【详解】四年级下第19讲_容斥原理

第十九讲 容斥原理
1. 例题1
答案：6；11；17 详解：
画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）3620506+-=人．
（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有18126-=景，墨莫共去过6511+=景．
（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有12218217+-⨯=人．
2. 例题2
答案：55
详解：
画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，
这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．
如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有15090240+=人，参加游泳比赛的人有
12070190+=人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有
240190305125+-=人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有12511015-=人．那么只参加游泳的女生有701555-=人．
此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有120150110160+-=人，那么女生有
305160145-=人．只参加游泳的人有1459055-=人．
3. 例题3 答案：96
详解：
首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加
664023129++=，其中129支股票中G 、E 、F 算
了两次，H 算了三次．去掉这些重复计算的区域（G 、
E 、
F 去掉一次，H 去掉两次），
1291713990---=，发现G 、E 、F 去掉了一次，但H 去掉了三次，最后还要把H 加上一次．90696+=90+6=96支．
游泳
长跑
男生 女生 150
90
120 70
110 305
张66
王40
李23
17
13 9 6 A B C E F
G
H
4. 例题4
答案：33人；9人
详解：（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A 、B 、C 、D ，那么王老师班上有
10648533++++=人．
（2）通过画文氏图，D =1，A =3，
835++=-=B D C ，答对第3道题的同
学有549+=人．
5. 例题5
答案：24人
详解：
遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．
方法一：根据文氏图可求出总人数为
2420"8""2""3"10"1"34"4"46++---+=+=，那
么"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．
方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学
至少一门的人有24201034+-=人，那么只参加文艺的人有463412-=人，这部分人有"4"12=，"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．
6. 例题6
答案：6根
详解：要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．
第3道 第2道 10 6
4 B
C
A D
第1道 数24
语20
文“8”
“3”
“2” “1”
10 27
48
用直线长度表示会游泳的人数 ①
7. 练习1
答案：83
简答：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．42561583+-=人．
8. 练习2
答案：70
简答：
如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有12080200+=人，参加语文竞赛的人有80120200+=人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有200200260140
+-=人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有1407565-=人．那么只参加一科竞赛的女生有()()80651206570-+-=人．
数学
语文
男生 女生
80
120
120 80
75 260 48
27
21
12
②
骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画
27
21
48
12
36 4 同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画 ③
9. 练习3
答案：89平方分米
简答：
三个对象容斥原理：403627574289++---+=平方分米．
10. 练习4
答案：150人
简答：如图，只订阅一种报刊的是E 、F 、G 三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A 、B 、C 三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D ，有50人，所以订报刊的人一共有60020050850++=人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有
1000850150-=人．
11. 作业1
答案：21
简答：利用容斥原理，32395021+-=人．
12. 作业2
答案：19
简答：先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数．()461417419-+-=人．
13. 作业3
答案：17 简答：利用三个对象之间的容斥原理，共()151********++-+++=种糕点．
14. 作业4
答案：9
简答：根据容斥原理，共有()11092515880209-++--=人．
15. 作业5
答案：12人
简答：画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有
92513035138++-=人．一个小组都没参加的有15013812-=人．
数学报 文艺 E F
G B
C
A D
少年报。