高中数学：直线、平面平行的判定及其性质 (31)
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探究 3 关于截面问题，首先要确定截面的形ห้องสมุดไป่ตู้，再作出截 面．
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思考题 3 把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如右 图，其中 B1C1＝A1C1＝2，M 为 A1B1 的中点，试作出过 B1 且与 平面 AMC1 平行的截面，并计算该截面面积．
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【解析】 取 AB 中点 N，连接 B1N 和 NC，CB1，则截面 B1NC 即为所求，截面面积为 3.
2.2.4 平面与平面平行的性质
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要点 面面平行的性质 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行．
(2)图形表示： (3)符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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如果两个平面平行，那么位于其中一个平面内的任一条直线 必平行于另一个平面吗？
答：平行．
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题型三 截面问题 例 3 如右图所示，在棱长为 2 cm 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，问过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面也是三角形吗？并 求该截面的面积．
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【解析】 取 AB 的中点 M，取 C1D1 的中点 N，
连接 A1M，A1N，CM，CN. 由于 A1N 綊 PC1 綊 MC，则四边形 A1MCN
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【解析】 直线 a，b 的位置关系是平行．证 明如下：连接 DD′.
∵平面 ABC∥平面 A′B′C′，平面 A′D′B∩平面 ABC＝a，平面 A′D′B∩平面 A′B′C′＝A′D′， ∴A′D′∥a，同理可证 AD∥b.
又 D 是 BC 的中点，D′是 B′C′的中点，∴DD′綊 BB′，
又 BB′綊 AA′，∴DD′綊 AA′，∴四边形 AA′D′D 为平行四 边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.
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题型二 证线面平行 例 2 (2015·天津，改编)如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．求证：MN∥平面 ABCD.
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探究 2 证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以 外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面 平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线 面平行．
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思考题 2 已知 AB，CD 为夹在两个平行平面 α，β之间 的线段，M，N 分别为 AB，CD 的中点．求证：MN∥平面 α.
是平行四边形． 由于 A1N∥PC1，A1N⊄平面 PBC1，PC1⊂平面 PBC1，则 A1N
∥平面 PBC1.
第16页
同理，A1M∥平面 PBC1. 又 A1N∩A1M＝A1，于是，平面 A1MCN∥平面 PBC1. 过 A1 点有且仅有一个平面与平面 PBC1 平行，故过点 A1 作 与截面 PBC1 平行的截面是平行四边形 A1MCN，容易求得 S▱ A1MCN＝2 6 cm2.
∵AE∥CD，∴AE，CD 确定平面 AEDC. 设平面 AEDC 与 α，β的交线为 ED，AC. ∵α∥β，∴AC∥ED.(AC，ED 共面无公共点) 又∵P，N 分别为 AE，CD 中点，∴PN∥ED，∴PN∥α. 同理 MP∥面 α，又∵MP∩PN＝P， ∴面 MPN∥面 α，∴MN∥面 α.
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授人以渔
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题型一 证线线平行 例 1 如图，平面四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 均 在平行四边形 A′B′C′D′所确定的一个平面 α 外，且 AA′，BB′， CC′，DD′互相平行．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
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【证明】 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′， 因为 A′B′⊄平面 C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC， 所以 A′B′∥平面 C′D′DC. 同理 A′A∥平面 C′D′DC. 又 A′A∩A′B′＝A′，所以平面 A′B′BA∥平面 C′D′DC. 因为平面 ABCD∩平面 A′B′BA＝AB， 平面 ABCD∩平面 C′D′DC＝CD，所以 AB∥CD. 同理 AD∥BC. 所以四边形 ABCD 是平行四边形．
【思路分析】 分 AB，CD 是否共面两种情况讨论． 【证明】 (1)若 AB，CD 在同一平面内，则平面 ABCD 与 α， β的交线为 AC，BD. ∵α∥β，∴AC∥BD. 又∵M，N 分别为 AB，CD 中点，∴MN∥BD. 又∵BD⊂平面 α，∴MN∥平面 α.
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(2) 若 AB，CD 既不平行也不相交，如图所示， 过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连接 MP， PN，BE，ED.
第6页
探究 1 面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平 行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线， 所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面， 有时需要添加辅助面．
第7页
思考题 1 如图所示，已知三棱柱 ABC－ A′B′C′中，D 是 BC 的中点，D′是 B′C′的中点， 设平面 A′D′B∩平面 ABC＝a，平面 ADC′∩平面 A ′B′C′＝b，判断直线 a，b 的位置关系，并证 明．
【证明】 设 E 为棱 CC1 的中点， 连接 NE，ME. ∵M，N 分别为 B1C，DD1 的中点， ∴ME∥C1B1∥CB，NE∥CD， 又 CB⊂平面 ABCD，ME⊄平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， NE⊄平面 ABCD，∴ME∥平面 ABCD，NE∥平面 ABCD. 又 ME∩NE＝E，∴平面 MNE∥平面 ABCD. 又 MN⊂平面 MNE，∴MN∥平面 ABCD.
第20页
1．面面平行的其他性质： (1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 面，即 aα⊂∥αβ ⇒a∥β，可用来证明线面平行； (2)夹在两平行平面间的平行线段相等； (3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即 γα∥∥ββ⇒α∥γ.
