高考数学一轮复习重难专攻(二)不等式的证明问题课件

适当放缩法
｜解题技法｜ 导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对
于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数 进行证明.常见的放缩公式如下：（1）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； （2）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
重难专攻（二） 不等式的证明问题
作差构造法
｜解题技法｜ 1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或 “右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 2.利用作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数g（x）； （3）利用导数研究g（x）的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式.
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构造双函数法
｜解题技法｜ 【注意】同时为0与不能同时为0的不等式的区别
若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函 数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.
⁠Байду номын сангаас
已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.
所以h（x）＞h（e）＝g（e）－g（e）＝0，从而必有g（x2）＞g（2e－x1）. 即x1＋x2＞2e.
THANK . YOU
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（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时，f（x）≤x－1.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
5.设函数f（x）＝ln（a－x）－x＋e. （1）求函数f（x）的单调区间；
6.已知函数f（x）＝xln x. （1）判断f（x）的单调性；
（2）设方程f（x）－2x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，求证：x1＋x2＞2e. 解：（2）证明：令g（x）＝f（x）－2x＋1，则g'（x）＝ln x－1， 令g'（x）＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，g'（x）＜0，当x＞e时，g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增， 又g（e）＝1－e＜0，所以不妨设0＜x1＜e＜x2. 要证x1＋x2＞2e，即证x2＞2e－x1，即证g（x2）＞g（2e－x1）. 因为g（x2）＝g（x1），所以即证g（x1）＞g（2e－x1）. 令h（x）＝g（x）－g（2e－x），x∈（0，e）， 则h'（x）＝ln x－2＋ln（2e－x）＝ln（2ex－x2）－2＝ln[－（x－e）2＋e2]－2 ＜0， 所以h（x）在（0，e）上单调递减，