三年级奥数数阵图与幻方

数阵图与幻方
知识框架
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
三、幻方起源：
幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
9
8
7
6
5
4
3
2
1
我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
四、幻方定义：
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33
⨯的数阵称作三阶幻方，44
⨯的数阵称作四阶幻方，55
⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
9
87654
32
1
13
414151612978
105113
2
16。

五、解决这幻方常用的方法：
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
六、数独简介：
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。

数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。

中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。

而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square ）的游戏，这个游戏是一个n×n 的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n 个数字或者字母组成的。

19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines ）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（Number Place ），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。

填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil 》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku ）。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould ）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。

他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。

从此，这个游戏开始风靡全球。

后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation 前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

七、解题技巧：
数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：
1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来
分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选
择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而
大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外
更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯
定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。

举例说明，A1可以填入1或者2，A2
也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置
不可能出现1或者2.
3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选
数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。

举例说明，A行中已经确定5个数字，
还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道
A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个
时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，
这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能
进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在
同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们
就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

例题精讲
一、数阵图
【例1】2000个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和53324。

去掉左起第1、第1949、第1975及最后一个数，和成为53236，问剩下的数中左起第50个数是。

【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空
【解析】第一个数+第二个数+第三个数=第二个数+第三个数+第四个数，所以第一个数=第四个数，同理第二个数=第五个数，第三个数=第六个数，也就是这个数列是以3为周期的一个周期数列。

⨯+第二个
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，200036662
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，也就是第一个数2 194936492
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，197536581
数2
=，又因为2000个数的和为53324，⨯=533245323688
-=，所以第一个数+第二个数44
53324=（第一个数+第二个数+第三个数）666⨯+第一个数+第二个数，
从而求出第一个数+第二个数+第三个数80=，所以第三个数804436=-=，而503162÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以剩下的数中左起第50个数就是原数列中的第51个数，即原数列中的第3个数，等于36。

【答案】36。

【巩固】 如图，在2006年的3月的日历上，52A B C D +++=，那么，3月份的第一个星期日是___号。

2006年3月D
C
B A
六
五四三二一日
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 B 比A 大8，C 比B 大8，则C 比A 大16，D 比C 大8，则D 比A 大24，则有
528162441A =---÷=（），A 是星期三，则第一个星期日是145+=号．
【答案】5号。

【例 2】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都
相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．
B
A
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：如图
f e c
d
b a
B
A
用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为s ，那么2a b c d e f s +++++=，3a A e b A d c B f s ++++++++=，所以2A B s +=， 253a b c d e f A B s A B A B +++++++=++=+，而 12836a b c d e f A B +++++++=++
+=，所以5336A B +=，那么A 是3的倍数.如果3A =，
得7B =；如果6A =，得2B =，这两种情况下A 和B 的差都为4，所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
方法二：设各条直线上的三个数之和都为s ，2(1238)5B s ++++-=，即725B s -=，
所以2
14B s =⎧⎨=⎩
，713B s =⎧⎨=⎩，由于(1238)3A s +++
++=，即363A s +=，
因此有146s A =⎧⎨=⎩,133s A =⎧⎨=⎩,综合有2146B s A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，7
133
B s A =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
【答案】4。

【巩固】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22⨯的正方形中的
4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？
111098
7
65
4
3
2
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；第二步：计算三个
22⨯正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而
231165++
+=，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，
这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个22⨯正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24．
【答案】24。

【例 3】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之
和都相等．那么这个和是多少
?
861102912
3114
5
7
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x ，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1～12
相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：()121225x x ++++=，解得26x =，即这个
和为26．具体填法如右上图。

【答案】26。

【巩固】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形
的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2
46
8
2
46
8
8
6
4
2
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S ．考察外面的4个三角形，
每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即()42468360S =+++⨯=．得到60415S =÷=，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能都相等．
⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为2226++=，最大为88824++=，可能为6、8、10、……22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的．
根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．
【答案】2
46
8
2
46
8
8
6
4
2。

【例 4】 一个3⨯3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子
中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的
棋子数。

具体操作如图：
【答案】
【巩固】如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【解析】根据题目给的数字计算所有的数字和为：9412561191491083100
+++++++++++=，分成四块的，每块的数字和为：100425
++=，691025
++=，
++=，511925
÷=，，所以941225
++=，具体分法如上图。

831425
【答案】。

【例5】下图是四个互相联系的三角形。

把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】解答
【解析】每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。

45比60少15。

怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。

中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。

因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。

因此，它的三个顶角数字，可以分别为：
1、9、5
2、8、5 2、7、6 4、6、5
2、9、4
3、8、4 3、7、5 8、6、1
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。

【答案】。

【巩固】把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】解答
【解析】图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。

