2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3第2课时习题课——指数函数及其性质学案北师大版必修1
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3 第2课时 指数函数的图像与性质的应用学业分层测评 北师
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3。
3 第2课时指数函数的图像与性质的应用（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1。
已知集合M＝{－1,1},N＝错误!,则M∩N＝（）A．{－1,1｝B．{－1}C．{0} D．{－1，0}【解析】N＝｛x|2－1〈2x＋1<22，x∈Z｝，又y＝2x在R上为增函数,所以N＝{x|－1<x＋1〈2，x∈Z}＝｛x｜－2<x<1,x∈Z｝＝{－1，0｝，所以M∩N＝{－1,1}∩｛－1，0｝＝｛－1}，故选B.【答案】B2. 下列判断正确的是（）A．2。
52。
5>2。
53B．0.82〈0.83C．π2<π 2 D．0。
90。
3〉0。
90.5【解析】∵y＝0.9x是R上的减函数，且0。
5>0.3，∴0.90.3〉0.90.5.【答案】D3。
函数y＝5－｜x|的图像是（）【解析】当x>0时,y＝5－|x|＝5－x＝错误!x,又原函数为偶函数,故选D.【答案】D4. 若函数f（x)＝3x＋3－x与g（x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )A．f(x)与g(x）均为偶函数B．f(x）为偶函数，g(x)为奇函数C．f（x)与g（x）均为奇函数D．f（x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】f(－x)＝3－x＋3x＝f(x），f(x)为偶函数,g(－x)＝3－x－3x＝－g（x)，g(x）为奇函数．故选B。
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版
3.2 指数扩充及其运算性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nm a1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )(3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题． 若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．31064.0-＋160.75＋2125.0-＝________.【解析】 原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11[小组合作型](1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝31a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(31a)2·21a ·23b＝67a23b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3)324)32(b (b <0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·61)(a -＝31)(a --·61)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·27b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．[探究共研型]探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值． 【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值． 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 32-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)35a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________. 【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。
2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性
3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在同一坐标系中，函数y ＝log 3 x 与y ＝log 13 x 的图象关于________对称．【解析】 y ＝log 13x ＝－log 3 x 与y ＝log 3 x 的图象关于x 轴对称．【答案】 x 轴2．若y ＝(log 12 a )x在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题知0<log 12a <1，即log 121<log 12a <log 1212，∴1>a >12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a<1)的图象大致为________．(填序号)【解析】 将g (x )＝log a x 的图象不动，并将之关于y 轴对称到y 轴左侧，再上移1个单位，即得f (x )的图象．【答案】 ①4．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,3a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于________．【解析】 ∵a ∈(0,1)，∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 3a ， 由题知log a 3a ＝13，∴a ＝133＝39.【答案】395．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．【解析】 x ≥1时，f (x )≤0，x <1时，0<f (x )<2，故f (x )的值域为(－∞，2)．【答案】 (－∞，2) 6．函数f (x )＝lg (4x－2x ＋1＋11)的最小值是________．【解析】 4x－2x ＋1＋11＝(2x )2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，∴f (x )≥lg 10＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3 x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．【解析】 法一：分别做出f (x )，g (x )，h (x )的图象(图略)，通过作y ＝a (a <0)可以看出x 2<x 3<x 1.法二：由题知f (x 1)＝a ＝ln x 1，∴x 1＝e a，同理x 2＝10a，x 3＝3a，结合指数函数y ＝e x，y ＝10x ，y ＝3x 的图象可知，x 2<x 3<x 1.【答案】 x 2<x 3<x 18．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．【解析】 由题知－2≤log 2 x <2，∴log 2 2－2≤log 2 x <log 2 22，故14≤x <4.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 二、解答题9．(1)若log a 34<1(a >0，a ≠1)，求实数a 的取值范围；(2)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域.【解】 (1)log a 34<1，即log a 34<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数， 由log a 34<log a a ，得a >34，故a >1.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，由log a 34<log a a ，得a <34，故0<a <34.综上，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <34或a >1. (2)由0≤log 12(3－x )≤1得，log 121≤log 12 (3－x )≤log 1212， 所以12≤3－x ≤1，解得2≤x ≤52.所以函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52. 10．设函数y ＝f (x )满足lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式； (2)求f (x )的值域；(3)讨论f (x )的单调性．(不用证明) 【解】 (1)∵lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x ＞0，y ＞0，，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞0.又∵lg y ＝lg[3x (3－x )]， ∴y ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ， 即f (x )＝－3x 2＋9x (0＜x ＜3)．(2)∵－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274且0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，即函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，274.(3)∵f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，且0＜x ＜3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减． [能力提升]1．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图322，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是下列中的________．(填序号)图322【解析】 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，故g (x )＝a x＋b 的图象为④. 【答案】 ④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，a －－1≤log a 1＝0⇒2<a ≤3.【答案】 (2,3]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________.【解析】 ∵f (log 2 a )＋f (log 12a )＝f (log 2 a )＋f (－log 2 a )＝2f (log 2 a )≤2f (1)，∴f (log 2 a )≤f (1)，由f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴－1≤log 2 a ≤1，即log 2 12≤log 2 a ≤log 2 2，∴12≤a ≤2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 4．已知函数f (x )＝log 121－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，即log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax，解得a＝－1或a＝1(舍)．所以a＝－1.(2)f (x)＋log12(x－1)＝log121＋xx－1＋log12(x－1)＝log12 (1＋x)，当x＞1时，log12(1＋x)＜－1.∵当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋log12(x－1)＜m恒成立，∴m≥－1.即实数m的取值范围[－1，＋∞).。
[K12学习]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学
![[K12学习]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学](https://img.taocdn.com/s3/m/b559ab1ea5e9856a561260a5.png)
