蒙特卡罗方法教学课件第三章由巳知分布的随机抽样

h(r) 1 ， R0
f (r) 2r ， h(r) R0
M 2，
rh R0
则抽样框图为
1 2 ＞
≤
rf R0 2
取 rf 显 然R0，1没就有可必以要了舍，弃亦ξ即1＞ξ2的情况，此时，只需 rf R0 max( 1,2 )
另一方面，也可证明 布F (r) r 2。
与 max( 1,2 ) 具有相同的分
参数n服从如下分布
F(y) Pn
n y
复合分布的一般形式为：
f (x) f2 (x y)dF1( y)
F其1(中y)表f2(示x/y分)表布示函与数。参数y有关的条件分布密度函数 ， 布数密f2(复x度/ 合Y函F分1数)中布f1抽(的y)样中抽确抽样定样方XY法f2F(1为x或/YF:)Y首f1，先然由后分再布由函分数布F1密(y)度或函分
>
M
X X f
f2 ( x /YF1 )
证明：
P(x X f x dx) P x X f2 x dx
H ( X f2 ,YF1 ) M
P x
X f2
x dx,
H
(
X f2 M
,
YF1
)
P
H ( X f2 ,YF1 ) M
xdx H ( x, y)
x
M
0 H (x,y)
Pa
a t
反应类型的确定方法为：产生一个随机数ξ
Pel 弹性散射
Pel Pin 非弹性散射
Pel Pin Pf 裂变
吸收
2) 连续型分布的直接抽样方法
对于连续型分布，如果分布函数F(x) 的反函数 F－1(x)存在，则直接抽样方法是 ：
X F F 1 ( )
例6. 在［a，b］上均匀分布的抽样
P(x
n)
Pn
e
n
n!
其中，λ>0 。对该分布的直接抽样方法如下：
X F n,
当 n－1 i e n i
i＝0 i!
i＝0 i!
例3. 掷骰子点数的抽样
掷骰子点数X=n的概率为：
P(X n) 1
选取随机数ξ，如
6
n 1 n
则
6
6
XF n
在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：
1. 随机抽样及其特点
由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体
中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总
体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的 随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用 严格的数学方法产生的。 简单子为样方的便个起体见。，对用于XF连表续示型由分己布知，分常布用F(分x)中布产密生度的函 数函f数(xf)(表x)示产总生体的的简己单知子分样布的，个用体。Xf表另示外由，己在知抽分样布过密程度中 用到的伪随机数均称随机数。
抽样，直接抽样方法是非常理想的。
例1. 二项分布的抽样
二项分布为离散型分布，其概率函数为：
P(x
n)
Pn
C
n N
P
n
(1
P)
N
n
其中，P为概率。对该分布的直接抽样方法如下：
n－1
n
X F n, 当 Pi Pi
i＝0
i＝0
例2. 泊松(Possion)分布的抽样
泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为：
下面叙述的挑选抽样方法是克服这些困难的比较 好的方法。
3. 挑选抽样方法
为了实现从己知分布密度函数f(x)抽样，选取与 f(x)取值范围相同的分布密度函数h(x)，如果
M sup f (x) x h(x)
则挑选抽样方法为：
f (Xh)
>
M h(X h )
X f Xh
即从h(x)中抽样xh，以
FXn (x)
P(X n
x)
P( inf t F (t )n
x)
P( n F (x)) F (x)
Xξ数Xth2N2，e，是具or……波有y对,，，N雷相于.ξXY尔同任N.N是V（也分意o相nB是布的互No相Fnroe成独(slx互）r)t立立。a独可n，的另d立测,1因，外的9的5此而，（0，]随直由§[因P机接.于4R此5变抽.随定H，量样a机理l由m序公数2o它）列式s序,所。MX所列确1e，确ξa1定s，X定u2r的，e的X…函1，，
6. 替换抽样方法