因此，要使各三角形顶角的数字和相等。

去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。

如：以10为中心数，可填为如下图样。

【答案】。

【例6】把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】解答
【解析】这道题的“重叠数”很多。

有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，
d)。

根据题意应有：(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即a+a+b+c+d=11。

因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

【答案】。

【巩固】把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】解答
【解析】
经试验填法如上图。

(填法不唯一)
【答案】填法不唯一。

【例7】右图是一部古怪的电话，中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形和四个正方形.若想打电话，必须首先将1～12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26，假如你要打电话，那么你将怎样填数？
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】解答
【解析】略。

【答案】。

【巩固】在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】解答
【解析】图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1＋2＋3＋4）×3＝30
30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。

同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。

题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4
＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。

【答案】。

二、数独
【例8】将1、2、3、4分别填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中的4个数1、2、3、4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，从左上到右下的对角线上4个数的和是____________。

（左下图是一个3×3的例子）
3
21
212331
A.10
B. 11
C. 12
D. 16
【考点】数独 【难度】5星 【题型】选择 【解析】 C 提示：填法如右图。

【答案】C 。

【巩固】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但
不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。

225
><
>∨
∧∧
∨∧5
43
21E
D C
B
A
【考点】数独 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 这道题是一道数独游戏的变体，我们称之为“大小数独”。

已知数字很少，我们就要 善于利用大
小关系条件。

1、 首先我们观察右下角密集的大于小于关系：E4<E3，E4<E5并且E4>D4，所以E4只能填入2
或者3，又因为B4已经填入2，所以E4只能填入3，进而D4只能填入1（因为第4列中已经有2），C4只能填入4；
2、 再观察左半部的3个大于小于关系：B2>C2>D2，所以C2可以填入2、
3、4，又因为C3已
经填入2，C4已经填入4，所以C2只能填入3，进而知道D2只能填2（D4已经填入1），C1只能填入5（1是最小的数，不能填入C1），C5填1；
3、 然后观察第5列，C5为1，E5>D5，所以E5可以填入4或5，D5可以填入3或4，B5可以
填入3或4，A5可以填入2、3、4，发现只有A5可以填2，所以A5必然是2，又因为B2、B3和B5都不能填1，所以B1填入1；
4、 观察第3列，C3为2，B3、E3都大于某数，故都不能填1，D3所在行已经有1，故也不能填
1，那么只有A3填1；
5、 观察E 行，E3与E5都是填入4或5，所以4、5必然出现在E3与E5中，又因为E1`所在列
的B1为1，所以E1只能填2，进而知道E2填1，A2填4，B2填5，则B5不能填5，那么只有E5填5，所以E3填4，B3填3，B5填4，D5填3，D3填5，D1填4，最后A1填3.
分析完毕，结果如右图所示.
5
5554444
43333322211
1112
2
5
><>∨∧∧∨∧54321E
D C B A
【答案】5
5554444
43333322211
1112
2
5
><>∨∧∧∨∧54321E
D C B A 。

【例 9】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但
不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。

3
3
>∧
∧
<A B C D E
123
45
∧
∨
>
<>
【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 这道题是一道数独游戏的变体，我们称之为“大小数独”。

已知数字很少，我们就要善于利用大小
关系条件。

1、 首先看E 行，因为E4<3，所以E4只能填入1或者2，又因为D4>D3>E3,再因为E5为3，所
以E3只能填入1或者2，这样，1和2就必然出现在E3和E4中，所以E1和E2只能填4和5，再根据E1>E2，我们可以知道E1为5，E2为4；
2、 再看A 行和第5列，因为A3>A4>A5且A1为3，所以A5填1或者2，同理我们知道第5列
中B2也只能填1或者2，于是我们可以确定1和2必然出现在A5和B5之中，那么4和5必然出现在C5和D5中，再根据D5>C5，我们推知C5填4，D5填5，又根据D4大于D3，我们知道D4只能填4或者5，而5已经出现在D5中，所以D4只能填4，进而确定D3只能填3，A4只能填2，A5填1，B5填2，A2填5（E5已经填入4，A2不能再填4），A3填4，E4填1，E3填2，C3填1，B4填3，B2填1，C4填5，再由于E1为5，所以B1为4，B3为5，进而C1填2，D1填1，D2填2，C2填3. 分析完毕，答案如图.
55555
44
4443332
2222
11
111
3
3
>∧∧<A B
C D
E 123
45∧∨
><>
【答案】55555
44
4443332
2222
11
1113
3
>∧∧<A B
C D
E 12345
∧∨
><>。

【巩固】 请你在下面55 表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得每行、每列、每条对角线所填
的5个数各不相同，且A 格中的数比B 格中的数大，B 格中的数比C 格中的数大，C 格中的数比D 格中的数大，E 格中的数比F 格中的数大，G 格中的数比H 格中的数大。

