2021年中考第二次模拟考试《数学试卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1.下列各数中最小的数是（ ） A. 13 B. 1
3- C. 3- D. 3
2.下计算正确的是（ ）．
A. 4482x x x +=
B. 326x x x ⋅=
C. 2363()x y x y =
D. 22()()x y y x x y --=- 3.下列几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D. 4.有五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它们打乱顺序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为( )
A. 15
B. 25
C. 35
D. 45
5.如图，多边形ABCDEFG 中， 108E F G ∠=∠=∠=︒,72C D ∠=∠=︒，则A B ∠+∠的值为（ ）
A. 108︒
B. 72︒
C. 54︒
D. 36︒ 6.如图，ACD ∆内接于,O AB 是O 的切线，45C ∠=︒，30B ∠=︒．4=AD ，则AB 长为（ ）
A. 4
B. 2
C. 23
D. 26
7.关于x的一元二次方程220
kx x
--=有实数根，则实数k的取值范围是（）
A.
1
8
k=- B.
1
8
k≥
- C.
1
8
k≥-且0
k≠ D.
1
8
k≤-
8.今年2月，某种口罩单价上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是( )．
A.
120120
2
3
x x
-=
+
B.
120120
2
3
x x
-=
-
C.
120120
3
2
x x
-=
-
D.
120120
3
2
x x
-=
+
9.如图所示为反比例函数
k
y
x
=的部分图象，点()
6,0
A-，AB OA
⊥，点C为OB中点，AB交反比例函数的图象于点,3
D BD=，则k的值为( )
A. 6-
B. 4-
C. 6
D. 3-
10.如图，四边形ABCD是菱形，2,60
AB ABC
=∠=︒，点P从D点出发，沿DA AB BC
→→运动，过点P作直线CD
的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x，DPQ∆的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是( )．
A. B. C. D.
二、填空题：（每题3分，共24分）
11.随着人们支付方式的改变，支付宝用户迅猛增加，截至2019年6月，全球支付宝用户超，过12亿．用科学记数法表示数据12亿为_____________
12.将多项式223
882
-+
x y xy y因式分解为：__________
13.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 14.在本学期的五次数学检测中，甲同学的成绩是：92, 89, 88, 87,94，乙同学的成绩是：
78, 88, 92, 94, 98，两名同学成绩比较稳定的是__________ (填“甲”或“乙”) ．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对角线相交于点()(), 2,0 6,0E A B ，，将正方形ABCD 以A 为位似中心，1:2为位似比缩小，点E 的对应点E '的坐标是___________
16.如图，AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，沿AD 将ACD ∆折叠，点C 的对应点为1C ，已知
456ADC BC ∠=︒=，，则点B 与点1C 之间的距离是____________
17.如图，ABC ∆为等边三角形，O 为其内心，射线AO 交BC 于点6D AD =，， 点P 为射线AO 上一动点，将射线CP 绕点C 逆时针旋转60︒，与射线AO 交于点Q ，当1PO =时，DQ 的长度为__________
18.已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，y 与x 的部分对应值如下表所示： x 3-
2- 1- 0 1 y
0 m t n
0 下列判断，①0abc >；②30a c +=；③方程21ax bx c t ++-=有两个不相等实数根；
④若3m >，则4t >，正确的是________________(填写正确答案的序号) ．
三．解答题(本大题共2小题，共22分，第19题10分，第20题12分)
19.先化简，再求值：23
1124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中11tan 452a -⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭
20.某中学现有的五个社团：A ．文学，B ．辩论，C ．体育，D ．奥数，E ．围棋，为了选出“你最喜爱的社团”，在部分同学中开展了调查( 每名被调查的同学必须且只能选出一个社团)，并将调查结果进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图：
()1求本次被调查的人数；
()2将上面两幅统计图补充完整；
()3若该学校大约有学生1500人，请你估计喜欢体育社团的人数；
()4学校为社团安排了1,2,3,4,5号教室供社团活动使用，文学设社和辩论社使用的教室恰好相邻的概率是多少?
四、解答题(本大题共2小题，共24分，第21题12分，第22题12分)
21.元旦联欢会前，班级买了甲、乙、丙三种笔记本作为奖品，共买了30本，花了100元，其中乙种笔记本数量是甲种笔记本数量的2倍，已知甲种笔记本单价为6元，乙种笔记本单价为4元，丙种笔记本单价为2元．
()1求甲、乙、丙三种笔记本各买了多少本?
