学案1：4.2.3 二项分布与超几何分布（一）

4.2.3二项分布与超几何分布（一）
1．n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是的，此时这n 次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
思考：独立重复试验必须具备哪些条件？
2．二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，
而且P(X＝k)＝，k＝0,1，…，n，
因此X的分布列如下表所示．
注意到上述X n1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作．
初试身手
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．()
(2)两点分布是特殊的二项分布．()
(3)二项分布可以看作是有放回抽样．()
(4)n 次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． ( )
2．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )
A ．C 810×0.88×0.22
B ．
C 810×0.82×0.28
C ．0.88×0.22
D ．0.82×0.28
3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭
⎫n ，1
2. ——合作探究·释疑难——
类型1 独立重复试验的概率
【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4，假设每次射击是否击中目
标，相互之间没有影响．
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．
规律方法
独立重复试验概率求法的三个步骤
类型2 二项分布
【例2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1
3.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
规律方法
1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． [跟进训练]
1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为1
2，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用 [探究问题]
1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为2
3，
23，1
2
，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
规律方法
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.
[跟进训练]
2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．
——课堂小结·提素养——
必备素养
1．独立重复试验的基本特征
(1)每次试验都在同样条件下进行．
(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．
(3)各次试验之间相互独立．
(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义
学以致用
1．某学生通过英语听力测试的概率为1
3，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概
率是( )
A.4
9 B.29 C.427
D.227
2．某电子管正品率为34，次品率为1
4，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，
则P (ξ＝3)＝( ) A.C 23
⎝⎛⎭⎫142
×34 B.C 23
⎝⎛⎭⎫342
×14
C.⎝⎛⎭⎫142×34
D.⎝⎛⎭⎫342
×14
3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是1
2，假设每位同学能否通
过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．
4．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝8
27，那么一次试验成功的概率p 等于________．
5．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两位小数)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
参考答案
新知初探
1．相互独立
思考：[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响；
(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．
2．C k n p k q
n －
k
X ～B (n ，p )
初试身手
1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】A
【解析】∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝8)＝C 810×0.88×0.22，故选A.
3．【答案】38
【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为1
2，由于每次试验的结果不受影响，故由n 次独立
重复试验可知，所求概率为P ＝C 13
⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122
＝38
.
4．【答案】①②
【解析】①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
——合作探究·释疑难——
类型1 独立重复试验的概率
【例1】 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则 P (A 2)＝C 22×
⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341
×⎝⎛⎭⎫1－34＝38
. 由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝49×38＝1
6.
【例2】 解：(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，1
3，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5
⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭
⎫235－k
，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为
(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23·13，k ＝0,1,2,3,4；
P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫
235
. 故η的分布列为
[跟进训练]
1．解：(1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A ∩B ”，且事件A ，B 相互独立． ∴P (A ∩B ＋A ∩B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×1
2＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝
⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，1
2. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k
⎝⎛⎭
⎫1－124－k
＝C k 4
⎝⎛⎭
⎫124
(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为
类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用
[探究问题]
1．[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布． 2．[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． 【例3】 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03
⎝⎛⎭⎫1－233
＝127
，
P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29
， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232
⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33
⎝⎛⎭⎫233
＝827
. 所以ξ的分布列为
(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥， 又
P (C )＝C 23
⎝⎛⎭⎫232
⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡ 23×13×12＋13×23
×
⎦⎤12＋13×13×
12＝1034，
P (D )＝C 33
⎝⎛⎭⎫233
⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435
， 由互斥事件的概率公式得
P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34
243.
[跟进训练]
2．解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为⎝⎛⎭⎫123
＝1
8， 所以单个坑不需要补种的概率为1－18＝78
.
设需要补种的坑数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，
P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫180×⎝⎛⎭⎫783
＝343512，
P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫181
×⎝⎛⎭⎫782
＝147512， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫182
×⎝⎛⎭⎫781＝21512， P (X ＝3)＝C 33×
⎝⎛⎭⎫183
×⎝⎛⎭⎫780＝1512
， 所以需要补种坑数的分布列为
学以致用
1．【答案】A
【解析】记“恰有1次获得通过”为事件A ， 则
P (A )＝C 1
3
⎝⎛⎭⎫13·⎝⎛⎭⎫1－132
＝49
.故选A. 2．【答案】C
【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝⎛⎭⎫142
×34. 3．【答案】1516
【解析】所有同学都不通过的概率为⎝⎛⎭⎫1－1
24
， 故至少有一位同学通过的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－124＝1516. 4．【答案】13或2
3
【解析】P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2
＝827， 即
p 2(1－p )2＝
⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232
，解得p ＝13或p ＝23
.
5．解：(1)记“预报1次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为
P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.。