Stolz定理及其应用

Stolz 定理及其应用
引理1．01>a ，02>a 。

若 n a b m <<
11，n a b m <<2
2，则 n a a b
b m <++<2121。

证明：由于 01>a ，由 n a b m <<
1
1
可得 n a b m a 111<<；类似得出 n a b m a 222<<。

将得到的这两个不等式相加，即得 ()()212121a a n b b a a m +<+<+，此式两边同除以
21a a +，即得 n a a b b m <++<
2
12
1。

这一引理显然可以推广：0>i a （1=i 、2、…n ）。

若 n a b m i
i
<<
（1=i 、2、…n ），则 n a a a b b b m n
n
<++++++<
2121。

引理2．恒等式
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≡-c n b m a b n b n c m c b a 1，其中，0≠b ，n b ≠。

Stolz 定理1：数列{}n y 有（1）+∞=∞
→n n y lim ，（2）K ∃，K n >∀，有01>>+n n y y ，则：l y x
l y y x x n
n n n n n n n =⇒=--∞→--∞
→lim lim
11。

证明：0>∀ε （1）
由 l y y x x n n n n n =----∞
→1
1
lim
可得：1M ∃，1M n >∀，211ε<-----l y y x x n n n n。

此不等式等价于 2
2
11ε
ε
+<--<
-
--l y y x x l n n n n 。

令[][]{}1,max M K N =，由于（注意：
11M N >+）
()()()N N n n n n N n x x x x x x x x -++-+-=-+---1211 ， ()()()N N n n n n N n y y y y y y y y -++-+-=-+---1211 ，
因此：N n >∀，22
ε
ε
+<--<
-
l y y x x l N n N n （引理1），即
2
ε
<---l y y x x N n N n 。

（2）
由于+∞=∞
→n n y lim ，故 0lim
=-∞
→n
N
N n y y l x ，这样，2M ∃，2M n >∀，2
ε
<-n N N y y l x 。

（3）
令[][][]{}2
1,,max M M K M =，M n >∀，
（由引理2） εε
ε=+<---+-<
---⋅-+-<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-2
211l y y x x y y l x l y y x x y y y y l x l y y x x y y y y l x l y x N n N n n N N N n N
n n N n N N N n N n n N n N N n n
这样，得出 l y x n
n
n =∞
→lim 。

Stolz 定理2：数列{}n y 有（1）+∞=∞
→n n y lim ，（2）K ∃，K n >∀，有01>>+n n y y ，
则：+∞=⇒+∞=--∞→--∞
→n
n n n n n n n y x
y y x x lim lim
11。

证明：由于 +∞=----∞
→1
1
lim
n n n n n y y x x ，0>∀M ，+∈∃N N M ，M N n >∀有
M y y x x n n n n >----1
1。

令{}K N N M ,max =，N n >∀，有01>--n n y y ，因此有：
()11---⋅>-n n n n y y M x x 。

()()()
()()()()
N n N N n n n n N N n n n n N n y y M y y M y y M y y M x x x x x x x x -⋅=-⋅++-⋅+-⋅>-++-+-=-+---+---12111211 由此有
n
N
N n n y y M x M y x -+> 。

由于 +∞=∞→n n y lim ，且 N N y M x - 与 n 无关（即
N N y M x - 相对于n 是常量），故0lim
=-∞
→n
N
N n y y M x ，因此，+∈∃N N 0，0N n >∀，
有
2
M
y y M x n N N <- 。

这样，当{}0,max N N n >时：
2
M
y y M x M y x n N N n n >
-+> 。

因此，+∞=∞
→n
n
n y x lim 。

定理2表明：Stolz 定理对于 +∞=l 也是成立的。

由定理2的证明可类推，Stolz 定
理对于 -∞=l 、∞=l 也是成立的。

Stolz 定理对于确定与数列有关的不定式很有用。

例1． 设 a x n n =∞
→lim ，b y n n =∞
→lim 。

证明：数列 n
y x y x y x z n n n n 1
121+++=
- 收敛
于 ab 。

证明：设 a x a n n -=，b y b n n -=，由于 a x n n =∞
→lim 、b y n n =∞
→lim ，因此：0lim =∞
→n n a ，
0lim =∞
→n n b 。

()()()()()()n
n n n n n n n n n n n n n n b a ab n
b a b a b a n a a a b n b b b a ab n
b b a a b b a a b b a a n
y x y x y x z γβα+⋅+⋅+=++++
+++⋅++++⋅+=+⋅++++⋅+++⋅+=+++=
---1
12121211121
1
121 其中：n b b b n n +++=
21α，n a a a n n +++= 21β，n
b a b a b a n n n n 1
121+++=- γ。

由Stolz 定理可得：0lim lim lim 21==+++=∞→∞→∞→n n n
n n n b n
b b b α，同理，0lim =∞→n n β。

由于 0lim =∞
→n n a ，0>∃M ，+∈∀N n 有 M a n <；由Stolz 定理可得：
0lim lim
21==+++∞
→∞
→n n n
n b n
b b b ，
n
b b b M n b a b a b a n n n n n +++⋅<+++=
- 211
121γ ，因而有 0lim =∞→n n γ。

综上所证，ab n
y x y x y x z n n n n n n =+++=-∞
→∞
→1
121lim
lim 。

（注：本例就是课本 p.79 的第25题）
例2． 数列 ()
k k k
k n n n
z +++=
+ 21
11
，其中，k 是正整数。

计算 n n z ∞
→lim 。

解：设 k k
k
n n x +++= 21，1
+=k n n
y ，显然，Stolz 定理的条件满足，因此：
()
1111lim 21lim lim ++∞→+∞→∞→--=+++=k k k
n k k k k n n n n n n n n z 。

由二项式定理：()
()() +⋅++
⋅+-=--++111
2
111k k k k n k k n k n n ，因此：
()()()()()()()1
12111
lim 2
11lim 211lim 1lim lim 111111+=+⋅+-+=+⋅+-⋅+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++⋅+--=--=∞
→-∞
→-++∞→++∞→∞→k n
k k k n k k n k n n k k n k n n n n n n z n k k k
n k k k k k
n k k k n n n
有的习题用 Stolz 定理来解决则易如反掌，例如课本中的23、24题（p.78）。

运用Stolz 定理时应注意其使用条件是否满足。

例如：
求极限：n
n
n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ，()1,1<<b a 。

错解：设 ：n
n a a a x ++++= 2
1，n
n b b b y ++++= 2
1。

运用 Stolz 定理，得出：
n
n n n n n n n b a b a b b b a a a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛==++++++++∞
→∞→∞→lim lim 11lim 22 。

故有：()()()()
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧>∞∞+<-===⎪⎭⎫
⎝
⎛
=++++++++∞
→∞→b a b a b a b a b a b b b a a a n
n n n n ,,0,)不存在(,1lim 11lim 22或 这一结果显然不对。

之所以出错，是由于数列 {}n y 不满足 Stolz 定理的要求，特别是条
件（2）。

正解：由于 1,1<<b a ，0lim 1
=+∞
→n n a
，0lim 1=+∞
→n n b 。

a
b b a a b b b a a b b b a a a n n n n n n n n n --=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅
--=----=++++++++++∞→++∞→∞→111111lim 1111lim 11lim 1111
22。