()2若购买奖品的费用又增加了25元，且购买奖品的总数量及购买乙种笔记本数量不变，则最多可以购买甲型笔记本多少本?
22.如图，等腰ABC ∆中，AB AC AD =，是ABC
∆角平分线，AC 交O 于点E ，点F 为DC 中点，
连接,OF EF ，若// ,OF AC ()1求证： EF 是O 的切线；
()2连接DE ，若5,15
sin DEF CE ∠==，求O 的半径．
五、解答题(本大题共1小题，共12分)
23.如图，在教室前面墙壁A 处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点C 时，摄像头俯角约为17︒，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为54︒，已知摄像头安装点高度AB 约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计，
()1求教室的长(教室前后墙壁之间的距离BC 的值)；
()2若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离BE 为1.2米， 桌子的高度DE 为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内?如果不在，应该怎样移动? (44170.29, 170.30,54, 5453sin tan sin tan ︒≈︒≈︒≈︒≈，精确到0.1米)
六、解答题(本大题共1小题，共12分)
24.“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x 条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个．
()1直接写出y 与x 之间的函数关系式；
()2若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线? ()3设该厂每天可以生产的口罩w 个，请求出w 与x 的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个?
七、解答题(本大题共1小题，共12分)
25.在ABC ∆中，AB AC =，点D 为底边BC 上一动点，将射线AD 绕点A 逆时针旋转后，与射线BC 相
交于点E，且
1
.
2
DAE BAC
∠=∠
()1如图①，当点E在底边BC上，90
BAC
∠=︒时，请直接写出线段BD DE EC
、、之间的数量关系；
()2如图②，当点E在底边BC上，60
BAC︒
∠=，且BD CE
=时，求证：3;
DE CE
=
()3当1206
BAC BC
∠=︒=
，，且2
BD CE
=时，请直接写出CE
的值．
八、解答题(本大题共1小题，共14．分)
26.如图①，直线:33
AB y x
=+x轴、y轴分别交于,A B两点，将ABO
∆沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线2
y ax bx c
=++经过、、
A B C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE AC
⊥，垂足为E
()1求此抛物线的函数关系式；
()2求线段PE长度的最大值；
()3如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若OPF
∆为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
答案与解析
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1.下列各数中最小的数是（ ） A. 13 B. 13- C. 3- D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的比较大小即可得出结论．
【详解】解：∵3-＜13-＜
13＜3 故各数中最小的数是3-
故选C ．
【点睛】此题考查的是有理数的比较大小，掌握有理数的比较大小的方法是解决此题的关键． 2.下计算正确的是（ ）．
A. 4482x x x +=
B. 326x x x ⋅=
C. 2363()x y x y =
D. 22()()x y y x x y --=- 【答案】C
【解析】
A. ∵ 4442x x x +=，故不正确；
B. ∵ 325x x x ⋅= ，故不正确；
C. ∵ ()3263x y x y = ，故正确；
D. ∵ ()()2222x y y x x y x xy y --=--=-+-，故不正确；
故选C.