为了实现某个复杂的随机变量 y 的抽样，将其表 示成若干个简单的随机变量 x1，x2，…，xn 的函数
y g(x1, x2 ,, xn ) 得种到方法x1叫，作x2，替…换，法x抽n 的样抽。样即后，即可确定 y 的抽样，这
Yf g(X1, X 2,, X n )
例11. 散射方位角余弦分布的抽样
f2 (x y)dxdF1( y)d
M 0
f2 (x y)dxdF1( y)d
xdx x
H (x, y) M
f2(x, y) M
f2(x
y)dxdF1( y)
H (x, y) f2 (x y)dF1( y)dx f (x)dx
抽样效率为：E=1/M
cos x
x2 y2
sin y
x2 y2
(x,y) 表示上半个单位圆内的点。如果 (x,y) 在上半个单 位圆内均匀分布，则θ在［0,π］上均匀分布，由于
cos
cos 2
cos2
sin 2
x2 x2
y2 y2
sin
sin 2
2 s in
cos
2xy x2 y2
因此抽样sinφ和cosφ的问题就变成在上半个单位圆 内均匀抽样 (x,y) 的问题。
为获得上半个单位圆内
的均匀点，采用挑选法，在
上半个单位圆的外切矩形内
均匀投点（如图）。
x 1 y 2
舍弃圆外的点，余下的就是所要求的点。
抽样方法为：
抽样效率 E=π/4≈0.785
X X f
f2 ( x /YF1 )
证明：
p(x X f x dx) p(x X f2 (x/YF1 ) x dx)
f2 (x Y )dxdF1(Y ) f (x)dx
所以，Xf所服从的分布为f (x)。
例10. 指数函数分布的抽样
指数函数分布的一般形式为：
En (x)
n
4. 复合抽样方法
在实际问题中，经常有这样的随机变量，它服从
的分布与一个参数有关，而该参数也是一个服从确定
分布的随机变量，称这样的随机变量服从复合分布。 例如，分布密度函数
f (x) Pn fn (x)
n1
是fn(一x)为个与复参合数分n布有。关其的中分P布n≥密0，度n函=1数，，2，n=…1，，2且，…n1 P，n 1
第三章 由已知分布的随机抽样
1. 随机抽样及其特点 2. 直接抽样方法 3. 挑选抽样方法 4. 复合抽样方法 5. 复合挑选抽样方法 6. 替换抽样方法 7. 随机抽样的一般方法 8. 随机抽样的其它方法
➢ 作业
第三章 由已知分布的随机抽样
本章叙述由己知分布抽样的各主要方法，并给出 在粒子输运问题中经常用到的具体实例。
提高抽样效率。抽样效率是指在挑选抽样方法中进行
挑选时被选中的概率。按此定义，该方法的抽样效率E 为：
E
P
f (Xh) M h(X h )
f (Xh) M h(X h )
h(X h )dX h
1 M
所以，M越小，抽样效率越高。
当 f(x) 在［0，1］上定义时，取 h(x)=1，Xh=ξ，
M sup f (x)
x
M 0
h(
X
h
)
h(
X
h
)dX
h
d
f (Xh)
M 0
h(
X
h
)
h(
X
h
)dX
h
d
xdx x
f (Xh) M h(X h
)
h(
X
h
)dX
h
f (Xh) M h(X h
)
h(
X
h
)dX
h
xdx
x
f (X h )dXh f (x)dx
f ( X h )dX h
使用挑选抽样方法时，要注意以下两点：选取h(x) 时要使得h(x)容易抽样且M的值要尽量小。因为M小能
Xf
ln n1
Y f1
max(1,
2
,,
n
)
ln
n1
5. 复合挑选抽样方法
考虑另一种形式的复合分布如下：
f (x) H(x, y) f2(x y)dF1( y)
其密度中函0≤数H(，x,yF)1≤(My)，表示f2(x分/y布)表函示数与。参抽数样y方有法关如的下条：件分布
H ( X f2 (x /YF1 ) ,YF1 )
0
0 x 1
则
XF
例8. 指数分布
指数分布为连续型分布，其一般形式如下： f (x) a eax , x 0
其分布函数为：
F (x) x f (t)dt x a eatdt 1 eax ,
0
则
XF
1 ln(1 )
a
因为1－ξ也是随机数，可将上式简化为
XF
1 ln
1
exy yn
dy
0
引入如下两个分布密度函数：
当x 0 其它
n y n1
f1
(
y)
0
y exy
f2(x
y) 0
当y 1 其它
当x 0 其它
则
