2019年高考数学理科总复习 双基过关检测 “基本初等函数及应用” 含解析

“基本初等函数及应用”双基过关检测
一、选择题
1．化简[(－2)6] 12
－(－1)0的结果是( ) A ．－9
B ．7
C ．－10
D ．9 解析：选B [(－2)6] 12－(－1)0＝(26) 12－1＝23－1＝7.
2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点( )
A ．(1,0)
B ．(1，－2)
C ．(－1，－2)
D ．(－1，－1)
解析：选C 令x ＝－1，得log a 1＝0，此时f (－1)＝－2，故选C.
3．(2017·济宁诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )
A.12
B ．1 C.32 D ．2
解析：选C 由幂函数的定义知k ＝1，又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12
，从而k ＋α＝32
. 4．(2017·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )
解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b 2a
<0，则b <0，c >0，故排除A ， 若－b 2a
>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b 2a
<0，则b >0，c >0，故排除C ， 若－b 2a
>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 5．(2017·成都模拟)设a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 2 79
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．b <a <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <c <a
解析解析：选B 因为a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715>1，c ＝log 2 79
<0，所以a >b >c .故选B. 6．(2017·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，
∴y >1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
7．(2016·大连二模)定义运算：x
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2
(2x －x 2)的最大值为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0， 当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．
综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.
8．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数
B ．(－∞，＋∞)上的增函数
C ．(－1,1)上的减函数
D ．(－1,1)上的增函数
解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，
∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x
>0，则－1<x <1，排除A 、B ， 又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1
在(－1,1)上是增函数，
∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.
二、填空题
9．(2017·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知，a －8>1，解得a >9.
答案：(9，＋∞)
10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．
解析：设f (x )＝x a ，
又 f (4)＝3 f (2)，
∴4a ＝3×2a ，
解得a ＝log 23，
∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13
. 答案：13
11．若log a 34
<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34
；当a >1时，log a 34
<log a a ＝1，解得a >1. 答案：⎝⎛⎭
⎫0，34∪(1，＋∞) 12．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋ax －2a ，x ≥2，
x 2－ax ＋2a ，x <2， 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴⎩⎨⎧ －a 2≤2，
a 2≤0，即－4≤a ≤0，
即实数a 的取值范围是[－4,0]．
答案：[－4,0]
三、解答题
13．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，
则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．
①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦
⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦
⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.
所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13
. 又因为a >0，所以a ＝13
. ②当a >1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．
所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，
解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13
或3. 14．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．
解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，
1－x >0，
解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，
且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，
故f (x )为奇函数．
(3)因为当a >1时，f (x )＝log a x ＋11－x
在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x
>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。