3.下列几何体的左视图是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据左视图的定义：一般指由物体左边向右做正投影得到的视图，即可得出结论．
【详解】解：解：根据左视图的定义，C 选项为几何体的左视图
故选C ．
【点睛】此题考查的是判断几何体的左视图，掌握左视图的定义是解决此题的关键．
4.有五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它们打乱顺序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断，然后根据概率公式即可求出结论．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；
圆既是中心对称图形又是轴对称图形．
∴随机选取一张卡片，共有5种等可能的结果，其中正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有2种
∴抽取正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为2÷5=
25
故选B ．
【点睛】此题考查的是轴对称图形、中心对称图形的识别和求概率问题，掌握轴对称图形、中心对称图形的定义和概率公式是解决此题的关键．
5.如图，多边形ABCDEFG 中， 108E F G ∠=∠=∠=︒,72C D ∠=∠=︒，则A B ∠+∠值为（ ）
A . 108︒
B. 72︒
C. 54︒
D. 36︒
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD ，设AD 与BC 交于点O ，根据多边形的内角和公式即可求出∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD ，根据各角的关系即可求出∠ODC ＋∠OCD ，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】解：连接CD ，设AD 与BC 交于点O
∵∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，108E F G ∠=∠=∠=︒，
72∠=∠=︒GCB EDA ，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC ＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC ＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A ＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC ＋∠OCD=72°
故选B ．
【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．
6.如图，ACD ∆内接于,O AB 是O 的切线，45C ∠=︒，30B ∠=︒．4=AD ，则AB 长为（ ）
A. 4
B. 22
C. 3
D. 26【答案】D
【解析】
【分析】 连接OA 、OD ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出∠AOD ，从而证出△OAD 为等腰直角三角形，利用锐角三角函数即可求出OA ，再根据切线的性质可得∠OAB=90°，再根据锐角三角函数即可求出结论．
【详解】解：连接OA 、
OD
∵45C ∠=︒
∴∠AOD=2∠C=90°
∵OA=OD
∴△OAD 为等腰直角三角形，∠OAD=45°
∴OA=AD ·cos ∠OAD=22∵AB 是O 的切线，
∴∠OAB=90°
在Rt △OAB 中，∠B=30°
∴AB=tan =∠OA B
26故选D ．
【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的性质和锐角三角函数，掌握圆周角定理、切线的性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
7.关于x 的一元二次方程220kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 18k =- B. 18k ≥- C. 18k ≥-且0k ≠ D. 18
k ≤- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的情况列出不等式即可求出结论．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220kx x --=有实数根， ∴()()20
1420
k k ≠⎧⎪⎨--⨯-≥⎪⎩ 解得：18
k ≥-且0k ≠ 故选C ．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求方程中参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义
和根的情况与∆的关系是解决此题的关键．
8.今年2月，某种口罩单价上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x 元，可列出的正确的方程是( )． A. 12012023x x -=+ B. 12012023x x -=- C. 12012032x x -=- D.
12012032x x -=+ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据“涨价前可以比涨价后多买2个”列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得
12012023x x -=- 故选B ．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
9.如图所示为反比例函数k y x
=的部分图象，点()6,0A -， AB OA ⊥，点C 为OB 中点，AB 交反比例函数的图象于点, 3D BD =， 则k 的值为( )
A. 6-
B. 4-
C. 6
D. 3-
【答案】A
【解析】
