理论力学--动量定理

质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
其中 所以： 所以：
1 O1X
+ m2vO2 X = 0)
px = m1 (vr cosα + v) + m2 (vr + v) + m3v + m4v
py = m1vr sinα + m2 ⋅ 0 + m3 (−vr ) + m4 ⋅ 0
p = [(m1 + m2 + m3 + m4 )v + (m1cosα + m2 )vr ]i+ (m1sinα − m3 ) j
例：物体系统…
确定系统的动量表达式。 解：1. 确定系统的动量表达式。建立 坐标系如图示。 坐标系如图示。根据
p = ∑mvi = (∑mvix )i + (∑mviy )j i i i
i i i
取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为 ， 取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v， 各物块相对四棱柱体的速度为v 各物块相对四棱柱体的速度为 r，则
例：物体系统…
2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体相 对地面的位移。 对地面的位移。 由于不计摩擦， 由于不计摩擦，系统在水平方向上 动量守恒， 动量守恒，即：
m&&C = ∑ Fxi x m&&C = ∑ Fyi y m&&C = ∑ Fzi z
自然坐标： 自然坐标：
& mvC = ∑ Fti m v
ρ
2 C
= ∑ Fni
0 = ∑ Fbi
质心运动守恒定律
质心运动守恒定律
（Conservation of motion of the mass center） 若作用于质点系的外力主矢恒等于零， 若作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心的位置或 静止，或者做匀速直线运动 匀速直线运动。 者静止，或者做匀速直线运动。 若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒等于零， 若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒等于零， 质心位置在该轴上的投影或者静止 或者做匀速直线运 投影或者静止， 则质心位置在该轴上的投影或者静止，或者做匀速直线运 动。 对于刚体或刚体系统，其质心容易确定， 对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理 主要采用质心运动形式——质心运动定理。 质心运动定理。 时，主要采用质心运动形式 质心运动定理
（方向垂直于O1O2） 方向垂直于
y1 r vO 2 o2 eω 2 ϕ o1 r m1 g FY x1
整理后两边积分： 整理后两边积分：
y
& r x m2 g
x
—— 简谐运动
质点系的质心运动定理
质点系的质心运动定理
质心运动定理 质心运动守恒定律
质点系的质心
质点系的质心
v rC =
v mi ri ∑
（其中末速度 v =0, m=P/g） ）
P =1690kN
讨论： 讨论： F/P=56.3
例：炮弹发射
已知： 0.05s，v0=500m/s，忽略地面摩擦 v0 忽略地面摩擦。 已知：P =40N，Q =8kN，t =0.05 忽略地面摩擦 炮身的反冲速度和地面的平均反力。 求：炮身的反冲速度和地面的平均反力。 解：取系统为研究对象 v
电动机跳起的条件为： 电动机跳起的条件为： 由此得： 由此得：
例：电机在水平方向的运动规律
解（2）：电机在水平方向的运动规律 ）：
分析：系统动量并不守恒（ 分析：系统动量并不守恒（？）， 但是系统在水平方向不受外力， 但是系统在水平方向不受外力，动 量在水平方向的分量守恒。 量在水平方向的分量守恒。 同时由初始条件（静止），系统的 同时由初始条件（静止），系统的 初始条件 ）， 初始动量为零。 初始动量为零。
0
例：锻压加工
处自由下落， 锻锤重 P=30kN，从高度 ，从高度h=1.5m处自由下落，打击 处自由下落 工件使其变形， 工件使其变形，工件变形的时间 t0=0.01s，求锻锤 ， 对工件的平均压力F。 对工件的平均压力 。
h
r F
解： 锻锤接触工件时刻的速度为
v0 = gt = g 2h / g = 2 gh
求：
1．系统动量的表达式； ．系统动量的表达式； 2．系统初始静止，当物块 下降 s时， ．系统初始静止，当物块1下降 时 求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地 面的位移。 面的位移。 3．若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块1 ．若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块 系统对凸起部分的水平压力。 下降距离 s 时，系统对凸起部分的水平压力。
理 论 力 学
动量定理——复习
• 动量定理
质点动量定理： 质点动量定理：
r r d (mv ) = Fdt
r t r r r mv − mv0 = I = ∫ Fdt
0
质点系动量定理： 质点系动量定理：
r (e ) r (e ) v r r dp = ∑ d (mi vi ) = ∑ Fi dt = ∑ dI i = FR dt t r r r r p − p0 = ∑ ∫ Fi dt = ∑ I i
质心运动定理
质心运动定理
根据质点系质心的位矢公式： 根据质点系质心的位矢公式： 可得： 可得：
