2017年山东省春季高考数学试卷解析版

2017年山东省春季高考数学试卷
一、选择题
1．全集U={1，2}，集合M={1}，则∁
U
M等于〔〕
A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}
2．函数的定义域是〔〕
A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕
3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕
A．y=* B．y=1 C．D．y=|*|
4．二次函数f〔*〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，则该函数的解析式是〔〕
A．f〔*〕=2*2﹣8*+11 B．f〔*〕=﹣2*2+8*﹣1 C．f〔*〕=2*2﹣4*+3 D．f〔*〕=﹣2*2+4*+3
5．等差数列{a
n }中，a
1
=﹣5，a
3
是4与49的等比中项，且a
3
＜0，则a
5
等于〔〕
A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32
6．A〔3，0〕，B〔2，1〕，则向量的单位向量的坐标是〔〕
A．〔1，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．D．
7．"p∨q为真〞是"p为真〞的〔〕
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．函数y=cos2*﹣4cos*+1的最小值是〔〕
A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6
9．以下说法正确的选项是〔〕
A．经过三点有且只有一个平面
B．经过两条直线有且只有一个平面
C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直
D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直
10．过直线*+y+1=0与2*﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方
程是〔〕
A．3*+y﹣1=0 B．*+3y﹣5=0 C．3*+y﹣3=0 D．*+3y+5=0
11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是〔〕
A．72 B．120 C．144 D．288
12．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则以下不等式成立的是〔〕A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．
13．函数f〔*〕=2k*，g〔*〕=log
3
*，假设f〔﹣1〕=g〔9〕，则实数k的值是〔〕A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
14．如果，，则等于〔〕
A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18
15．角α的终边落在直线y=﹣3*上，则cos〔π+2α〕的值是〔〕A．B．C．D．
16．二元一次不等式2*﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔〕A．B．C．D．
17．圆C
1和C
2
关于直线y=﹣*对称，假设圆C
1
的方程是〔*+5〕2+y2=4，则圆C
2
的方程是〔〕
A．〔*+5〕2+y2=2 B．*2+〔y+5〕2=4 C．〔*﹣5〕2+y2=2 D．*2+〔y﹣5〕2=4 18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是〔〕
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔〕
成绩分析表
甲乙丙丁
平均成绩96968585标准差s4242 A．甲B．乙C．丙D．丁
20．A
1，A
2
为双曲线〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A
1
A
2
为直径的圆与
双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A
1
MN的面积为，则该双曲线的离心率是〔〕
A．B．C．D．
二、填空题：
21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于．
22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=．
23．F
1，F
2
是椭圆+=1的两个焦点，过F
1
的直线交椭圆于P、Q两点，则△
PQF
2
的周长等于．
24．*博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．
25．对于实数m，n，定义一种运算：，函数f〔*〕=a*a*，其中0＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，则实数t的取值范围是．
三、解答题：
26．函数f〔*〕=log
2〔3+*〕﹣log
2
〔3﹣*〕，
〔1〕求函数f〔*〕的定义域，并判断函数f〔*〕的奇偶性；
〔2〕f〔sinα〕=1，求α的值．
27．*职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：
①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；
②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前
一天的2倍，共需交纳20天．
请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．
28．直三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A
1
C
1
的中点，如
下图．
〔1〕求证：DE∥平面BCC
1B
1；
〔2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．
29．函数．
〔1〕求该函数的最小正周期；
〔2〕求该函数的单调递减区间；
〔3〕用"五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
30．椭圆的右焦点与抛物线y2=4*的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如下图．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l 与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．
2017年山东省春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．全集U={1，2}，集合M={1}，则∁
U
M等于〔〕
A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}
【考点】1F：补集及其运算．
【分析】根据补集的定义求出M补集即可．
【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，则∁
U
M={2}．
应选：C．
2．函数的定义域是〔〕
A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出*的取值范围即可．
【解答】解：函数，
∴|*|﹣2＞0，
即|*|＞2，
解得*＜﹣2或*＞2，
∴函数y的定义域是〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕．