3.1.2 第2课时指数函数的图象与性质的应用1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)[基础·初探]教材整理指数函数形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．【解析】一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.【答案】a(1＋p)8[小组合作型]求下列函数的定义域和值域：【精彩点拨】使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．1．对于y＝a f (x)这类函数(1)定义域是指使f (x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f (x)的值域．②利用指数函数y＝a u的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(a x)2＋n(a x)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．[再练一题]1．(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________.(2)求函数y ＝4－x－21－x＋1在x ∈[－3,2]上的最大值和最小值．【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，得－3<x ≤0.所以函数的定义域是(－3,0]． 【答案】 (－3,0] (2)y ＝4－x－21－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12，∵x ∈[－3,2]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得y ＝(t －1)2，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴y ∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【自主解答】 (1)1年后城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．[再练一题]2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出y 关于x 的函数解析式．【解】 设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克． 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数量为M (1＋1.2%)． 则人均占有粮食为360M＋M＋千克，经过2年后，人均占有粮食为 360M＋2M＋2千克，…经过x 年后，人均占有粮食为 y ＝360M ＋x M＋x千克，即所求函数解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x (x ∈N *)．[探究共研型]探究 通过指数函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？【提示】 指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．【自主解答】 (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f－＝－f，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b22＋a，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2xx ＋＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2x 2＋x 1＋<0，∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2，∴3t 2－2t －k >0恒成立， ∴Δ＝(－2)2＋12k <0， ∴k <－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减，∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．[再练一题]3．设a >0，函数f (x )＝4xa ＋a4x 是定义域为R 的偶函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 【解】 (1)由f (x )＝f (－x ) 得4xa ＋a 4x ＝4－xa ＋a4－x ， 即4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＋14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫4x －14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝0，根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)由(1)可知f (x )＝4x＋14x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1＋14x 1－4x 2－14x 2＝(4x 1－4x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－14x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2， 所以4x 1<4x 2. 又x 1＋x 2>0， 所以4x 1＋x 2>1，所以1－14x 1＋x 2＝4x 1＋x 2－14x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．探究1 y ＝2x【提示】 y ＝2x 在R 上单调递增，y ＝x ＋1在R 上单调递增，y ＝2x ＋1在R 上单调递增．探究2 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性分别如何？【提示】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1单调递减．探究3 y ＝－x 与y ＝2－x的单调性如何？【提示】 y ＝－x 单调递减，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减．探究4 由以上3个探究，我们可以对由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))的单调性做出什么猜想．【提示】 y ＝f (g (x ))可以由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成，复合而成的函数单调性与y ＝f (u )，u ＝g (x )各自单调的关系为“同增异减”．即f 与g 单调性相同，复合后单调递增，f 与g 单调性不同，复合后单调递减．探究5 用单调性的定义证明：当y ＝f (u )，u ＝g (x )均单调递减时y ＝f (g (x ))单调递增．【提示】 任取x 1，x 2∈D 且x 1<x 2. ∵g (x )单调递减，∴g (x 1)>g (x 2)，即u 1>u 2， 又f (x )单调递减，∴f (u 1)<f (u 2)， 即f (g (x 1))<f (g (x 2))， ∴y ＝f (g (x ))单调递增．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调增区间为________，单调减区间为________，最大值为________．【精彩点拨】 先确定u ＝x 2－4x 的值域、单调性，再确定f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 的单调性和值域．【自主解答】 令u ＝x 2－4x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，∵u (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，故u min ＝u (2)＝－4，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上单调递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－4x 在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，且y max ＝y (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.【答案】 (－∞，2] [2，＋∞) 161．关于指数型函数y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．[再练一题]4．(1)函数y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2的单调增区间为________．(2)讨论函数f (x )＝ax 2－4x 的单调性． 【解析】 (1)设y ＝2u，u ＝1x2，【答案】 (－∞，0)(2)设u ＝x 2－4x ，则f (x )＝a u ，u ＝x 2－4x ，易知u ＝x 2－4x 在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，故当a >1时，y ＝a u递增，故f (x )的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)，当0<a <1时，y ＝a u 递减，故f (x )的单调增区间为(－∞，2)，单调减区间为(2，＋∞).1．函数f (x )＝1－3x＋1x ＋5的定义域为________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x ＋5>0，∴－5<x ≤0.【答案】 (－5,0]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】 x ∈[－1,2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，3，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，23．函数y ＝3的单调递减区间是________．【解析】 令y ＝3u，u ＝2－2x 2，因为y ＝3u 在R 上单调递增，u ＝2－2x 2在(0，＋∞)上单调递减，所以y ＝32－2x 2的单调递减区间是(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)4．若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x (k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________．【解析】 依题意，f (－x )＝2－x－k ·2x 2－x ＋k ·2x ＝－f (x )＝－2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x ，即(2－x－k ·2x )(2x ＋k ·2－x )＝(2－x ＋k ·2x )·(－2x ＋k ·2－x )，∴k 2＝1，k ＝±1. 【答案】 ±15．设0≤x ≤2，y ＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值.【解】 令t ＝2x,0≤x ≤2，∴1≤t ≤4. 则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12t 2－3t ＋5.又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]，∴y ＝12(t －3)2＋12在[1,3]上是减函数；在t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第2课时习题课指数函数及其性质的应用课件北师大版
( ) 型函数的
定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调
性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要
先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出
2 -||
3
=
3 ||
2
2 -||
的值域为[1,+∞).
3
≥
3 0
=1.
2
.
5.解方程:22x+2+3×2x-1=0.
解∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令 t=2 (t>0),则方程可化为 4t +3t-1=0,解得
x
x=-2.
2
1
t= 或
4
x
t=-1(舍去).∴2
x
1-x
1
x> .