v 1 v rC = ∑ mi ri m
1 r r vC = ∑ mi vi m
1 r r aC = ∑ mi ai m
代入质点系的动量定理（微分形式），得： 代入质点系的动量定理（微分形式），得 ），
r r maC = FR
max x
F
ห้องสมุดไป่ตู้
m1 = F + rω + m2 2
2
思考？如何求曲柄与滑槽间的内力！ 思考？如何求曲柄与滑槽间的内力！
关于质心运动轨迹的讨论
关于质心运动轨迹的讨论
转子质心运动的力学模型
例：物体系统…
图示系统中， 图示系统中，三个重物的质量分别为 m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳 子相连接，四棱柱体的质量为m 子相连接，四棱柱体的质量为 4，略去 一切摩擦和绳子的重量。 一切摩擦和绳子的重量。
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
x
3、分析运动，确定各个刚体质心的速度： 、分析运动，确定各个刚体质心的速度： 定系Oxy，动系O1x1y1，外壳作平移，其质心速度为 O1。 ，动系 外壳作平移，其质心速度为v 定系 转子作平面运动，其质心速度由两部分组成： 转子作平面运动，其质心速度由两部分组成：ve=vO1（水平 方向）； ）；v 方向）； r=vO2=eω
质点系的总质量与质点系质心加速度乘积， 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积，等于作用在 质点系上外力的主矢——质心运动定理 质点系上外力的主矢 质心运动定理 类比： 类比：
r r mi ai = Fi
——单个质点的质点动力学基本方程 单个质点的质点动力学基本方程 单个质点的
质心运动定理
将质心运动定理与质点动力学基本方程进行类比，可知二者 质心运动定理与质点动力学基本方程进行类比， 进行类比 具有相同的形式。换言之，质点系质心的运动， 具有相同的形式。换言之，质点系质心的运动，可看成一个 质点”的运动， 质点”集中了质点系的全部质量 全部质量以及质 “质点”的运动，该“质点”集中了质点系的全部质量以及质 点系的全部外力 全部外力。 点系的全部外力。 不影响质点系质心的运动 质点系的内力不影响质点系质心的运动。 质点系的内力不影响质点系质心的运动。 质心运动定理的投影形式： 质心运动定理的投影形式： 直角坐标： 直角坐标：
例：偏心转子电机跳起的条件 偏心转子电机跳起的条件
4、（在y方向）应用质点系的动量定理确定约束力 、（在 方向 、（ 方向）
d ∑ mi vYi = ∑ FY dt
5、分析电动机跳起的条件 当偏心转子质心O 5、分析电动机跳起的条件：当偏心转子质心O2运动到最上方 电动机跳起的条件： 时，ϕ = ωt = π/2，约束力最小： ，约束力最小：
四种答案中哪一个是正确的？ 四种答案中哪一个是正确的？
例：船的位移
船身长l， 小船质量m1，船身长 ，质量 y 质量 的人从船头走到船尾。 为m2的人从船头走到船尾。 a s
求：船的位移 解：取系统为研究对象
O
b m1g
m2g x
m2g m1g
xC1 = xC2
m2l s= m + m2 1
例：曲柄——丁字滑杆机构
电动机的外壳和定子的总质量为 m1，质心 1与转子转轴 1 重合； 质心C 与转子转轴O 重合； 转子质量为m 质心O 转子质量为 2，质心 2 与转轴不 重合， 重合，偏心距 O1O2 = e。 。 旋转， 若转子以等角速度ω旋转， 底座不固定，初始条件为： 底座不固定，初始条件为： ϕ = 0，vO2x = 0， vO2y=eω 。
求：作用在曲
柄轴 A 处的最 大水平约束力 Fx。
例：曲柄——丁字滑杆机构
如图所示，应用质心运动定理， 解：如图所示，应用质心运动定理，有 ( m1 + m2 ) aCx = Fx − F 1 r xC = m1 cos ϕ + m2 ( r cos ϕ + b ) m1 + m2 2 d 2 xC −rω 2 m1 aCx = = + m2 cos ωt 2 dt m1 + m2 2 2 m1 Fx = F − rω + m2 cos ωt 2 显然，最大水平约束力为： 显然，最大水平约束力为：
如图所示，均质曲柄 长为 质量为m 假设曲柄 长为r， 曲柄受力偶 如图所示，均质曲柄AB长为 ，质量为 1，假设曲柄受力偶 转动， 作用以不变的角速度ω 转动，并带动丁字滑槽连杆以及与它固连 的活塞D。滑槽、连杆、活塞总质量为 质心在点C， 的活塞 。滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ，质心在点 ，在活塞 上作用一恒力F。 上作用一恒力 。 不计摩擦及滑 的质量。 块 B 的质量。
x
求：1、电动机跳起的条件； 、电动机跳起的条件；
2、外壳在水平方向的运动规律。 、外壳在水平方向的运动规律。
例：偏心转子电机跳起的条件 偏心转子电机跳起的条件
y1
ω
解（1）：电动机跳起的条件 ）：
o2
1、选择包括外壳、定子、转 、选择包括外壳、定子、 子的电动机作为刚体系统。 子的电动机作为刚体系统。 2、系统所受的外力有——定 、系统所受的外力有 定 子所受重力m ； 子所受重力 1g；转子所受重 力m2g；底座所受约束力 y ；底座所受约束力F
1 v = ∑ mi ri ∑ mi m
质心位置的坐标 投影）： （投影）：
1 xC = ∑ mi xi m 1 yC = ∑ mi yi m 1 zC = ∑ mi zi m
质心位置反映了质点系质量分布的一个特征， 质心位置反映了质点系质量分布的一个特征，质心概念以及 质心运动在质点系（刚体）动力学中具有重要地位 重要地位。 质心运动在质点系（刚体）动力学中具有重要地位。