【分析】 过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据平行证出△OCE ∽△OBA ，列出比例式求出OE =132
OA =，BA=2CE ，即可用含k 的式子表示出点C 和点D 的坐标，从而求出AB 和AD ，最后列出方程即可求出结论．
【详解】解：过点C 作CE ⊥x 轴于E
∵()6,0A -，AB OA ⊥，点C 为OB 中点，
∴OA=6，CE ∥AB ，OB=2OC
∴△OCE ∽△OBA ∴12===OE CE OC OA BA OB ∴OE =132
OA =，BA=2CE ∴点C 的坐标为（-3，3-k ），点D 的坐标为（-6，6k -）由图象可知：3
-k ＞0 ∴CE=3
-k ，AD=6k - ∴AB=23
-k ∵AB －AD=BD
∴23-k －6⎛⎫- ⎪⎝⎭
k =3 解得：k=6-
故选A ．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题型，掌握反比例函数的几何意义和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
10.如图，四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，点P 从D 点出发，沿DA AB BC →→运动，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，设点P 运动的路程为x ，DPQ ∆的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间的函数关系的是( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点P 的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ 和PQ ，即可求出y 与x 的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，
∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60°
∴当点P 到点A 时，x=2；当P 到点B 时，x=4；当P 到点C 时，x=6
①当点P 在AD 上，即0＜x ≤2时，如下图所示
此时PD=x
∴PQ=PD ·sin ∠D=32x ，DQ= PD ·cos ∠D=12x ∴y=12DQ ·PQ=23x （0＜x ≤2），此时图象为开口上的抛物线的一部分； ②当点P 在AB 上，即2＜x ≤4时，如下图所示，过点A 作AE ⊥DC 于E
此时PA=x －AD=x －2
在Rt △ADE 中，AE=AD ·sin ∠3，DE= AD ·cos ∠D=1
易证四边形AEQP 为矩形
∴AP=EQ=x －2，3∴DQ=DE ＋EQ=1＋ x －2=x －1
∴y=12DQ ·PQ=12×3（x －1）=3322
-x （2＜x ≤4），此时图象为逐渐上升的一条线段； ③当点P 在BC 上，即4＜x ≤6时，如下图所示，
此时CP= AD ＋AB ＋BC －x=6－x
∵AD ∥BC
∴∠BCQ=∠ADC=60°
∴PQ=CP ·sin ∠)36-x ，CQ=CP ·cos ∠BCQ =()162-x ∴DQ=DC ＋CQ=2＋()162-x =152
-x ∴y=12DQ ·PQ=231523382
-+x 4＜x ≤6），此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为D
故选D ．
【点睛】此题考查的是函数的图象，掌握锐角三角函数、函数图象的判断和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
二、填空题：（每题3分，共24分）
11.随着人们支付方式的改变，支付宝用户迅猛增加，截至2019年6月，全球支付宝用户超，过12亿．用科学记数法表示数据12亿为 _____________
【答案】1.2×
109； 【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】解：根据科学记数法的定义：12亿=1200000000=91.210⨯
故答案为：91.210⨯．
【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键．
12.将多项式223882-+x y xy y 因式分解为：__________
【答案】22(2)y x y -
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：223882-+x y xy y
=()22244-+y x xy y
=22(2)y x y -
故答案为：22(2)y x y -．
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． 13.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
【答案】2
【解析】 【详解】解：扇形的弧长=0
208161π⨯=2πr ， ∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
14.在本学期的五次数学检测中，甲同学的成绩是：92, 89, 88, 87,94，乙同学的成绩是：
78, 88, 92, 94, 98，两名同学成绩比较稳定的是__________ (填“甲”或“乙”) ．
【答案】甲
【解析】
【分析】 先求出甲、乙两同学的平均成绩，然后根据方差公式：()()()222
2121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦求出方差，即可判断．
【详解】解：甲同学的平均成绩为（92＋89＋88＋87＋94）÷5=90
乙同学的平均成绩为（78＋88＋92＋94＋98）÷5=90
∴()()()()()2222221929089908890879094905⎡⎤=⨯-+-+-+-+-⎣
⎦s 甲=6.8 ()()()()()2222221789088909290949098905⎡⎤=⨯-+-+-+-+-⎣
⎦s 甲=46.4 ∵6.8＜46.4
∴甲同学成绩比较稳定
故答案为：甲．