2
)
3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=
答案 -4
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
2
∴f(-8)=-f(8)=-83 =-4.
2
3
,则f(-8)的值是
.
2
4.函数y=
3
答案 R
-||
的定义域是
,值域是
[1,+∞)
解析 函数的定义域为 R.
∵|x|≥0,∴y=
故 y=
综上可知,当a>1时,函数f(x)的定义域为[2,+∞);
2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质学业分层测评 北师大版必
3.2 指数扩充及其运算性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题【答案】 B2. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )【答案】 C3. 如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 为( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.x x －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，由y ＝1＋2－b＝1＋12b ，得y ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D2【答案】 A 5. 化简－1a的结果是( )A.1a－aB ．－1a－aC ．a －aD ．－a －a【解析】 由式子可知a <0，原式＝－a a 2＝1|a |－a ＝－1a－a . 【答案】 B 二、填空题6. 将3a ·a用分数指数幂表示为________． 【解析】【答案】 21a7. 212-＋－02＋12－1－－5·328-＝________.【解析】 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.【答案】 22－38. 如果a ＝3，b ＝384，那么＝________.3三、解答题【解】 (1)原式＝10. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【导学号：04100044】【解】 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b >0，∴a －ba ＋b>0. ∵⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，4∴a －ba ＋b＝15＝55. [能力提升]1. 设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．21a B ．65aC ．67aD ．23a【答案】 C2. 3a ·6－a 等于( ) A ．－－a B ．－aC.－aD.a【答案】 A【答案】64334. (1)已知2x＋2－x＝3，求8x ＋8－x的值；【解】(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝3×(32－3)＝18.(2)∵a≠0，a－27b≠0，5。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学业分
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3。
1。
2 第2课时指数函数的图象与性质的应用（建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．函数y＝a x－1的定义域是（－∞，0]，则实数a的取值范围为________．【解析】由a x－1≥0，得a x≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0〈a<1。
【答案】(0，1)2．函数y＝错误!的值域是________．【解析】∵x2－1≥－1，∴y≤错误!－1＝2，又y>0，∴y∈(0,2]．【答案】（0,2]3．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________．【解析】依题意，对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0。
【答案】［－1,0］4．若函数f (x）＝a｜2x－4｜（a〉0，a≠1）,满足f （1)＝错误!，则f （x)的单调递减区间是________．【解析】由f （1)＝错误!，得a2＝错误!，所以a＝错误!错误!，即f （x）＝错误!｜2x－4|.由于y＝|2x－4｜在(－∞,2］上递减,在[2，＋∞)上递增，所以f （x）在(－∞，2]上递增,在[2，＋∞)上递减．【答案】[2，＋∞）5．函数y＝8－24－x(x≥0）的值域是________．【解析】∵x≥0,∴4－x∈（－∞，4］，∴24－x∈(0，16]，∴8－24－x∈［－8，8)．【答案】［－8,8)6．已知函数f （x）＝e|x－a|(a为常数），若f （x)在区间[1,＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】∵e＞1，令y＝｜x－a｜,∴y＝｜x－a|在［1，＋∞)上为增函数,函数y＝|x－a|的图象如图，可知当a≤1时，函数y＝|x－a|在［1，＋∞）上为增函数．【答案】(－∞,1］7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的错误!，要使存留污垢不超过原来的1％，则至少要漂洗________次.【解析】设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗，存留量为原来的错误!;经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的错误!;也就是原来的错误!2；经过第三次漂洗，存留量为原来的错误!3；经过第四次漂洗,存留量为原来的错误!4，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的错误! x.由题意，错误!x≤错误!,4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．【答案】48．已知函数f (x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f （x）＝1－2－x，则不等式f （x)〈－错误!的解集是________．【解析】当x〈0时，－x〉0，f (－x)＝1－2x＝－f （x),则f （x）＝2x－1.当x＝0时，f (0）＝0，由f (x)〈－错误!，解得x〈－1.【答案】(－∞，－1)二、解答题9．已知函数（1）若a＝－1时,求函数f (x)的单调增区间;(2)如果函数f （x)有最大值3，求实数a的值．【解】(1)当a＝－1时,令g(x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2)2＋7，由于g(x）在(－2,＋∞）上递减，y＝错误!x在R上是减函数,∴f （x）在（－2,＋∞)上是增函数，即f （x）的单调增区间是(－2,＋∞)．(2）令h（x)＝ax2－4x＋3，f （x)＝错误!h(x），由于f (x)有最大值3，所以h（x)应有最小值－1.因此必有错误!解得a＝1,即当f (x)有最大值3时，a的值为1.10．一个人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL,那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）【解】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3（1－50%)mg/mL,…，x小时后其酒精含量为0.3（1－50%)x mg/mL，由题意知0.3(1－50％）x≤0.08，错误!x≤错误!.采用估算法，x＝1时,错误!1＝错误!>错误!，x＝2时，错误!2＝错误!＝错误!〈错误!。
【中小学资料】2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数(第2课时)对数的运算性质学
第2课时 对数的运算性质1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质 阅读教材P 75～P 76，完成下列问题． 1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)．( )【解析】 根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误，(3)中－2不能作真数．【答案】 (1)× (2)× (3)×2．(1)log 2 25－log 2 254＝________；(2)log 2 8＝________.【解析】 (1)log 2 25－log 2 254＝log 2 25×425＝log 2 4＝log 2 22＝2log 2 2＝2.(2)log 2 8＝log 2 23＝3log 2 2＝3. 【答案】 (1)2 (2)3 教材整理2 换底公式阅读教材P 77～P 78，完成下列问题． 1．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．2．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 【解析】 log 75＝lg 5lg 7＝ab.【答案】 a b[小组合作型]计算下列各式的值．(1)lg 2＋lg 5；(2)log 5 35＋2log 122－log 5150－log 5 14；(3)[(1－log 6 3)2＋log 6 2·log 6 18]÷log 6 4.【精彩点拨】 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1. (2)原式＝log 5 35×5014＋2log 12 212＝log 5 53－1＝2.(3)原式＝[(log 6 6－log 6 3)2＋log 6 2·log 6(2·32)]÷log 6 4 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log 6 632＋log 662＋log 6 32÷log 6 22＝[(log 6 2)2＋(log 6 2)2＋2log 6 2·log 6 3]÷2log 6 2 ＝log 6 2＋log 6 3＝log 6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)． 2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a ＝1，alog a N＝N .3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．[再练一题]1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log5 3.【解】 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.化简：【精彩点拨】 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 【自主解答】 (1)log 2(28×82)＝log 2[28×(23)2]＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.