应选：D．
3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕
A．y=* B．y=1 C．D．y=|*|
【考点】3E：函数单调性的判断与证明．
【分析】根据根本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可．【解答】解：对于A，函数y=*，在区间〔﹣∞，0〕上是增函数，满足题意；对于B，函数y=1，在区间〔﹣∞，0〕上不是单调函数，不满足题意；
对于C，函数y=，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意；
对于C，函数y=|*|，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意．
应选：A．
4．二次函数f〔*〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，则该函数的解析式是〔〕
A．f〔*〕=2*2﹣8*+11 B．f〔*〕=﹣2*2+8*﹣1 C．f〔*〕=2*2﹣4*+3 D．f〔*〕=﹣2*2+4*+3
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】由题意可得对称轴*=1，最大值是5，故可设f〔*〕=a〔*﹣1〕2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决
【解答】解：二次函数f〔*〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕，则对称轴*=1，最大值是5，
可设f〔*〕=a〔*﹣1〕2+5，
于是3=a+5，解得a=﹣2，
故f〔*〕=﹣2〔*﹣1〕2+5=﹣2*2+4*+3，应选：D．
5．等差数列{a
n }中，a
1
=﹣5，a
3
是4与49的等比中项，且a
3
＜0，则a
5
等于〔〕
A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32
【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得〔a
3〕2=4×49，结合解a
3
＜0可得a
3
的值，进而由等差数列的性质a
5=2a
3
﹣a
1
，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，a
3
是4与49的等比中项，
则〔a
3〕2=4×49，解可得a
3
=±14，
又由a
3＜0，则a
3
=﹣14，
又由a
1
=﹣5，
则a
5=2a
3
﹣a
1
=﹣23，
应选：B．
6．A〔3，0〕，B〔2，1〕，则向量的单位向量的坐标是〔〕
A．〔1，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．D．
【考点】95：单位向量．
【分析】先求出=〔﹣1，1〕，由此能求出向量的单位向量的坐标．
【解答】解：∵A〔3，0〕，B〔2，1〕，
∴=〔﹣1，1〕，∴||=，
∴向量的单位向量的坐标为〔，〕，即〔﹣，〕．
应选：C．
7．"p∨q为真〞是"p为真〞的〔〕
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由真值表可知："p∨q为真命题〞则p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真〞是"p为真〞必要不充分条件
【解答】解："p∨q为真命题〞则p或q为真命题，
所以"p∨q为真〞推不出"p为真〞，但"p为真〞一定能推出"p∨q为真〞，
故"p∨q为真〞是"p为真〞的必要不充分条件，
应选：B．
8．函数y=cos2*﹣4cos*+1的最小值是〔〕
A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．
【解答】解：∵函数y=cos2*﹣4cos*+1=〔co*﹣2〕2﹣3，且cos*∈[﹣1，1]，故当cos*=1时，函数y取得最小值为﹣2，
应选：B．
9．以下说法正确的选项是〔〕
A．经过三点有且只有一个平面
B．经过两条直线有且只有一个平面
C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直
D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直
【考点】LJ：平面的根本性质及推论．
【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直．
【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；
在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；
在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直，故C错误；
在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，故D正确．
应选：D．
10．过直线*+y+1=0与2*﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是〔〕
A．3*+y﹣1=0 B．*+3y﹣5=0 C．3*+y﹣3=0 D．*+3y+5=0
【考点】IB：直线的点斜式方程．
【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．
【解答】解：由，
解得：，
由方向向量得：
直线的斜率k=﹣3，
故直线方程是：y+2=﹣3〔*﹣1〕，
整理得：3*+y﹣1=0，
应选：A．
11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是〔〕
A．72 B．120 C．144 D．288
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A
4
4=24种可能，即可以排出24个不同节目单，
②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，
有C
21C
4
3=8种取法，将4个节目全排列，有A
4
4=24种可能，
则以排出8×24=192个不同节目单，
③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，
有C
22C
4
2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A
2
2=2种情况，排好后有3个空
位，
在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A
3
2=6种情况，
此时有6×2×6=72种可能，
就可以排出72个不同节目单，
则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，
应选：D．
12．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则以下不等式成立的是〔〕A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．
【考点】R3：不等式的根本性质．
【分析】A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c；
B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定；
C，由a＜b＜0，可得a2＞b2；
D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒；
【解答】解：对于A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c，故正确；
