导数的概念

一、导数的基本概念 1．平均变化率：
函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy
Δx .
2．导数的概念：
(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数：
①定义：称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →
f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx .
②几何意义：
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(2)函数f (x )的导函数：
一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝lim Δx →
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
，
则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 二、基本初等函数的导数公式
三、导数的运算法则
1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．
1.曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12
D ．－12
解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，x ＝e 时y ′＝1＋ln e ＝2，所以－1
a
×2＝－1，a ＝2.
2．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－1
2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )
A ．14 m/s 2
B ．4 m/s 2
C ．10 m/s 2
D ．－4 m/s 2
解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)． 3. (2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9
D ．15
解析：y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9. 变式：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3
＋11，得y ′＝3x
2
，∴k ＝3x 2
0.
又∵k ＝y 0－13x 0－0
，∴x 30＋11－13
x 0＝3x 20. ∴x 3
0＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.
注意：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
巩固练习：已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．
解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.
(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1
，
又x 3
0－3x 0＋2x 0－1
＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－9
4. 所以y －(－2)＝－9
4
(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
4.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切
线的斜率为( )
A ．－1
4
B ．2
C ．4
D ．－1
2
解析：∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，
∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.
5. (2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1
2x ＋ln x 相切，则b 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．－1
2
D ．1
解析：设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝1
2
＋b ，得b ＝－1. 6. (2012·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1
x －2f ′(－1)x ＋3，
f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.
7. 设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012
的值为________．
解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线y ＝x n
＋1
在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝
n
n ＋1
.log 2 013x 1＋log 2
013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013
12×23×…×2 0112 012×2 012
2 013
＝－1. 8. (2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )
A ．0
B ．26
C ．29
D ．212
解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，
∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
9．(2012·泰安模拟)若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.
2
2
D. 3
解析：选B 设与y ＝x －2平行的一条直线与曲线y ＝f (x )相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0－1
x 0.
由2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－1
2(舍)．∴P 点坐标(1,1)．
∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|
1＋1
＝ 2.
10.(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜
角互补，则a 的值为( )
A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278 解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝3t 2－a .①
所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②
将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.
分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝27
4－a ，
由题意得它们互为相反数，得a ＝
27
8
.
解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 3
0，又(1,0)
在切线上，则x 0＝0或x 0＝32
，
当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋
154x －9相切可得a ＝－2564
， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15
4x －9相切可得a ＝－1.
12. 已知点P 在曲线y ＝
4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，而α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π
4，π 解析：选D y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1
.
设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1.＝－4
⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2，
∵t ＋1
t ≥2. ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。