【点睛】此题考查的是一组数据稳定性的判断，掌握方差公式和方差的意义是解决此题的关键． 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对角线相交于点()(), 2,0 6,0E A B ，，将正方形ABCD 以A 为位似中心，1:2为位似比缩小，点E 的对应点E '的坐标是___________
【答案】（3，1）或（1，-1）
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质和中点公式求出点E 的坐标，然后根据位似图形的位置分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据位似图形的性质即可求出结论．
【详解】解：∵正方形ABCD 中，()() 20 60A B ，
，，， ∴BC=BA=AD=6－2=4，点E 为AC 的中点
∴点C 的坐标为（6，4）
∴点E 的坐标为（622+，402
+）=（4，2） 当正方形ABCD 的位似图形和正方形ABCD 在点A 同一侧时，如下图所示
∵正方形ABCD 以A 为位似中心，1:2为位似比缩小，
∴AE '：AE=1:2
∴点E '为AE 的中点
∴此时E '的坐标为（242，202
+）=（3，1） 当正方形ABCD 的位似图形和正方形ABCD 在点A 两侧时，如下图所示，过点E ′作E ′F ⊥x 轴于F ，过点E 作EG ⊥x 轴于G
∴AG=EG=12
AB =2，OA=2 ∵正方形ABCD 以A 为位似中心，1:2为位似比缩小，
∴AE '：AE=1:2
∴AF ：AG=E 'F ：EG=AE '：AE=1:2
∴AF=1，E 'F=1
∴OF=OA －AF=1
∵E '在第四象限
∴点E '的坐标为（1，-1）
综上：点E '的坐标为（3，1）或（1，-1）
故答案为：（3，1）或（1，-1）．
【点睛】此题考查的是位似图形的画法及性质，掌握位似图形的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
16.如图，AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，沿AD 将ACD ∆折叠，点C 的对应点为1C ，已知
456ADC BC ∠=︒=，，则点B 与点1C 之间的距离是____________
【答案】32 【解析】
【分析】
连接BC 1，根据三角形中线的定义可得BD=CD=12BC =3，然后根据折叠的性质可得C 1D=CD=3，∠C 1DA=∠ADC=45°，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：连接BC 1
∵AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，BC=6 ∴BD=CD=12
BC =3 由折叠的性质可得C 1D=CD=3，∠C 1DA=∠ADC=45°
∴∠C 1DB=180°－∠C 1DA －∠ADC=90°
Rt △C 1DB 中，BC 1=221+BD C D =32
故答案为：32．
【点睛】此题考查的是勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理与折叠的性质是解决此题的关键． 17.如图，ABC ∆为等边三角形，O 为其内心，射线AO 交BC 于点6D AD =，， 点P 为射线AO 上一动点，将射线CP 绕点C 逆时针旋转60︒，与射线AO 交于点Q ，当1PO =时，DQ 的长度为__________
【答案】
65或103
； 【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质和内心的定义可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD 平分∠BAC ，AB=BC=AC ，然后利用锐角三角函数求出BD 、CD 、OD 和OC ，然后根据点P 和点O 的相对位置分类讨论，分别画出对应
的图形，利用全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和相似三角形的判定及性质即可求出结论．【详解】解：∵ABC为等边三角形，O为其内心，6
AD=
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC
∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD=1
2
∠BAC=30°
∴BD=CD=
tan AD
ACD
=23，AB =AC=BC=2BD=43
连接OC
易知OC=OA，∠OCD=30°
在Rt△OCD中，OD=CD·tan∠OCD=2，OC=2OD=4
①当点P在点O上方时，如下图所示，设射线CP绕点C逆时针旋转60︒后，点P的对应点为E，连接BE，过点E作EF⊥BC于F
∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD－PO=3
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠ECB=∠PCA
∵BC=AC
∴△ECB≌△PCA
∴BE=AP=3，∠EBC=∠PAC=30°
∴EF=BE·sin∠EBC=3
2
,BF= BE·cos∠
33
∴CF=BC－BF=
53∵EF⊥BC，AQ⊥BC ∴EF∥AQ
∴△CDQ∽△CFE
∴DQ CD EF CF
即
23
353 2
DQ
解得：DQ=6
5
；
②当点P在点O下方时，如下图所示，设射线CP绕点C逆时针旋转60 后，点P的对应点为E，连接BE，过点E作EF⊥BC于F
∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD＋PO=5
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠ECB=∠PCA
∵BC=AC
∴△ECB≌△PCA
∴BE=AP=5，∠EBC=∠PAC=30°
∴EF=BE·sin∠EBC=5
2
,BF= BE·cos∠
53
∴CF=BC－BF=33 2
∵EF ⊥BC，AQ⊥BC ∴EF∥AQ
∴△CDQ∽△CFE
∴DQ CD EF CF
即
23 533 2
DQ
解得：DQ=
103
； 综上：DQ=65或103
