导数的概念

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一、导数的基本概念 1.平均变化率:
函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1,若Δx =x 2-x 1,Δy =f (x 2)-f (x 1),则平均变化率可表示为Δy
Δx .
2.导数的概念:
(1)函数f (x )在x =x 0处的导数:
①定义:称函数y =f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y =f (x )在点x 0处的导数,用f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)=lim Δx →
f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0
=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)
Δx .
②几何意义:
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数).相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).
(2)函数f (x )的导函数:
一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ): f ′(x )=lim Δx →
f (x +Δx )-f (x )
Δx

则f ′(x )是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导数. 二、基本初等函数的导数公式
三、导数的运算法则
1.[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); 2.[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0).
1.曲线y =x ln x 在点(e ,e)处的切线与直线x +ay =1垂直,则实数a 的值为( ) A .2 B .-2 C.12
D .-12
解析:选A 依题意得y ′=1+ln x ,x =e 时y ′=1+ln e =2,所以-1
a
×2=-1,a =2.
2.(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )=2t 3-1
2gt 2(g =10 m/s 2),则当t =2 s 时,它的加速度是( )
A .14 m/s 2
B .4 m/s 2
C .10 m/s 2
D .-4 m/s 2
解析:选A 由v (t )=s ′(t )=6t 2-gt ,a (t )=v ′(t )=12t -g ,得t =2时,a (2)=v ′(2)=12×2-10=14(m/s 2). 3. (2011·山东高考)曲线y =x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A .-9 B .-3 C .9
D .15
解析:y ′=3x 2,故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y -12=3(x -1),令x =0得y =9. 变式:曲线y =x 3+11,求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程. 解:因点P 不在曲线上,设切点的坐标为(x 0,y 0), 由y =x 3
+11,得y ′=3x
2
,∴k =3x 2
0.
又∵k =y 0-13x 0-0
,∴x 30+11-13
x 0=3x 20. ∴x 3
0=-1,即x 0=-1.∴k =3,y 0=10.∴所求切线方程为y -10=3(x +1),即3x -y +13=0.
注意:曲线y =f (x )“在点P (x 0,y 0)处的切线”与“过点P (x 0,y 0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,切线斜率为k =f ′(x 0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y =f (x )过点P (x 0,y 0)的切线,是指切线经过P 点.点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
巩固练习:已知函数f (x )=x 3-3x 及y =f (x )上一点P (1,-2),过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y =f (x )相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线l 和y =f (x )相切且切点异于P 的直线方程.
解:(1)由f (x )=x 3-3x 得f ′(x )=3x 2-3,过点P 且以P (1,-2)为切点的直线的斜率f ′(1)=0, 故所求的直线方程为y =-2.
(2)设过P (1,-2)的直线l 与y =f (x )切于另一点(x 0,y 0),则f ′(x 0)=3x 20-3. 又直线过(x 0,y 0),P (1,-2),故其斜率可表示为y 0-(-2)x 0-1=x 30-3x 0+2x 0-1

又x 3
0-3x 0+2x 0-1
=3x 20-3,即x 30-3x 0+2=3(x 20-1)(x 0-1), 解得x 0=1(舍去)或x 0=-12,故所求直线的斜率为k =3⎝⎛⎭⎫14-1=-9
4. 所以y -(-2)=-9
4
(x -1),即9x +4y -1=0.
4.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切
线的斜率为( )
A .-1
4
B .2
C .4
D .-1
2
解析:∵曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,∴g ′(1)=k =2. 又f ′(x )=g ′(x )+2x ,
∴f ′(1)=g ′(1)+2=4,故切线的斜率为4.
5. (2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y =12x +b 与曲线y =-1
2x +ln x 相切,则b 的值为( )
A .-2
B .-1
C .-1
2
D .1
解析:设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ,-12a +ln a ,依题意,对于曲线y =-12x +ln x ,有y ′=-12+1x ,所以-12+1a =12,得a =1.又切点⎝⎛⎭⎫1,-12 在直线y =12x +b 上,故-12=1
2
+b ,得b =-1. 6. (2012·郑州模拟)已知函数f (x )=ln x -f ′(-1)x 2+3x -4,则f ′(1)=________. 解析:∵f ′(x )=1
x -2f ′(-1)x +3,
f ′(-1)=-1+2f ′(-1)+3,∴f ′(-1)=-2,∴f ′(1)=1+4+3=8.
7. 设曲线y =x n +
1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则log 2 013x 1+log 2 013x 2+…+log 2 013x 2 012
的值为________.
解析:y ′=(n +1)x n ,曲线y =x n
+1
在点(1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x -1),所以x n =
n
n +1
.log 2 013x 1+log 2
013x 2+…+log 2 013x 2 012=log 2 013
12×23×…×2 0112 012×2 012
2 013
=-1. 8. (2012·商丘二模)等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,f (x )=x (x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8),f ′(x )为函数f (x )的导函数,则f ′(0)=( )
A .0
B .26
C .29
D .212
解析:选D ∵f (x )=x (x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8),
∴f ′(x )=x ′(x -a 1)…(x -a 8)+x [(x -a 1)…(x -a 8)]′=(x -a 1)…(x -a 8)+x [(x -a 1)…(x -a 8)]′, ∴f ′(0)=(-a 1)·(-a 2)·…·(-a 8)+0=a 1·a 2·…·a 8=(a 1·a 8)4=(2×4)4=(23)4=212.
9.(2012·泰安模拟)若点P 是曲线f (x )=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为( ) A .1 B. 2 C.
2
2
D. 3
解析:选B 设与y =x -2平行的一条直线与曲线y =f (x )相切于点P (x 0,y 0),则f ′(x 0)=2x 0-1
x 0.
由2x 0-1x 0=1,得x 0=1或x 0=-1
2(舍).∴P 点坐标(1,1).
∴P 到直线y =x -2距离为d =|1-1-2|
1+1
= 2.
10.(2012·广州模拟)已知曲线C :f (x )=x 3-ax +a ,若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线,它们的倾斜
角互补,则a 的值为( )
A.278 B .-2 C .2 D .-278 解析:选A 设切点坐标为(t ,t 3-at +a ).由题意知,f ′(x )=3x 2-a , 切线的斜率为k =3t 2-a .①
所以切线方程为y -(t 3-at +a )=(3t 2-a )(x -t ).②
将点(1,0)代入②式得-(t 3-at +a )=(3t 2-a )(1-t ),解得t =0或t =32.
分别将t =0和t =32代入①式,得k =-a 和k =27
4-a ,
由题意得它们互为相反数,得a =
27
8
.
解析:设过(1,0)的直线与y =x 3相切于点(x 0,x 30),所以切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 3
0,又(1,0)
在切线上,则x 0=0或x 0=32

当x 0=0时,由y =0与y =ax 2+
154x -9相切可得a =-2564
, 当x 0=32时,由y =274x -274与y =ax 2+15
4x -9相切可得a =-1.
12. 已知点P 在曲线y =
4
e x
+1
上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,而α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,π4 B.⎝⎛⎭⎫π4,π2 C.⎝⎛⎭⎫π2,3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π
4,π 解析:选D y ′=-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1
.
设t =e x ∈(0,+∞),则y ′=-4t t 2+2t +1.=-4
⎝⎛⎭⎫t +1t +2,
∵t +1
t ≥2. ∴y ′∈[-1,0),α∈⎣⎡⎭⎫3π4,π。

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