对于B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定，故错；
对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错；
对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒，故错；
应选：A
*，假设f〔﹣1〕=g〔9〕，则实数k的值是〔〕13．函数f〔*〕=2k*，g〔*〕=log
3
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】4H：对数的运算性质．
9=2=f〔﹣1〕=2﹣k，解得即可．
【分析】由g〔9〕=log
3
9=2=f〔﹣1〕=2﹣k，
【解答】解：g〔9〕=log
3
解得k=﹣1，
应选：C
14．如果，，则等于〔〕
A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．
【解答】解：∵，，
∴，且＜＞=π．
则==3×6×〔﹣1〕=﹣18．
应选：A．
15．角α的终边落在直线y=﹣3*上，则cos〔π+2α〕的值是〔〕A．B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos〔π+2α〕的值．
【解答】解：假设角α的终边落在直线y=﹣3*上，
〔1〕当角α的终边在第二象限时，不妨取*=﹣1，则y=3，r==，
所以cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；
〔2〕当角α的终边在第四象限时，不妨取*=1，则y=﹣3，r==，
所以sinα=，cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，
应选：B．
16．二元一次不等式2*﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔〕A．B．C．D．
【考点】7B：二元一次不等式〔组〕与平面区域．
【分析】利用二元一次不等式〔组〕与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．【解答】解：因为〔1，0〕点满足2*﹣y＞0，
所以二元一次不等式2*﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是：C．
应选：C．
17．圆C
1和C
2
关于直线y=﹣*对称，假设圆C
1
的方程是〔*+5〕2+y2=4，则圆C
2
的方程是〔〕
A．〔*+5〕2+y2=2 B．*2+〔y+5〕2=4 C．〔*﹣5〕2+y2=2 D．*2+〔y﹣5〕2=4【考点】J1：圆的标准方程．
【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C
1
的圆心关于y=﹣*的对称点，
再由圆的标准方程得答案．
【解答】解：由圆C
1
的方程是〔*+5〕2+y2=4，得圆心坐标为〔﹣5，0〕，半径为2，
设点〔﹣5，0〕关于y=﹣*的对称点为〔*
0，y
〕，
则，解得．
∴圆C
2
的圆心坐标为〔0，5〕，
则圆C
2
的方程是*2+〔y﹣5〕2=4．
应选：D．
18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是〔〕
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令*的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，
则展开式中的通项公式为 T
r+1=C
6
r•〔﹣1〕r•*．
令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C
6
2•〔﹣1〕2=15，
应选：C．
19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔〕
成绩分析表
甲乙丙丁
平均成绩96968585
标准差s4242
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．
【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，
由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加．
应选：B．
20．A
1，A
2
为双曲线〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A
1
A
2
为直径的圆与
双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A
1
MN的面积为，则该双曲线的离心率是〔〕
A．B．C．D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A
1
〔﹣
a，0〕到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A
1
MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±*，设以A
1A
2
为直径的圆与双曲线的
渐近线y=*交于M，N两点，
则A
1
〔﹣a，0〕到直线y=*的距离d==，
△A
1
MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，
则a2=b2﹣c2=c2，即a=c，
双曲线的离心率e==，
应选B．
二、填空题：
21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于3π．【考点】L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．
【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，则圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．
【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr
∴圆锥侧面积：
S==πrl
=π×1×3=3π．
故答案为：3π．
22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵∠B=2∠A，
∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，
又∵a=2，b=3，
∴由正弦定理可得：，
∵sin∠A≠0，
∴cos∠A=．
故答案为：．
23．F
1，F
2
是椭圆+=1的两个焦点，过F
1
的直线交椭圆于P、Q两点，则△
PQF
2
的周长等于24 ．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义|PF
1|+|PF
2
|=2a=12，|QF
1
|+|QF
2
|=2a=12即可求得△PQF
2
的周长．
【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6，b=4，设△PQF
2
的周长为l，
则l=|PF
2|+|QF
2
|+|PQ|，
=〔|PF
1|+|PF
2
|〕+〔|QF
1
|+|QF
2
|〕
=2a+2a，
=4a=24．
∴△PQF
2
的周长24，
故答案为：24．
24．*博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出根本领件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m==4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．
【解答】解：*博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，