[再练一题] 2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 13 27－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.【解】 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1. (3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .(1)已知3a ＝5b＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为________．(2)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.【精彩点拨】 用换底公式统一底数再求解．【自主解答】 (1)由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.【答案】15(2)①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log a m N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．[再练一题]3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．【解】 原式＝(log 2 53＋log 22 52＋log 23 5)(log 5 2＋log 52 22＋log 53 23) ＝(3log 2 5＋log 2 5＋13log 2 5)·(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝133·log 2 5·3log 5 2＝13.2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)【精彩点拨】 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．【自主解答】 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤[再练一题]4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．【解】 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．[探究共研型]探究1 【提示】 log a MN ＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c b log c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .探究2 解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 的值．【精彩点拨】 根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 【自主解答】 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＋4＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－4＝0，故x y＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴x y＝4. ∴log 12x y＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点： (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．[再练一题]【解】 原方程等价于3(2log 3 x )－4log 42 x 2－12＝0， 即3log 3 x 2－4log 4 x －12＝0， ∴x 2－x －12＝0， ∴(x ＋3)(x －4)＝0， ∴x ＝4或－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2>0，∴x ＝4，即原方程的解为x ＝4.1．log 2 27·log 3 4＝________；log 2 3·log 3 10·lg 8＝________. 【解析】 log 2 27·log 3 4＝log 2 33·log 3 22＝(3log 2 3)·(2log 3 2)＝6. log 2 3·log 3 10·lg 8＝lg 3lg 2·lg 10lg 3·lg 8lg 10＝lg 8lg 2＝log 2 8＝3.【答案】 6 32．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么log 8 98＝________. 【解析】 log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a .【答案】a ＋2b 3a3．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.【解析】 log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝()－log 5 4·()log 4 6()log 6 x ＝－log 5 x ＝2，∴log 5 x ＝－2，∴x ＝5－2＝125. 【答案】1254．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.【解析】 因为m ＝log 2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝log 10 2＋log 10 5＝lg 10＝1.【答案】 15．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 【解】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，x ＋2yx －y ＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x ＋2yx －y ＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x －2yx ＋y ＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。
2018学年高中数学必修一配套课件：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 习题课 函数的应用 精品
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
解析答案
类型二 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异探究
解析答案
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
解析答案
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地 多少公顷？ 解 由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌 溉土地47.4公顷.
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1 234 5
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
418Biblioteka 636.6526.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； 解 利用计算机几何画板软件，描点如图甲.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
习题课 函数的应用
学习目标
1.进一步掌握常用的函数模型解析式的求法及应用； 2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的 能力； 3.培养借助表格、图象处理数据的能力.
问题导学
2018-2019学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数与指数函数课时作业2 北师大版必修1
3.2 指数与指数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·茂名模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图253所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图像是( )图253C [由函数f (x )的图像可知，－1＜b ＜0，a ＞1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b ＞0，故选C.]2．(2016·山东德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，35＞25，∴b ＜c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上是增加的，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.] 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________.2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.] 7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________．(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．] 8．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增加的，则实数m 的最小值等于________.1 [由f (1＋x )＝f (1－x )得a ＝1，从而函数f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，从而m 的最小值为1.]三、解答题9．(2018·深圳模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．[解] (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即－a x＋a 1－2x ＝a ·2x＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.3分 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分 (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3).8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的，从而在(－∞，0)上是减少的，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2018·江淮十校联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x)＞f (c x)D ．