三角恒等变换公式总结

例2已知ABC中
cosA
3,sinB 5
5, 13
求 sinC的值
涉及三角形时一定要注意以下常用关系
(1) A BC
(2) sinC sin(A B),cosC cos(A B)
tan(A B) tanC,sin A B cosC ,cosA B sin A
2
2
2
2
(3) A B sinA sinB
cos( ) cos cos sinsin
相除
相除
tan(
)
tan tan 1tan tan
换成-
tan(
)
tan tan 1 tan tan
k ，
2
k ， k ,k Z
2
2
推导过程中用到的主干知识有:单位圆中三角函数的原始定义,两点
间距离公式,诱导公式;主干方法有:赋值法,切化弦,分式齐次化
由| AB |2 | A1B1 |2
整理可得 cos( ) cos cos sin sin
两角差余弦公式的初中几何描述
右图中,设OA=1,请从图中观察 cos(α-β)=?(用含α,β的式子表示, 即用单角表示复合角)
, 为任意角的情形
y
A(cos ,sin )
B(cos ,sin )
角
2cos2 1
公 式
tan2
2tan 1 tan2
k ，2 k
2
2
cos 2 1 2sin2
移项变形
sin 2
1- cos 2
2
cos 2 2cos2 1
cos2 1 cos 2 降幂公式
2
二倍角是个相对概念 , 例如是 的二倍角,4是2的二倍角
2
半角公式与万能公式之间的推导逻辑链(选记)
A1(cos( ), cos( ))
x
| AB |2 (cos - cos )2 (sin - sin )2
| A1B1 |2 (cos( ) 1)2 (sin( ) 0)2
由| AB |2 | A1B1 |2
整理可得 cos( - ) cos cos sin sin
面维持匀速直线运动,求此最小拉力的大小和方向.
F cos N F sin N mg
F
v
需求
F
mg sin cos
N F sin
的最小值
F
即需求 sin cos
的最大值 这个最大值如何求？
f N
v
F cos
mg
解决上述问题就需要用到即将介绍的三角恒等
变换公式
学习提醒:三角恒等换问题一定要靠公式的熟练运 用(顺用和逆用),公式推导过程反映的数学思想和 使用的数学方法是非常重要的,会推导公式才能更 好地理解记忆公式,公式平时必须熟记,尽量避免在 考场上临时推导的,而熟练度必定是建立在一定量 的训练基础上的.
14
造成运算繁复
题型归类
一.通过角的组合求值
变式1已知
cos(
2
)
1 , sin(
92
)
2 3
且
,0 ,
2
2
求
cos 2
的值
要领：cos cos[( )( )]
2
22
题型归类
一.通过角的组合求值
变式2已知
2
3
4
,
cos(
)
12,sin(
13
)
3 5
求 sin2 的值
题型归类
两角和(差)正弦,余弦,正切公式的推导逻辑链(必记)
利用单位圆中的旋转变换推导出 cos( )，cos( ) 中任意一个
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
诱导公式 , R
换成- , R
诱导公式
cos( ) cos cos sin sin
同角正弦+余弦型“合一”公式
asin x bcosx a2 b2 (sin x a cosx
a2 b2
令
a cos, b sin
a2 b2
a2 b2
*
b) a2 b2
由于a,b 是已知的常数
所以 是一个由*式确定的角(特殊角可以 写出来，非特殊角就用符号φ表示)
asin x bcosx a2 b2 (sin xcos cosxsin)
相加(相减)
相加(相减)
sin cos 1[sin( ) sin( )]
2
cos cos 1[cos( ) cos( )]
2
cos
sin
1[sin(
2
)
sin( )] sin sin
积化和差公式
-1[cos(
2
)
cos(
)]
令 ,
sin
sin
2sin
cos
-
2
2
cos
cos
2cos
两角和余弦公式的初中几何描述
右图中,设AE=1,请从图中观察 cos(α+β)=?(用含α,β的式子表示, 即用单角表示复合角)
, 为任意角的情形
A(cos ,sin )
y
B(cos( ),sin( ))
即B(cos ,-sin )
A1(cos( ),sin( ))
x
| AB |2 (cos - cos )2 (sin sin )2 | A1B1 |2 (cos( ) 1)2 (sin( ) 0)2
一.通过角的组合求值
变且式3已 知(0，sin)(,2)(05，5,s)i.n(
) 2
10 , 10
22 22
求 的值.
2
要领： (0,).
2
22
所以应计算
cos 2
(单值对应)
而不应计算
sin
(多值对应)
2
给值求角问题的小窍门：
角(0, )算余弦,
角
(
,
)算正弦
22
题型归类
二.涉及三角形的求值问题
2 tan
sin
2
1 tan2
,
2
1 tan2
cos
1
tan2
2
，
2
2 tan
tan
1
2
tan2
2
万能公式(有理置换公式):三个函数都用半角正切统一表示
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
cos
-
2
2
sin
sin
2cos
cos
-
2
2
cos
- cos
-2sin
sin
-
2
2
和差化积公式
题型归类
一.通过角的组合求值
例1.已知
cos
1 7
,
cos(
)
11 14
且,
(0,
) 2
求 cos 的值
要领：cos cos[( )] 便可利用题目条件
本题切勿急于将cos( ) 展开成 bcosx a2 b2 sin(x )
2
问题2:不使用计算器如何利用计算cos15°的值？
思路1:初中几何解法
6 2
2
1
2
3
cos15 2 3 6 2
6 2
4
思路2:能否利用30°,45°,60°这些特殊角 比如 cos(45 30 ) ?
问题3:如图,一质量为m的木块与水平地面之间的滑
动摩擦系数为μ,某人欲以最小的拉力使该木块沿地
三.同角正弦+余弦型的“合一”公式
例3求下列函数的最小正周期和值域
(1) f (x) 1 cosx 3 sinx(xR)
2
2
(2) f (x) sinx cosx(xR)
(3) f (x) 3sinx4cosx(xR)
(4) f (x) asin x bcosx(x R, a 0,b 0)
二倍角正弦,余弦,正切公式的推导逻辑链(必记)
sin( ) sin cos cos sin
sin2 2sin cos
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) k
tan tan
1
，
tan
k
tan，
2
k
,
k
Z
2
2
换成
二 cos2 cos2 sin2
倍
12sin2
问题1:前面学诱导公式时,公式里所涉及的角有何 代数结构特征？
含 n (n Z )结构
2
口诀:奇变偶不变,符号看象限
n 2 p( p Z)
含2k , 结构
函数名不变,符号看象限
n 2 p 1( p Z )
含
结构
2
函数名改变(改为相
应的余函数),符号看
象限(在原函数处看)
将 n 换成任意角,诱导公式就不能使用了,此时应该如何操作？
sin2 1- cos 2
2 降幂公式
换成
2
sin
2
1- cos
2
cos2 1 cos 2
cos 1 cos
2
2
2
正负由α/2终边 所在象限决定, 但半角正切的
后两式无需判
断正负
tan
2
1 cos 1 cos
1- cos sin sin 1 cos
半角公式
二倍角公式+切弦互化+1的代换+齐次化技巧
请根据已导出的公式推导正弦两角和(差)公式
cos( ) cos cos sin sin
换成-
cos( - ) cos cos sin sin
sin(
)
cos[
(
)]
cos[(
)
]
2
cos(2)cos sin( )sin
2
2
换成-
sin cos cos sin
sin( ) sin cos -cos sin