En (x) 1 f2 (x y) f1( y)dy
使用复合抽样方法，首先从f1(y)中抽取y
Y f1
1
n
max(
1
1,2 ,,n )
再由f2(x/ YF1)中抽取x
a
x0
连续性分布函数的直接抽样方法对于分布函数的 反函数存在且容易实现的情况，使用起来是很方便的。 但是对于以下几种情况，直接抽样法是不合适的。
1) 分布函数无法用解析形式给出，因而其反函数也无法 给出。
2) 分布函数可以给出其解析形式，但是反函数给不出来。 3) 分布函数即使能够给出反函数，但运算量很大。
1) 离散型分布的直接抽样方法
对于任意离散型分布：
F(x) Pi
xi x
P型2，分…布其的为中直相x1，接应x抽的2，样概…方率为法，离如根散下据型：前分述布直函接数抽的样跳法跃，点有，离散P1，
I－1
I
X F xI , 当 Pi Pi
i＝1
i＝1
该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机
0 x1
此时挑选抽样方法为
f ( ) >
M
Xf
例9. 圆内均匀分布抽样
密度函令数圆为半径为R0，点到圆心的距离为r，则r的分布
2r
f
(r
)
R02
0
当0 r R0 其它
分布函数为 r2
F (r) R02 容易知道，该分布的直接抽样方法是
rf R0
由于开方运算在计算机上很费时间，该方法不是 好方法。下面使用挑选抽样方法：取
X F [6 ] 1
其中［］表示取整数。
例4. 碰撞核种类的确定
中子或光子在介质中发生碰撞时，如介质是由多 种元素组成，需要确定碰撞核的种类。假定介质中每 种光核子的与宏每观种总核截碰面撞分的别概为率分Σ1，别Σ为2，：…，Σn，则中子或
其产中生一Σt＝个Σ随1＋机ΣP数2i ＋ξ，…如ti＋果Σi n。1,碰2,撞核, n 种类的确定方法为：
2. 直接抽样方法
对于任意给定的分布函数F(x)，直接抽样方法如 下：
Xn
inf
F (t ) n
t,
n 1,2,, N
将上式其简中化，为ξ1，：ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见，
XF
inf t F (t )
若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形 式表示，ξ总表示随机数。
➢ 证明
下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序 列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。
I－1
I
Pi Pi
i＝1
i＝1
则中子或光子与第I种核发生碰撞。
例5. 中子与核的反应类型的确定
假设中子与核的反应类型有如下几种:弹性散射， 非Σin弹，性Σf，散Σ射a。，则裂发变生，每吸一收种，反相应应类的型反的应概截率面依分次别为为Σ：el，
Pel
el t
Pin
in t
Pf
f t
其中反应总截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。
f (xh ) M h(xh )
的概率接受它。
下面证明xf 服从分布密度函数f(x)。
证明：对于任意x
P(x X f
x dx) P x X h x dx
f (Xh) M h(X h )
P x
Xh
x dx,
f (Xh) M h(X h
)
P
f (X M h(
h) Xh
)
xdx f ( X h )
散射方位角φ在［0,2π］上均匀分布，则其正弦和 余弦sinφ和cosφ服从如下分布：
f (x) 1
0
1 1 x2
当1 x 1 其它
直接抽样方法为：
sin sin 2 cos cos 2
令φ=2θ，则θ在［0,π］上均匀分布，作变换
x cos y sin
其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，则
在［a，b］上均匀分布的分布函数为：
0
F
(
x)
x 1b
a a
当x a 当a x b 当x b
则
X F a (b a)
例7. β分布
β分布为连续型分布，作为它的一个特例是： f (x) 2x, 0 x 1
其分布函数为：
F (x) x f (t)dt x 2tdt x2,