与x 有关，不确定A [由f (x ＋1)＝f (1－x )知：函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴b ＝2.由f (0)＝3知c ＝3，∴f (b x)＝f (2x)，f (c x)＝f (3x)．当x ＞0时，3x＞2x ＞1，又函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的， ∴f (3x)＞f (2x)，即f (b x)＜f (c x)；当x ＝0时，3x＝2x＝1，∴f (3x)＝f (2x)，即f (b x)＝f (c x)； 当x ＜0时，0＜3x＜2x＜1，又函数f (x )在(－∞，1)上是减少的， ∴f (3x)＞f (2x)，即f (b x)＜f (c x)． 综上知：f (b x)≤f (c x)．故选A.]3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． [解] (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.2分对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )．∴f (x )是偶函数.5分(2)由(1)知f (x )为偶函数， ∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0， 即⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋1a x －＞0， 9分即a x－1＞0，a x＞1，a x＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f (x )＞0. 12分本文档仅供文库使用。
2018版必修一课后作业：第三章 指数函数、对数函数和
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？答案设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． 答案 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 答案 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)1)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2. (3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2. (5)因为1)log )13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3).解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x＝，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.答案 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． 答案 b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. 答案 a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. 答案 ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. 答案 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． 答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. 答案 －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．＝________.答案 8 解析 设＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．答案 ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．答案 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．答案 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.答案2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． 答案 x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. 答案107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.答案 13解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.答案－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案
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2 第2课时对数函数的图象与性质的应用1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点）2．理解并掌握对数函数的单调性．（重点）3．会用对数函数的相关性质解综合题．（难点)[基础·初探]教材整理与对数函数有关的图象变换阅读教材P84例3以下内容,完成下列问题．1．平移变换当b＞0时,将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a（x＋b)的图象；向右平移b个单位,得到y＝log a(x－b）的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．2．对称变换要得到y＝log a错误!的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．为了得到函数y＝lg 错误!的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点________________________________________________________．【解析】y＝lg 错误!＝lg （x＋3)－1，故将y＝lg x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．【答案】向左平移3个单位,再向下平移1个单位[小组合作型］对数函数的图象作出函数y＝｜log2（＋2）｜＋4的图象，并指出其单调增区间．【精彩点拨】可先作出y＝log2x的图象，再左移2个单位得到y＝log2(x＋2),通过翻折变换得到y＝|log2（x＋2）｜，再向上平移4个单位即可．【自主解答】步骤如下:(1）作出y＝log2x的图象，如图（1)．（2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2（x＋2)的图象，如图（2）．（3）将y＝log2（x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝｜log（x＋2)|的图象，如图(3)．2（4)将y＝|log2（x＋2)｜的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝｜log2（x＋2)|＋4的图象,如图(4)．由图可知,函数的单调增区间为(－1，＋∞)．1．已知y＝f （x)的图象，求y＝｜f （x＋a）|＋b的图象步骤如下：y＝f （x)→y＝f （x＋a）→y＝｜f （x＋a)|→y＝|f (x＋a)|＋b.2．已知y＝f (x)的图象，求y＝|f (x＋a）＋b｜的图象，步骤如下:y＝f (x)→y＝f (x＋a）→y＝f （x＋a）＋b→y＝|f (x＋a)＋b|。
2018-2019学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2.1-2 指数函数的概念课时作业 北师大版必修1
3.3.1-3.3.2指数函数的概念一、选择题1．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3，其中指数函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x ＋1，不是x ，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.2．函数y ＝2－x的图像是下图中的( )[答案] B[解析] ∵y ＝2－x＝(12)x ，∴函数y ＝(12)x是减函数，且过点(0,1)，故选B.3．函数y ＝1－2x的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] 由题意，得1－2x≥0，∴2x≤1，∴x ≤0， ∴函数y ＝1－2x的定义域为(－∞，0]． 4．已知函数f (x )＝2x －1＋1，则f (x )的图像恒过定点( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)[答案] C[解析] 代入选项易知C 正确．5．经过点(－32，827)的指数函数的解析式为( )A ．y ＝(94)xB ．y ＝(32)xC ．y ＝(49)xD ．y ＝(23)x[答案] A[解析] 将点(－32，827)代入指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，则a －32 ＝827，即(1a )32 ＝(23)3，所以1a ＝23，即a ＝94. 6．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)[答案] C[解析] 本题考查指数函数集合的运算． |x －1|<2，∴－2<x －1<2 即－1<x <3，y ＝2x,0≤x ≤2 ∴20≤y ≤22，即1≤y ≤4 ∴A ∩B ＝[1,3) 二、填空题 7．函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.[答案] 9[解析] ∵函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9. 8．(2015·江苏高考)不等式2 x 2－x＜4的解集为________．[答案] (－1,2)[解析] 由题意得：x 2－x <2⇒－1<x <2， 解集为(－1,2)． 三、解答题9．若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，求实数a 的取值范围． [解析] y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为{a |a <43且a ≠1}．10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(－1，＋∞)上的单调性．[解析] (1)只需x ＋1≠0时，f (x )都有意义，故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－1}． (2)设x 1，x 2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a x1＋x 1－2x 1＋1－(a x2＋x 2－2x 2＋1)＝(a x1－a x2)＋x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 又a >1，∴a x1<a x2，即ax 1－ax 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上是增加的.