故答案为：65或103． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、三角形内心的定义、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和相似三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、三角形内心的定义、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
18.已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，y 与x 的部分对应值如下表所示：
下列判断，①0abc >；②30a c +=；③方程21ax bx c t ++-=有两个不相等的实数根；
④若3m >，则4t >，正确的是________________(填写正确答案的序号) ．
【答案】①②④．
【解析】
【分析】
由题意和图表可得a ＜0，当-3＜x ＜1时，y ＞0，抛物线对称轴为直线x=3112
-+=-，从而判断出b 和c 的符号，从而判断①；将（1,0）代入解析式中即可判断②；根据二次函数的最值可得2ax bx c ++＜1＋t ，从而判断③；将（-2，m ）代入即可求出a 的取值范围，再将（-1，t ）代入解析式中即可求出结论．
【详解】解：由题意和图表可知：二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，与x 轴的交点坐标为（-3,0）、（1,0）
∴a ＜0，当-3＜x ＜1时，y ＞0，抛物线对称轴为直线x=
3112
-+=- ∴12b a -=-，当x=0时，y=c ＞0 ∴2b a =＜0
∴0abc >，故①正确；
将（1,0）代入2
y ax bx c =++中，得0=++a b c
∴30a c +=，故②正确；
由表格可知：当x=-1时，y 最大，最大值为t
∴无论x 取何值，2ax bx c ++≤t
∴2ax bx c ++＜1＋t
∴21++=+ax bx c t 无解
即方程21ax bx c t ++-=无解，故③错误；
由②知3c a =-
将（-2，m ）代入2y ax bx c =++中，得42=-+m a b c
∵3m >
∴423-+>a b c
∴()42233-⨯+->a a a
解得：1a <-
将（-1，t ）代入2
y ax bx c =++中，得()234=-+=-+-=-t a b c a a a a ∵1a <-
∴44=->t a ，故④正确．
综上：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
三．解答题(本大题共2小题，共22分，第19题10分，第20题12分)
19.先化简，再求值：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中11tan 452a -⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭
【答案】2a +，5
【解析】
【分析】
先根据分式的各个运算法则化简，然后根据负指数幂的性质和45°的正切值求出a 的值，最后代入求值即可．
【详解】解：231124
a a a +⎛
⎫+÷ ⎪--⎝⎭ =()()222321
+--+⋅-+a a a a a 2a =+
∵a=-1
1tan 452⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=2+1=3， ∴原式=3+2=5．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值题、负指数幂的性质和45°的正切值，掌握分式的各个运算法则、负指数幂的性质和45°的正切值是解决此题的关键．
20.某中学现有的五个社团：A ．文学，B ．辩论，C ．体育，D ．奥数，E ．围棋，为了选出“你最喜爱的社团”，在部分同学中开展了调查( 每名被调查的同学必须且只能选出一个社团)，并将调查结果进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图：
()1求本次被调查的人数；
()2将上面两幅统计图补充完整；
()3若该学校大约有学生1500人，请你估计喜欢体育社团的人数；
()4学校为社团安排了1,2,3,4,5号教室供社团活动使用，文学设社和辩论社使用的教室恰好相邻的概率是多少?
【答案】（1）200人；（2）补全图形见解析；（3）450人；（4）
25
． 【解析】
【分析】
（1）利用喜欢A ：文学社团的人数除以其所占调查总人数的百分比即可求出结论；
（2）用调查总人数减去A 、B 、C 、E 的人数即可求出D 的人数，分别利用D 和E 的人数除以调查总人数
即可分别求出D和E所占的百分率，然后补全图形即可；
（3）利用喜欢体育社团的人数所占百分率乘1500即可求出结论；（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）调查总人数为：
24
200
12%
=（人）
答：共调查了200人．
（2）D：200-24-46-60-30=40，40
20% 200
=；
E：30
15% 200
=；
补全统计图如下：
（3）1500×30%=450（人）
答：估计喜欢体育社的同学约有450人．
（4）画树状图如下：
一共有20种结果，它们的可能性相等，文学社和辩论社教室相邻的结果有8种，分别为（1，2）（2，1）（2，3）（3，2）（3，4）（4，3）（4，5）（5，4），
所以文学设社和辩论社使用的教室恰好相邻的概率为：82 205
=．
【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，结合条形统计图、扇形统计图得出有用信息，掌握树状图的画法和概率公式是解决此题的关键．
四、解答题(本大题共2小题，共24分，第21题12分，第22题12分)
21.元旦联欢会前，班级买了甲、乙、丙三种笔记本作为奖品，共买了30本，花了100元，其中乙种笔记本数量是甲种笔记本数量的2倍，已知甲种笔记本单价为6元，乙种笔记本单价为4元，丙种笔记本单价为2
元．
()1求甲、乙、丙三种笔记本各买了多少本?
()2若购买奖品的费用又增加了25元，且购买奖品的总数量及购买乙种笔记本数量不变，则最多可以购买甲型笔记本多少本?