那么，第二行的5个数从左到右依次是 。

H
G F E D
C
B A
【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 本题基于日本比较流行的谜题“大小数独”，所不同的是，除了限制行列为拉丁方以外还限制了两
条大对角线也不能有重复数字。

所以，和解通常的大小数独相比，会有一些新的套路。

解数独的时候，一般是先分析必然成立的，如果分析不出来了再去假设。

为描述方便，将所有没有标出来的方格用小写字母标出。

根据已知的大小关系可知：
A 只能填4或5，
B 只能填3或4，
C 只能填2或3，
D 只能填1或2。

除此之外，
E 和G 都不能填1，
F 和H 都不能填5。

除此之外，观察到D 不能和A ，B ，C ，j 里面的任何一个数相同，所以D 只能和i 相同。

至此似乎无法继续分析，可以进行假设。

但是，假设哪里比较好呢？注意到本题和通常的大小数独相比，多了对角线的要求，所以中间的方格F 最特殊，可以以它为突破口。

注意，只有和中间格成“马步”的格才可能和中间格填相同的数，这很关键。

(1) 假设F 填1，则i 和j 都不能填1，这样第一行没有任何一格能填1，矛盾；
(2) 假设F 填2，则D 填1，i 填1。

第一行的2只能填在C ，从而第五行的2只能填在v 。

第三行的1只能填在p ，这样第四、五两行的1只能填在H 和w ，此时副对角线出现了D 和H 两个1，与题意不符，矛盾；
(3) 假设F 填3，则B 填4，A 填5，i 和j 填1和2。

第一行的3只能填在C ，从而第五行的3只能填在v 。

G 不能再填3或5，所以只能填2或4。

H 比G 小，而且也不能填3，所以只能填1或2。

但此时，副对角线上的j ，D ，H 三格都只能填1或2，矛盾；
(4) 假设F 填4，则B 填3，C 填2，D 填1，i 填1，E 填5。

第一行的4只能填在A ，从而第五
行的4只能填在x 。

第一行最后剩下j 填5，第四列最后剩下s 填3。

之后就非常简单了，填完之后的结果如下：
所求结果为45213。

【答案】45213。

三、幻方
【例 10】 将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于
定数k ，则中心方格中的数必为3k ÷．
【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略.
【答案】因为每行的三数之和都等于k ，共有三行，所以九个数之和等于3k ．如右上图所示，经过中心方
格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k ，四条虚线上的所有数之和等于4k ，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：
九数之和+中心方格中的数34k ⨯=， 3k +中心方格中的数34k ⨯=， 中心方格的数3k =÷
注意：例题中对九个数及定数k 都没有特殊要求．这个结论对求解33⨯方格中的数阵问题很实用．
【巩固】 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明：
2c a b =+÷（）。

b
a c
*a 2a-c
b
d 2d-b c
【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】设中心数为d (如上图)，因此每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都等于3d ，第一行中间
的数为2d b -，右下角的数为2d c -．根据第一行和第三列可求出右上图中*的数，由此可得：
323232322d c d b d a d c d c d b d a d c
d c b d a c
c a b
---=-----+=--+-+=-+=+（）（）
所以2c a b =+÷（）。

课堂检测
【随练1】 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应的数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰
好出现1、2、3、4、5、6。

（07年迎春杯初赛第8题）
【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 这也是一道逻辑推问题，它雷同于风靡一时的数独游戏。

在这个拉丁幻方中，从右上到左下的对
角线上已给出4个数字，还少了数字4和5，而4在第三列中已经出现了，所以4只能填入第一列，5则自然而然的出现在第三列。

再看自上而下的第六行，还少了数字3、4和5，而4、5在第六列出现，所以只能填3。

同理5
在第四列中已经出现了，所以5只能填入第H 列，4则自然而然的出现在第四列。

再看自上而下的第三行，还少了数字1，2，3和6，而3在第三、五、六列中已经出现了，所以3只能填入第二列，l 在第三、五列中已经出现了，所以1只能填入第六列，6在第五列中已经出现了，所以6只能填入第三列，2则自然而然的出现在第五列。

再看第六列，可确定第四行填6，第五行填2。

依次类推可以得到最后的结果，如图所示:
【答案】。

【随练2】将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【解析】为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：
9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，
化简得：a+c=10 4+6=10.
e+g=19 3+16=19，6+13=19
b+d=13 1+12=13，
f+h=15 2+13=15，3+12=15.
a，b，c，d，e，f，g，h应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10，所以只能选a+c=4+6；b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3+16；f+h=15，只能选f+h=2+13 若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.
若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e、f无值可取，使其和为27.
若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2.
若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13.
共有三个解（见图）.。