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立． 当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．函数y ＝2x ＋1的图像是图中的( )[答案] B[解析] x ＝0时，y ＝2；且y ＝2x ＋1的图像是y ＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．二、填空题3．若指数函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (3)＝________. [答案] 8[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f (3)＝23＝8.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0x 12，x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是________．[答案] {x |x >1或x <－1}[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12>1，解得x >1或x <－1，故{x |x >1或x <－1}．三、解答题 5．已知f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域． [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即12－x－1＋a ＝－[12x －1＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.∵2x－1≠0，∴x ≠0.∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0， ∴12x －1<－1或12x －1>0， ∴y <－12或y >12.∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．6．画出函数y ＝|2x－1|的图像，并利用图像回答： 为何值时，方程|2x－1|＝ 无解？有一解？有两解？[解析] 函数y ＝|2x－1|的图像是由函数y ＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，图像如图所示．当 <0时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x －1|的图像无交点，即方程无解；当 ＝0或 ≥1时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0< <1时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解． 7．设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)的值．[解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a 44a ＋2 ＝4a4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a4a ＋2＋22＋4a ＝4a＋24a ＋2＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001)]＝500×1＝500.。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.3第2课时习题课_对数函数的图像及其性质的应用学案含解析北
学习资料第2课时习题课-—对数函数的图像及其性质的应用内容标准学科素养1.进一步加深理解对数函数的概念．2.掌握对数函数的性质及其应用.准确分类讨论加强数形结合提升数学运算授课提示:对应学生用书第59页探究一简单对数不等式［例1］(1)解不等式log2(x＋1)＞log2(1－x）;(2）若log a错误!＜1，求实数a的取值范围．［思路点拨]（1)利用y＝log2x为增函数求x的范围；（2)按a＞1及0＜a＜1分类讨论,解不等式．[解析］（1）依题意得错误!⇒错误!⇒0＜x＜1，所以log2(x＋1)＞log2（1－x）的解集为｛x|0＜x＜1}．（2)不等式log a23＜1可化为log a错误!＜log a a.①当a＞1时，y＝log a x单调递增，故错误!解得a＞1；②当0＜a＜1时，y＝log a x单调递减，故错误!解得0＜a＜错误!。
综上可知，当0＜a＜23或a＞1时，log a错误!＜1。
延伸探究若把本例(1)中底数“2”换为“a”,应如何求解？解析:(1)当a＞1时，原不等式等价于:错误!，∴错误!，∴0＜x＜1.∴原不等式的解集为｛x|0＜x＜1}．（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于:错误!，∴错误!,∴－1＜x＜0.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜0｝．综上：a＞1时，原不等式解集为｛x|0＜x＜1}；0＜a＜1时,原不等式解集为｛x|－1＜x＜0}．方法技巧 1.log a f(x）＜log a g（x),a＞1与不等式组错误!同解．2．log a f(x）＜log a g(x)，0＜a＜1与不等式组错误!同解．3．特别地,当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a＞1及0＜a＜1进行分类讨论．跟踪探究1。
已知函数f（x)的图像与g(x）＝log a x(a＞0且a≠1)的图像关于x轴对称,解不等式f(2x)＜f（x－1)．解析:因为f(x）与g(x）的图像关于x轴对称，所以f（x）＝log错误!x，故f（2x)＜f(x－1)⇔log错误!(2x）＜log错误!(x－1）．当a＞1时，原不等式⇔错误!无解．当0＜a＜1时，原不等式⇔｛2x＞0，，x－1＞0，2x＜x－1，所以当a＞1时,原不等式的解集是(1，＋∞），当0＜a＜1时，原不等式的解集为空集．探究二对数型复合函数的值域或最值［例2］求在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解析]因为2≤x≤4，所以即设则－2≤t≤－1，所以y＝t2－错误!t＋5，其图像的对称轴为直线t＝错误!，所以当t＝－2时，y max＝10；当t＝－1时，y min＝错误!.方法技巧（1)这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题．(2）注意换元时新元的范围．跟踪探究2。
2018-2019学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数与指数函数课时作业1 北师大
3.2 指数与指数函数基础巩固组1.化简(x>0,y>0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y2.(2017湖南长沙模拟)下列函数的值域为(0,+∞)的是??()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=3.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图像经过点(2,1),则f(x)的值域为()A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)4.(2017河南南阳一模)已知x>0,且1<b x<a x,则()A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是??()A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>07.下列说法中,正确的是()①任取x∈R,都有3x>2x;②当a>1时,任取x∈R都有a x>a-x;③y=()-x是增加的;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=2-x的图像关于y轴对称.A.①②④B.④⑤C.②③④D.①⑤8.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)>0}=()A.{x|x<-3或x>5}B.{x|x<1或x>5}C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2017四川资阳调研)已知f(x)=,若f(x)的图像关于直线x=1对称的图像对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为.10.函数y=+1在[-3,2]上的值域是.11.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)内是增加的,则实数m的最小值等于.12.(2017江西南昌模拟)已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上是减少的,则m的取值范围为.综合提升组13.(2017河北衡水中学调研,理4)已知f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数14.(2017辽宁大连一模,理12)已知定义在R上的函数f(x)=e x+mx2-m(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.D.(1,+∞)15.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2017广东佛山模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是??()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<217.(2017河北邯郸一模)已知f(x)=e x,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0成立,则m的最小值为.参考答案课时规范练8指数与指数函数1.A原式=(26x12y6=2x2|y|=2x2y.2.B∵1-x∈R,y=的值域是(0,+∞),∴y=的值域是(0,+∞).3.C由f(x)的图像过定点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增加的,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故选C.4.C∵x>0,1<b x<a x,∴b>1,a>1.∵b x<a x,∴>1,∴>1,即a>b,故选C.5.A由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40.6,即b>c.又因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.6.D因为2x+3y>2-y+3-x,所以2x-3-x>2-y-3y.