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(4)一条直线与平行平面中的一个相交，与另一个也相交． 2．证明线线平行的方法： ①定义法；②公理 4；③线面平行性质定理；④面面平行的 性质定理． 3．在寻求线线平行时，初中阶段学过的平行线的判定要充 分利用，如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质 等．
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请做：课时作业（十三）
探究 3 关于截面问题，首先要确定截面的形ห้องสมุดไป่ตู้，再作出截 面．
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思考题 3 把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如右 图，其中 B1C1＝A1C1＝2，M 为 A1B1 的中点，试作出过 B1 且与 平面 AMC1 平行的截面，并计算该截面面积．
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【解析】 取 AB 中点 N，连接 B1N 和 NC，CB1，则截面 B1NC 即为所求，截面面积为 3.
2.2.4 平面与平面平行的性质
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要点 面面平行的性质 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行．
(2)图形表示： (3)符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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如果两个平面平行，那么位于其中一个平面内的任一条直线 必平行于另一个平面吗？
答：平行．
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题型三 截面问题 例 3 如右图所示，在棱长为 2 cm 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，问过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面也是三角形吗？并 求该截面的面积．
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【解析】 取 AB 的中点 M，取 C1D1 的中点 N，
连接 A1M，A1N，CM，CN. 由于 A1N 綊 PC1 綊 MC，则四边形 A1MCN
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【解析】 直线 a，b 的位置关系是平行．证 明如下：连接 DD′.
∵平面 ABC∥平面 A′B′C′，平面 A′D′B∩平面 ABC＝a，平面 A′D′B∩平面 A′B′C′＝A′D′， ∴A′D′∥a，同理可证 AD∥b.
又 D 是 BC 的中点，D′是 B′C′的中点，∴DD′綊 BB′，
又 BB′綊 AA′，∴DD′綊 AA′，∴四边形 AA′D′D 为平行四 边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.
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题型二 证线面平行 例 2 (2015·天津，改编)如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．求证：MN∥平面 ABCD.
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探究 2 证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以 外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面 平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线 面平行．
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思考题 2 已知 AB，CD 为夹在两个平行平面 α，β之间 的线段，M，N 分别为 AB，CD 的中点．求证：MN∥平面 α.
是平行四边形． 由于 A1N∥PC1，A1N⊄平面 PBC1，PC1⊂平面 PBC1，则 A1N
∥平面 PBC1.
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同理，A1M∥平面 PBC1. 又 A1N∩A1M＝A1，于是，平面 A1MCN∥平面 PBC1. 过 A1 点有且仅有一个平面与平面 PBC1 平行，故过点 A1 作 与截面 PBC1 平行的截面是平行四边形 A1MCN，容易求得 S▱ A1MCN＝2 6 cm2.
∵AE∥CD，∴AE，CD 确定平面 AEDC. 设平面 AEDC 与 α，β的交线为 ED，AC. ∵α∥β，∴AC∥ED.(AC，ED 共面无公共点) 又∵P，N 分别为 AE，CD 中点，∴PN∥ED，∴PN∥α. 同理 MP∥面 α，又∵MP∩PN＝P， ∴面 MPN∥面 α，∴MN∥面 α.
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授人以渔
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题型一 证线线平行 例 1 如图，平面四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 均 在平行四边形 A′B′C′D′所确定的一个平面 α 外，且 AA′，BB′， CC′，DD′互相平行．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
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【证明】 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′， 因为 A′B′⊄平面 C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC， 所以 A′B′∥平面 C′D′DC. 同理 A′A∥平面 C′D′DC. 又 A′A∩A′B′＝A′，所以平面 A′B′BA∥平面 C′D′DC. 因为平面 ABCD∩平面 A′B′BA＝AB， 平面 ABCD∩平面 C′D′DC＝CD，所以 AB∥CD. 同理 AD∥BC. 所以四边形 ABCD 是平行四边形．
【思路分析】 分 AB，CD 是否共面两种情况讨论． 【证明】 (1)若 AB，CD 在同一平面内，则平面 ABCD 与 α， β的交线为 AC，BD. ∵α∥β，∴AC∥BD. 又∵M，N 分别为 AB，CD 中点，∴MN∥BD. 又∵BD⊂平面 α，∴MN∥平面 α.
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(2) 若 AB，CD 既不平行也不相交，如图所示， 过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连接 MP， PN，BE，ED.
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探究 1 面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平 行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线， 所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面， 有时需要添加辅助面．
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思考题 1 如图所示，已知三棱柱 ABC－ A′B′C′中，D 是 BC 的中点，D′是 B′C′的中点， 设平面 A′D′B∩平面 ABC＝a，平面 ADC′∩平面 A ′B′C′＝b，判断直线 a，b 的位置关系，并证 明．
【证明】 设 E 为棱 CC1 的中点， 连接 NE，ME. ∵M，N 分别为 B1C，DD1 的中点， ∴ME∥C1B1∥CB，NE∥CD， 又 CB⊂平面 ABCD，ME⊄平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， NE⊄平面 ABCD，∴ME∥平面 ABCD，NE∥平面 ABCD. 又 ME∩NE＝E，∴平面 MNE∥平面 ABCD. 又 MN⊂平面 MNE，∴MN∥平面 ABCD.
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1．面面平行的其他性质： (1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 面，即 aα⊂∥αβ ⇒a∥β，可用来证明线面平行； (2)夹在两平行平面间的平行线段相等； (3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)，即 γα∥∥ββ⇒α∥γ.
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(4)一条直线与平行平面中的一个相交，与另一个也相交． 2．证明线线平行的方法： ①定义法；②公理 4；③线面平行性质定理；④面面平行的 性质定理． 3．在寻求线线平行时，初中阶段学过的平行线的判定要充 分利用，如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质 等．
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请做：课时作业（十三）