北师大版高中数学选择性必修第一册 第二章 3.2 抛物线的简单几何性质

正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射
出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,
这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?
知识点拨
抛物线的简单几何性质
名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的
形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 ∵P(x0,y0)在抛物线 y2=4x 上,∴02 =4x0,
2
则点 P 与点(5,0)的距离 d= (0 -5) + 02 =
02 -100 + 25 + 40 =
(0 -3)2 + 16.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
变式训练3(2020吉林长春实验中学高二检测)如果P1,P2,…,Pn是抛物线
C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若
x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=(
A.n+10
B.n+20
C.2n+10
D.2n+20
)
答案 A
2
1
将点 M(1,-2)的坐标代入,得 n=-2,
1
∴x =-2y.
2
1
故所求抛物线的标准方程为 y =4x 或 x =-2y.
2
2
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次
项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
提示 抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为
定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有
对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲
线.
课堂篇 探究学习
探究一
已知抛物线的标准方程,研究抛物线的几何性质
例1若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为
第二章
3.2 抛物线的简单几何性质
内
容
索பைடு நூலகம்
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
核心素养
1.了解抛物线的简单几何性
质.(数学抽象)
2.能运用抛物线的几何性质
解决相关问题.(数学运算)
3.掌握直线与抛物线的位置
关系,并会用方程思想解决此
类问题.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,
则此抛物线方程为x2=4y.
若抛物线的焦点是B(-2,0),
则此抛物线方程为y2=-8x.
故所求的抛物线的方程为x2=4y或y2=-8x.
探究三
抛物线的焦半径公式
例3已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点
的距离为5,求m的值、抛物线的标准方程和准线方程.
解 (方法一)∵点M(m,-3)在抛物线上,抛物线焦点在y轴上,
2



由|MF|=-yM+2=3+2,∴3+2=5,∴p=4.∴抛物线的方程为 x2=-8y,准线方程为
y=2.
由 m2=-8×(-3)=24,得 m=±2√6.
反思感悟 (1)设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),根据点M在抛物线上及
条件|MF|=5,建立方程组求解.(2)已知|MF|=5,可用焦半径公式求解.
解 如图,以拱桥的拱顶为原点,分别以过拱顶且平行于
水面和垂直于水面的直线为x轴和y轴,建立平面直角坐
标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
8
16
2
由题意可知,点 B(4,-5)在抛物线上,故 p= ,得 x =- y.当船面两侧和抛物线接
5
5
16
5
触时,船开始不能通航,设此时船面宽为 AA',则 A(2,yA),由 2 =- 5 yA,得 yA=-4.
2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终
与对称轴垂直.
微判断
(1)抛物线关于顶点对称.( × )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( √ )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( √ )
微思考
抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?
2
又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m,
所以h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时,
小船开始不能通航.
当堂检测
1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物
线的顶点在坐标原点,则其标准方程为(
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
)
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,AB是斜边,
所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x
轴的夹角为45°.
= ,
= 2,
= 0,
联立方程组 2
得
或
= 2,
=0
= 2,
不妨设A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,-2p),
解 抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为
(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
探究二
抛物线的几何性质的应用
例2(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶
点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(
A.8p2
B.4p2 C.2p2 D.p2
解析 |P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+x2+…+xn+ =n+10.
2
素养形成
抛物线的实际应用问题
典例河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船
宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问:水面上涨到与抛物
线形拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
D.x2=8y或x2=-8y
)
答案 C
解析 ∵抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴,
∴其方程为y2=8x或y2=-8x.
2.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准
方程是(
A.x2=±3y
B.y2=±6x
C.x2=±12y
D.x2=±6y
答案 C
)
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长
为2p;离心率恒等于1.
变式训练2求顶点在原点,对称轴是坐标轴,焦点在直线x-2y+2=0上的抛物
线的标准方程.
解 ∵焦点在直线x-2y+2=0上,且抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,
∴焦点的坐标为A(0,1)或B(-2,0),若抛物线的焦点是A(0,1),
反思感悟 由两点间的距离公式写出点P与点(5,0)的距离,利用配方法求其
最小值,从而可得点P的横坐标x0.
解答本题充分利用了抛物线的范围这一性质,在求有关抛物线的最值时一
定要注意抛物线的范围这一条件的应用.
变式训练1已知抛物线y2=8x,求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对
称轴、变量x的范围.
所以|AB|=4p,所以S△AOB=
1
2
×4p×2p=4p2.
(2)已知抛物线的对称轴在坐标轴上,以原点为顶点,且经过点M(1,-2),求抛
物线的标准方程.
解 ①当抛物线的焦点在x轴上时,设其标准方程为y2=mx(m≠0).
将点M(1,-2)的坐标代入,得m=4,∴y2=4x.
②当抛物线的焦点在y轴上时,设其标准方程为x2=ny(n≠0).
9 16
抛物线的焦点到顶点的距离为5,求抛物线的方程.
解 由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
则设抛物线的方程为y2=mx(m≠0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,

∴ 4 =5,∴m=±20.
故所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
本 课 结 束

∴设所求抛物线方程为 x =-2py(p>0),则焦点为 F(0,-2).又|MF|=5,故
2
2 = 6,
2
2
+ (-3 + 2) = 5,
> 0,
= 4,
解得
= ±2√6.
∴抛物线的方程为x2=-8y,准线方程为y=2.


(方法二)设抛物线的方程为 x =-2py(p>0),则焦点为 F(0,-2),准线为 l,y=2.
4.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(4,-8),则它
的标准方程为
.
答案 y2=16x
解析 由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).∵点M在抛物线上,
∴(-8)2=2p×4,解得p=8.
故所求抛物线的标准方程为y2=16x.
2 2
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 + =1短轴所在的直线,
3
A.
4
4
B.
3
2
C.
3
答案 B
解析 设P(x,-x2)为抛物线上任一点,
则点P到直线4x+3y-8=0的距离
|4+3(-2 )-8|
d=
42 +32
2
1
1
2
20
2
= 5|-3x +4x-8|=5 3 - 3 + 3 ,
2
1 20 4
故当 x= 时,d 取最小值,为 ×
= .
3
5
3
3
3
D.
2
)