根本领件总数n=，
其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m==4，
∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：
p===．
故答案为：．
25．对于实数m，n，定义一种运算：，函数f〔*〕=a*a*，其中0＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，则实数t的取值范围是〔﹣，2]．【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】求出f〔*〕的解析式，得出f〔*〕的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴当*≤1时，a*≥a，当*＞1时，a＞a*，
∴f 〔*〕=．
∴f 〔*〕在〔﹣∞，1]上单调递减，在〔1，+∞〕上为常数函数， ∵f 〔t ﹣1〕＞f 〔4t 〕，
∴t ﹣1＜4t ≤1或t ﹣1≤1＜4t ， 解得﹣＜t ≤或．
∴﹣
．
故答案为：〔﹣，2]． 三、解答题：
26．函数f 〔*〕=log 2〔3+*〕﹣log 2〔3﹣*〕，
〔1〕求函数f 〔*〕的定义域，并判断函数f 〔*〕的奇偶性； 〔2〕f 〔sin α〕=1，求α的值． 【考点】4N ：对数函数的图象与性质．
【分析】〔1〕要使函数f 〔*〕=log 2〔3+*〕﹣log 2〔3﹣*〕有意义，则⇒
﹣3＜*＜3即可，
由f 〔﹣*〕=log 2〔3﹣*〕﹣log 2〔3+*〕=﹣f 〔*〕，可判断函数f 〔*〕为奇函数．
〔2〕令f 〔*〕=1，即，解得*=1．即sin α=1，可求得α．
【解答】解：〔1〕要使函数f 〔*〕=log 2〔3+*〕﹣log 2〔3﹣*〕有意义，则⇒﹣3＜*＜3，
∴函数f 〔*〕的定义域为〔﹣3，3〕；
∵f 〔﹣*〕=log 2〔3﹣*〕﹣log 2〔3+*〕=﹣f 〔*〕，∴函数f 〔*〕为奇函数． 〔2〕令f 〔*〕=1，即，解得*=1．
∴sin α=1， ∴α=2k
，〔k ∈Z 〕．
27．*职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一
批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：
①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；
②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．
请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论．
【解答】解：假设按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；
假设按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中a
1
=，q=2，n=20，
∴共需缴费S
20
===219﹣=524288﹣≈52.4万元，
∴方案①缴纳的保费较低．
28．直三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A
1
C
1
的中点，如
下图．
〔1〕求证：DE∥平面BCC
1B
1；
〔2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．
【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】〔1〕取AC的中点F，连结EF，DF，则EF∥CC
1
，DF∥BC，故平面DEF∥
平面BCC
1B
1
，于是DE∥平面BCC
1
B
1
．
〔2〕在Rt△DEF中求出tan∠EDF．
【解答】〔1〕证明：取AC的中点F，连结EF，DF，
∵D，E，F分别是AB，A
1C
1
，AC的中点，
∴EF∥CC
1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC
1
=C，
∴平面DEF∥平面BCC
1B
1，
又DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面BCC
1B
1．
〔2〕解：∵EF∥CC
1，CC
1
⊥平面BCC
1
B
1
．
∴EF⊥平面BCC
1B
1，
∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，
设三棱柱的棱长为1，则DF=，EF=1，
∴tan∠EDF=．
29．函数．
〔1〕求该函数的最小正周期；
〔2〕求该函数的单调递减区间；
〔3〕用"五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
【考点】HI：五点法作函数y=Asin〔ω*+φ〕的图象；H2：正弦函数的图象．【分析】〔1〕由利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin〔2*﹣〕，利用周期公式即可得解．
〔2〕令2kπ+≤2*﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤*≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间．
〔3〕根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
【解答】解：〔1〕∵=3sin〔2*﹣〕，
∴函数的最小正周期T==π．
〔2〕∵令2kπ+≤2*﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤*≤kπ+，k ∈Z，
∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，
〔3〕列表：
*
2*﹣0π2π
y030﹣30
描点、连线如下图：
30．椭圆的右焦点与抛物线y2=4*的焦点F重合，且椭圆的
离心率是，如下图．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l 与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】〔1〕根据题意得F〔1，0〕，即c=1，再通过e=及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；
〔2〕将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．
【解答】解：〔1〕根据题意，得F〔1，0〕，∴c=1，
又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，
故椭圆的标准方程为：
〔2〕抛物线的准线方程为*=﹣1
由，解得，，
由A位于第二象限，则A〔﹣1，〕，
过点A作抛物线的切线l的方程为：
即直线l：4*﹣3y﹣4=0
由整理得
整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，
当k=0，解得：y=，不符合题意，
当k≠0，由直线与抛物线相切，则△=0，
∴〔﹣4〕2﹣4k〔4k+6〕=0，解得：k=或k=﹣2，
当k=时，直线l的方程y﹣=〔*+1〕，
则，整理得：〔*+1〕2=0，
直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，
当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2〔*+1〕，
由，整理得：19*2+8*﹣11=0，解得：*
1=﹣1，*
2
=，
则y
1=，y
2
=﹣，
由以上可知点A〔﹣1，〕，B〔，﹣〕，∴丨AB丨==，综上可知：线段AB长度为
2017年7月12日。