令f(x)=2x-3-x,因为f(x)=2x-3-x=2x-为增加的,f(x)>f(-y),所以x>-y,即x+y>0.7.B①中令x=-1,则3-1<2-1,故①错;②中当x<0时,a x<a-x,故②错;③中y=()-x=,由0<<1,知y=为减少的,故③错;④中当x=0时,y取最小值1,故④正确;⑤由函数图像变换,可知y=2x与y=2-x的图像关于y轴对称,故⑤正确.8.B∵f(2)=0,∴f(x-3)>0等价于f(|x-3|)>0=f(2).∵f(x)=2x-4在[0,+∞)内为增加的,∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.9.g(x)=3x-2设g(x)上任意一点P(x,y),则点P(x,y)关于x=1的对称点P'(2-x,y)在f(x)=的图像上,∴f(2-x)==3x-2=g(x).10.令t=,由x∈[-3,2],得t∈.则y=t2-t+1=.当t=时,y min=;当t=8时,y max=57.故所求函数的值域为.11.1因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以a=1.函数f(x)=2|x-1|的图像如图所示.因为函数f(x)在[m,+∞)内是增加的,所以m≥1.故实数m的最小值为1.12.m≤-18设t=3x,则y=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈.又因为y=9x+m·3x-3在[-2,2]上递减,t=3x在[-2,2]上是增加的,所以y=t2+mt-3在上是减少的.得-≥9,解得m≤-18.13.A∵h(x)=f(x)+g(x)=,h(-x)==h(x),∴h(x)=f(x)+g(x)是偶函数,易知h(x)=f(x)g(x)无奇偶性,故选A.14.D由题意,得f(x1)-f(x2)>f(1)-f(0)恒成立.∵x1+x2=1,∴f(x1)-f(1-x1)>f(1)-f(1-1)恒成立.设g(x)=f(x)-f(1-x),∵f(x)=e x+mx2-m(m>0),∴g(x)=e x-e1-x+m(2x-1),则g'(x)=e x+e1-x+2m>0,∴g(x)在R上是增加的.∵不等式g(x1)>g(1),∴x1>1,故选D.15.(1,+∞)令a x-x-a=0,即a x=x+a.当0<a<1时,显然y=a x与y=x+a的图像只有一个公共点;当a>1时,y=a x 与y=x+a的图像有如图所示的两个公共点.16.D作出函数f(x)=|2x-1|的图像如图所示.∵a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图像知0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2a<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)<1,∴0<c<1.∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1.∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.17.1由f(x)=g(x)-h(x),即e x=g(x)-h(x),①∴e-x=g(-x)-h(-x).∵g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,∴e-x=g(x)+h(x),②联立①②,解得g(x)=(e x+e-x),h(x)=(e-x-e x).∵mg(x)+h(x)≥0,∴m(e x+e-x)+(e-x-e x)≥0,也即m≥=1-.∵1-<1,∴m≥1.故m的最小值为1.。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质课时作业1北师大版必修1(2021年整理)
指数扩充及其运算性质基础巩固一、选择题1．若有意义,则x的取值范围是（）A．x∈R B．x≠错误!C．x>错误!D．x〈错误!［答案］D［解析] ＝错误!,要使有意义，则需1－2x〉0,即x<错误!。
2．以下化简结果错误的是（)[答案］D［解析]故选项D错误．A．5 B．23 C．25 D．27［答案]B［解析] 错误!＝x＋错误!＝x＋x－1故选B。
4．要使错误!＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是( ）A．a≥2 B．2≤a〈4或a>4C．a≠2 D．a≠4[答案]B[解析］要使原式有意义，需满足：错误!,解得2≤a〈4或a>4.[答案］A[解析］6．(错误!)4·（错误!）4的结果是（）A．a16B．a8C．a4D．a2[答案]C［解析］(错误!）4·（错误!）4＝)4·（错误!）4二、填空题7．（2012·临淄高一检测）0。
25×(－错误!)－4－4÷20－＝________.[分析］本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质,运用法则即可求解．[答案]－4［解析]＝14×（错误!)－4－4－＝4－4－4＝－4.8．（2012·郑州模拟）设函数f1（x）＝x错误!，f2(x)＝x－1，f3（x）＝x2，则f1(f2(f3(2012)))＝________.[答案］错误!［解析］f1（f2(f3(2012)）)＝f1(f2(20122))＝f1((20122)－1)＝((20122)－1)12＝2012－1＝错误!。
三、解答题9．（1）已知错误!＋b＝1，求错误!的值．[解析］(1)错误!＝错误!＝32a＋b÷3错误!∵错误!a＋b＝1，∴错误!＝3.能力提升一、选择题[答案]A[解析] 利用平方差公式易求选A。
2．下列结论中正确的个数是( ）A．0 B．1C．2 D．3［答案］B［解析］取a＝－2，可验证①不正确；当a〈0，n为奇数时，②不正确;y＝(x－2）错误!－(3x－7)0的定义域应是［2，错误!)∪（错误!,＋∞),③不正确；④由100a＝5得102a＝5。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.2指数运算的性质课时作业2北师大版必修1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.2 指数运算的性质课时作业2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.2 指数运算的性质课时作业2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.2 指数运算的性质课时作业2 北师大版必修1的全部内容。
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2.2指数运算的性质一、选择题1．如果x>y>0,则错误!等于( ）A．(x－y)yx B．（x－y）错误!C．（xy)y－x D．（错误!)x－y[答案］C[解析]原式＝x y－x·y x－y＝（xy)y－x.2．已知m>0，则m错误!·m错误!＝（)A．m B．m错误!C．1 D．m错误![答案］A[解析]由于m〉0，所以m错误!·m错误!＝m错误!＋错误!＝m1＝m。
3．若a>0,n、m为实数，则下列各式中正确的是（）A．a m÷a n＝a错误!B．a n·a m＝a m·nC．(a n)m＝a m＋n D．1÷a n＝a0－n［答案]D[解析]由指数幂的运算法则知1÷a n＝a0÷a n＝a0－n正确．故选D. 4．计算(－错误!）0＋(错误!)－错误!＋错误!的结果为( )A．π－5 B．π－1C．πD．6－π[答案］C[解析］原式＝1＋错误!＋π－3＝π。
5．化简错误!·错误!的结果是( )A.5，－a2B．－错误!C。
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第2课时 习题课——指数函数及其性质学习目标 1.掌握指数形式的函数的单调性、奇偶性的判断与证明(重点)；2.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式(重、难点)．1．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析 先由函数y ＝0.8x判断两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．答案 D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 原式等价于2a ＋1>3－2a ，解得a >12．答案 B3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析 定义域为R .设u ＝1－x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u．∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A ．答案 A 4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴f (x )为R 上的减函数，∴由f (m )>f (n )可知m <n .故填m <n ． 答案 m <n题型一 利用指数型函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组中两个值的大小． (1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1.2,0.6－1.5；(3)2.3－0.28，0.67－3.1．解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y ＝1.7x，则函数y ＝1.7x 在R 上是增函数．又2.5<3，所以1.72.5<1.73．(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y ＝0.6x，则函数y＝0.6x在R 上是减函数．因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5．(3)(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3－0.28<2.30＝1， 0．67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1．规律方法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调来判断．(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图像的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较．(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．【训练1】 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－23 ，2－35 ；(3)3－x,0.5－x(－1<x <0)．解 (1)由指数函数的性质知，y ＝0.8x是R 上的减函数，－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2．(2)由指数函数的性质知⎝ ⎛⎭⎪⎫13－23 >1,0<2－35 <1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－23 >2－35 ． (3)∵－1<x <0，∴0<－x <1.而3>1，因此有3－x>1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x<1， ∴3－x>0.5－x(－1<x <0)．