高考数学备考优生百日闯关系列专题4.3新题强化训练解析版Word版含解

专题四 高端试题强化训练第三关
一、选择题
1．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42
()1() 1 (1)4
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若
关于x 的方程2
[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．59(,)24--
B ．9(,1)4--
C ．599(,)(,1)244---- D
．5
(,1)2
-- 【答案】C
【解析】
由韦达定理可得a x x -=+21， 若451,4521<<=
x x ，则2549<-<a ，即4
9
25-<<-a ；
若451,1021<<≤<x x ，则491<-<a ，即14
9
-<<-a ； 从而可知4925-<<-a 或14
9
-<<-a ；
故选C ．
2．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球12,O O ，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切,则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是（ ）
【答案】B
【解析】
3．已知点12,F F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直
线与双曲线交于,M N 两点，若110MF NF ⋅>，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．1)
B ．1)
C ．
D ．)+∞ 【答案】B
【解析】由题意可知，设()()12,0,,0F c F c -，22,
,,b b M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以212,,b MF c a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭ 212,b NF c a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，所以()422
4222222112404040b MF NF c b a c c a a c a ⋅=->∴-<∴--<，两
边同时除以4a 得()
2
22
140e e ∴--<，又因为e
为双曲线的离心率，所以1)e ∈，故选B ．
4．若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别是a a n n 2014
)1(+-=，n
b n n 2015
)1(2+-+=，且n n b a <对任
意*∈N n 恒成立，则则实数a 的取值范围是
A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-211，
B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-212，
C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-232，
D ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-231， 【答案】C
【解析】由题n n b a <对任意*∈N n 恒成立，当n 为偶数时，可得11322;22
a n <-<-=当n 为
奇数时，可得11222a a a n n ⎛⎫-<+∴>-+∴≥- ⎪⎝⎭即322
a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
， 5．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2
e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．),[+∞e
B ．),2[2+∞e
C ．),2
[22e e D ．),[2
+∞e
【答案】B
【解析】
6．对满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-+≥+0,04,01y x y x x 的任意实数x ，y ，x y x z 42
2-+=的最小值是 （ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．6 【答案】A
【解析】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，x y x z 42
2
-+=2
2
(2)4x y =-+-，表示区域内的点与点(2,0)的距离的平方减4，根据图形，可以判断出由点向直线0x y -=做垂线，垂足的位置取得最值，根据点到直线的距离公式可以求得点(2,0)到直线0x y -=
，所以最小值为242z =-=-，故选A ．
7. 已知点P 为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，且
2
12,b F F I a
=为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为（ ）
A
B
．1 C
1 D
1 【答案】D 【解析】
8．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆22
:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记
APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )
B.1920
C.910
D.12
【答案】C 【解析】
试题分析：因为OP AP ⊥，所以在
Rt AOP ∆中1
sin
2
r OP OP
α
=
=
，22
2cos 12sin 1OP αα=-=-
，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而函数cos y α=在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数，所以
当α最小时221OP -最大，因为2
21OP -为增函数则此时OP 最大。

根据不等式表示的可行域可知当
()
4,2P -时
max OP ==。

综上可
得
α
最小时
(
)
max 2
2
19
(cos )111010
α=-
=-
=。

故C 正确。

二、填空题
9．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=6
+
6θ
cos θsin
.
【答案】-1
【解析】
10．设λ>0，不等式组2020x x y x y λλ≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：
①当λ＝1时，W 的面积为3；
②∃λ>0，使W 是直角三角形区域； ③设点P(x ，y)，对于∀P ∈W 有x ＋
y
λ
≤4. 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①③
【解析】当λ＝1时，不等式组变成2020x x y x y ≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
其表示由三个点(0,0)，(2,2)，(2，－1)围成的
三角形区域，易得W 的面积为3，①正确；∵直线λx －y ＝0的斜率为λ，直线x ＋2λy ＝0的斜率为－
12λ，λ×(－12λ)＝－12
≠－1，且直线x ＝2垂直于x 轴，∴W 不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等式组2
020x x y x y λλ≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
表示的区域是由三个点(0,0)，(2,2λ)，(2，－)所围
成的三角形区域，令z ＝x ＋y λ，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－21λ，∴z ＝x ＋y
λ
的最大值
z max ＝4，③正确． 11．已知点)2
1
,21(-
A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧， O 是坐标原点，若=3OM ON ⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．
【答案】
2
【解析】
三、解答题
12．如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，
平面D PA ⊥
底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1
C D 12
B =
A =，CD =．
（1）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；
（2）若M 为棱C P 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角Q C M -B -大小为30，求Q M 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）77
2
；
（3）439． 【解析】
（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC 的法向量为(001)n =，，，
由C 、M 、P 三点共线得(1)QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤， 从而有(1))QM λλ=--，
又(00)QB =，设平面MBQ 法向量为()m x y z =，，， 由00m QM m QB ⋅=⋅=及可取130m λλ-⎛
⎫= ⎪⎭
，，．
∵二面角M −BQ −C 为30°，∴3cos302||||n m n m ︒=
=，∴1
4λ=，∴||QM =． 13．如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0
,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点（A 在下，B 在上）
（1）写出抛物线2C 的标准方程； （2）若2
1
=
，求直线l 的方程； （3）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1
C 的长轴长的最小值．
【答案】（1）24y x =（2
）
280x -=（3【解析】
122
2
12121644160442y y y x y my y y m x my y y
=-⎧⎧=⎪∴
--=∴+=
⎨⎨=+⎩⎪-=⎩
12y y ∴
=-= 2
m ∴=
:280l x ∴--=
14．已知函数()2
ln f x a x x bx =++（a 为实常数）．
（Ⅰ）若()2,3a b f x =-=-，求的单调区间；
（Ⅱ）若202b a e =>-，且，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值； （Ⅲ）设0b =，若存在[]1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）单调增区间为(2,)+∞，单调减区间为(0,2)；（Ⅱ）当2a ≥-，1x =时，最小值为
1；当22 2 e a -<<-，x =
ln()222
a a a
--； （Ⅲ）[1,)-+∞． 【解析】（Ⅰ）2,3a b =-=-时，2
()2ln 3f x x x x =-+-，
定义域为(0,)+∞，22232(2)(21)
()23x x x x f x x x x x
---+'=-+-==
在(0,)+∞上，(2)0f '=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '> 所以，函数()f x 的单调增区间为(2,)+∞；单调减区间为(0,2)
（Ⅲ）0b =，2
()ln f x a x x =+
不等式()(2)f x a x ≤+，即2
ln (2)a x x a x +≤+可化为2
(ln )2a x x x x -≥-． 因为[1,]x e ∈， 所以ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，
所以ln x x <，即ln 0x x ->，因而22ln x x
a x x -≥-（[1,]x e ∈）
令22()ln x x g x x x -=-（[1,]x e ∈），又2
(1)(22ln )
()(ln )x x x g x x x -+-'=-，
当[1,]x e ∈时，10,ln 1x x -≥≤，22ln 0x x +->，
从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以)(x g 在[1,]e 上为增函数， 故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞
11。