]2121,()0
x x c d f x d c
⎧∈⎪
=-⎨⎪⎩其它
，则均值为
2
d c
+，方差为
()2
12
d c -。
（2）解：随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；
12cov(,)
x x
12121212222[()()()()2()()]22()()d
b
c
a d c x a
b a x
c x a x c a b
d c x x dx dx b a d c --+-----++⎛
⎫⎛⎫=-- ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭⎰
⎰
()()
36
c d b a --=
1
2
12cov(,)
13
x x
x x ρσσ=
=
（3）解：判断1X 和2X 是否相互独立。
1X 和2X 由于121212(,)()()x x f x x f x f x ≠，所以不独立。
设12(,,)p X X X X '=L 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互
独立的随机变量。
解： 因为12(,,)p X X X X '=L 的密度函数为
1/21
11(,...,)exp ()()2p
p f x x --⎧⎫'=---⎨⎬⎩⎭Σx μΣx μ 又由于2
12
2
2p σσσ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
ΣO 222
12p
σσσ=ΣL 21212
21
1
1p σσσ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
ΣO
则1(,...,)p f x x
211/22
2221
2
12211
1exp ()()21p
p p σσσσσσ--⎧⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪'==--=-⎨⎬
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎪
⎪⎝⎭⎩
⎭
Σx μΣx μL O
()2221231112222
12()()()111exp ...222p p p p p x x x μμμσσσσσσ-⎧⎫---⎪⎪
=----⎨⎬⎪⎪⎩⎭
L
212
1()()...()2p
i i p i i x f x f x μσ=⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭
则其分量是相互独立。