题型二 利用指数型函数的单调性解不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<ax ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．解 (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0． 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0， 根据相应二次函数的图像可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0， 根据相应二次函数的图像可得－1<x <5． 综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5； 当a >1时，－1<x <5．规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af (x )>ag (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af (x )>ag (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，a >1，f xg x ，0<a <1.【训练2】 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．(2)设0<a <1，关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋7>a2x 2＋2x －3的解集是________．解析 (1)由4x<42－3x，得x <2－3x ，即x <12，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12．(2)因为0<a <1，所以y ＝a x在R 上是减函数． 又a2x 2－3x ＋7>a2x 2＋2x －3，所以2x 2－3x ＋7<2x 2＋2x －3，解得x >2．所以不等式的解集是{x |x >2}．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12 (2){x |x >2}题型三 指数型函数的单调性【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 2－2x 的单调性，并求其值域．解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 规律方法 指数型复合函数y ＝af (x )(a >0，a ≠1)的单调性(1)复合函数y ＝f (g (x ))的单调性：当y ＝f (x )与u ＝g (x )有相同的单调性时，函数y ＝f (g (x ))单调递增，当y ＝f (x )与u ＝g (x )的单调性相反时，函数y ＝f (g (x ))单调递减，简称为同增异减．(2)当a >1时，函数y ＝af (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．【训练3】 求函数y ＝2－x 2＋2x的单调区间．解 函数y ＝2－x 2＋2x的定义域是R ．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u．当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u是增函数， 所以函数y ＝2－x 2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u是增函数， 所以函数y ＝2－x 2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].方向1 指数型复合函数的奇偶性【例4－1】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3．(1)求f (x )的定义域． (2)讨论f (x )的奇偶性． (3)证明：f (x )>0．(1)解 由题意得2x－1≠0，即x ≠0， ∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解 令g (x )＝12x －1＋12＝2x＋1x －，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，φ(x )＝x 3其定义域为(－∞，＋∞)．∵g (－x )＝2－x＋1－x －＝1＋2x－2x＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数． 又∵φ(x )＝x 3为奇函数， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3为偶函数．(3)证明 当x >0时，2x>1， ∴2x－1>0． ∵x 3>0， ∴f (x )>0．由偶函数的图像关于y 轴对称知，当x <0时，f (x )>0也成立．故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )>0．方向2 利用指数函数的图像求参数的取值范围【例4－2】 已知函数y ＝a x＋b 的图像经过第一、三、四象限，试确定a ，b 的取值范围．解如图，当x ＝0时，y <0， ∴a 0＋b <0，∴b <－1，显然a >1． 故a ∈(1，＋∞)，b ∈(－∞，－1)． 方向3 有关指数函数的创新应用【例4－3】 如果函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C ．(1，3)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 f (x )＝a x(a x－3a 2－1) ＝(a x )2－(3a 2＋1)a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －3a 2＋122－a 2＋24．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a x≥1，则有3a 2＋12≤1，此时a不存在；当0<a <1时，0<a x≤1，则有3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，∴33≤a <1.故选B ． 答案 B方向4 指数型函数的实际应用【例4－4】 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (单位：毫克)与时间t (单位：时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (单位：毫克)与时间t (单位：时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析 (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫110，1.所以当0≤t ≤110时，函数关系式为y ＝10t .因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 的图像上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116110 －a ＝1，所以110－a ＝0，解得a ＝110.当t >110时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110 ．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116 t －110 ≤0.25＝14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11612 ，得t －110≥12，解得t ≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116 t －110，t >110(2)0.6规律方法 1.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)正确利用变形技巧：耐心分析f (x )和f (－x )的关系，必要时可利用f (x )±f (－x )＝0判定．(3)巧用图像的特征：在解答有图像信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称，进行快速判定．2．由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况．3．指数型函数y ＝k ·a x(k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)模型问题(1)设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x(x ∈N *)．(2)形如y ＝ka x(k ∈R ，且k ≠0，a >0，且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一类非常有用的函数模型．课堂达标1．若a ＝0.512 ，b ＝0.513 ，c ＝0.514 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析 因为y ＝0.5x在R 上是减函数，所以0.512 <0.513 <0.514 ，即a <b <c ． 答案 B 2．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析 不等式2x ＋1<1＝20，因为y ＝2x是R 上的增函数，所以x ＋1<0，即x <－1．答案 D3．设0<a <1，则关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2>a 2x 2＋2x －3的解集为________．解析 因为0<a <1，所以a2x 2－3x ＋2>a2x 2＋2x －3⇔2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3，⇔5x >5⇔x >1． 答案 (1，＋∞) 4．比较大小：π－43 ____⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－43 ． 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－43 ＝π43 ，所以π－43 <π43 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－43 ．答案 < 5．已知4a＝2a ＋2，解不等式a 2x ＋1>ax －1．解 因为4a ＝2a ＋2，即22a＝2a ＋2，所以2a ＝a ＋2，故a ＝2， 因此a2x ＋1>ax －1⇔22x ＋1>2x －1，⇔2x ＋1>x －1⇔x >－2，所以原不等式的解集为(－2，＋∞)．课堂小结1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数型函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n ．2．指数型函数单调性的应用 (1)形如y ＝af (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝af (x )在[m ，n ]上是减函数．(2)形如a x>a y的不等式，当a >1时，a x>a y⇔x >y ；当0<a <1时，a x>a y⇔x <y ．。