【答案】（1）甲、乙、丙三种笔记本的数量分别为5本，10本，15本．（2）最多可以购买11本甲种笔记本．
【解析】
【分析】
（1）设甲种笔记本买了x 本，乙种笔记本买了y 本，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论；
（2）设购买甲种笔记本m 本，根据题意列出一元一次不等式即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲种笔记本买了x 本，乙种笔记本买了y 本，列方程组
得()264230100y x x y x y =⎧⎨++--=⎩
解得510x y =⎧⎨=⎩
， ∴丙种：30-5-10=15，
答：甲、乙、丙三种笔记本的数量分别为5本，10本，15本．
（2）设购买甲种笔记本m 本，
()641023010m m +⨯+--≤100+25
解得m ≤1114
， ∵m 为整数，
∴m 的最大值为11，
答：最多可以购买11本甲种笔记本．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
22.如图，等腰ABC ∆中，AB AC AD =，是ABC ∆的角平分线，AC 交O 于点E ，点F 为DC 中点，
连接,OF EF ，若// ,OF AC ()1求证： EF 是O 的切线；
()2连接DE ，若5,15
sin DEF CE ∠==，求O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）连接OE ，根据平行线的性质和等边对等角证出∠DOF=∠EOF ，然后利用SAS 即可证出△ODF ≌△OEF ，从而得出∠ODF=∠OEF ，再根据三线合一证出∠ODF=90°，从而得出∠OEF=90°，最后根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=12
DC=DF ，利用等角的锐角三角函数相等求出DC 和AC ，再利用勾股定理求出直径AD ，即可求出结论．
【详解】（1）证明：连接OE ，
∵OF ∥AC ，
∴∠DOF=∠OAC ，∠EOF=∠OEA ，
∵OE=OA ，
∴∠OAC=∠OEA ，
∴∠DOF=∠EOF ，
又∵OD=OE ，OF=OF ，
∴△ODF ≌△OEF ，
∴∠ODF=∠OEF ，
∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，
∴AD ⊥BC ，
∴∠ODF=90°，
∴∠OEF=90°，
∴EF ⊥OE ，
∴EF 为⊙O 的切线．
（2）∵AD 为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∵F 为DC 中点，
∴EF=12
DC=DF ， ∴∠EDF=∠DEF ，
∴sin sin 5
EDF DEF ∠=∠=
∴CE DC = ∵CE=1，
∴∵∠DAC+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EDC ，
∴sin DAC ∠=
∴DC AC = ∴AC=5，
∴=，
【点睛】此题考查的是圆的综合题，掌握圆周角定理与推论、切线的判定定理、等腰三角形的性质、锐角
三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
五、解答题(本大题共1小题，共12分)
23.如图，在教室前面墙壁A 处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点C 时，摄像头俯角约为17︒，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为54︒，已知摄像头安装点高度AB 约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计，
()1求教室的长(教室前后墙壁之间的距离BC 的值)；
()2若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离BE 为1.2米， 桌子的高度DE 为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内?如果不在，应该怎样移动? (44170.29, 170.30,54, 5453sin tan sin tan ︒≈︒≈︒≈︒≈，精确到0.1米)
【答案】（1）教室的长约为9.0米；（2）不在监控范围，第一排桌子向后移动0.3米．
【解析】
【分析】
（1）根据锐角三角函数即可求出BC ；
（2）作DG ⊥AB 于G ，延长AF 交直线DG 于H ，根据锐角三角函数求出HG ，然后比较BE 和HG 的大小即可得出结论． 【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∠C=17°，tan AB C BC
=， ∴tan AB BC C
=
∴BC ≈2.79.00.3=米 答：教室的长约为9.0米．
（2）作DG ⊥AB 于G ，延长AF 交直线DG 于H ，
在Rt △AGH 中，∠AHG=54°，
∵tan AG AHG HG
∠=，
∴HG=
2.7-0.8 1.4254tan 3
AG AGH ≈=∠＞1.2，
∴不在监控范围内，
1.425-1.2=0.225≈0.3米，
答：第一排桌子向后移动0.3米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
六、解答题(本大题共1小题，共12分)
24.“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x 条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个．
()1直接写出y 与x 之间的函数关系式；
()2若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线?
()3设该厂每天可以生产的口罩w 个，请求出w 与x 的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个?
【答案】（1）50020y x =-；（2）应该增加5条生产线．（3）当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【解析】
【分析】
（1）根据“每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩”即可求出y 与x 的函数关系式；
（2）根据题意，列出一元二次方程即可求出结论；
（3）根据题意，即可求出w 与x 的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）由题意可得：50020y x =-；
（2）由题意可得：()()10500206000x x +-=。