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变式与比较在小学数学概念教学中的运用

浙江省金华市环城小学 徐满珍

乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”在小学数学中有很多概念：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。所以掌握数学概念是构建数学认知结构的重要基础，同时，也是发展学生智力和培养学生数学能力的前提。

一、学生概念的获得与偏差

学生概念获得实质上就是掌握同类事物的共同的本质特征。概念形成有两个条件：一是学生自身的内部条件，即学生必须辨别概念的正反例证；二是教师方面的外部条件，教师必须对学生所提出的概念的关键特征的假设作出肯定或否定的反应，也就是说要让学生从外界获得反馈信息。然而，在学生获得数学概念的过程中会受到很多因素影响，从而产生了概念获得的偏差。在教学中，发现学生在学习数学概念时容易出现的三种错误情况：

1．扩大内涵，缩小外延。这主要是因为他们把概念的一些无关特征当成了本质特征，在概念的内涵中不仅包括概念的本质特征，还包括了非本质特征，从而扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。

例如，有些学生认为合数必须是偶数，实际上，合数可能是偶数、也可能是奇数，数的奇偶性并不是合数的本质属性。

2．扩大外延，缩小内涵。当学生没有把概念的所有本质特征完全包含在概念的内涵中，或者，没有认识到本质特征，却把非本质特征当成了本质特征，就可能扩大概念的外延。

例如，教学《梯形的认识》，教学中老师会选择一些“非标准”的梯形让学生辨别，帮助学生排除标准图形所带来的干扰，避免出现误将“上底短，下底长，腰方向（腰相等）”等非本质特征当作本质特征的片面认识。

3．混淆概念。在学习中，学生常常会把一些相似的概念搞混淆。发生这些错误的根本原因在于没有能够清晰准确地抓住概念的本质属性、排除概念的无关特征。

例如：数位与位数、体积与容积，减少与减少到等等相对应概念，存在许多共同点与内在联系。

二、抓住概念的本质进行变式

“变式”是指本质属性不变而非本质属性发生变化。变式用以说明同一个概念的本质特征相同、非本质特征不同的一组实例。这些实例都是概念的正例，但是它们在概念的非本质特征方面有变化。

(一)图形变式

如教学“平行四边形面积”时，学生通过对平行四边形的割、拼、摆，推导出“平行四边形的底等于长方形的长”，“平行四边形的高等于长方形的宽”，通过转化推导出平行四边形的面积公式。在强化概念理解的环节中，课件出示一个平行四边形中不对应的一个高和一个底，并要求大家求出它的面积。

通过交流分析，学生明确：运用公式求平行四边形的面积必须知道相应的底和高。运用变式可以使学生透过现象看到本质，避免学生形成思维定势，从而真正掌握概念。

（二）符号变式

如教学“方程”时，在这个判断是不是方程中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。

(1) 56+23＝79 (2) 23-x＝67 (3) x÷5＝4.5 (4) 44×2＝88 (5) 75÷x＝4 (6) 9+x＝123 三、运用比较，揭示概念的本质

小学数学教学中，有许多既有联系又有区别、似同实异、容易混淆的问题。在教学中适时、恰当地运用比较法，引导学生加以区别，有助于突出教学重点、突破教学难点、防止知识混淆、提高辨别能力。

在数学概念教学中，发现运用比较可以帮助学生解决两个方面的学习困难：

（一）通过比较来帮助学生明确概念的内涵和外延。

例如，在前面的“合数”概念教学中，可以引导学生分别比较所举的每一组合数实例内部的相同点和不同点，在此基础上，比较三组实例之间的相同点和不同点，从而概括出“合数”的本质特征和非本质特征，明确概念的内涵和外延。

（二）通过比较来帮助学生明确有关概念间的关系。

学生产生概念混淆往往是由于不能区分概念之间的异同，不明确概念之间的联系。在对容易混淆的概念进行比较时，要抓住它们的本质区分点。

例如，“偶数”和“奇数”的本质区分点是能否被2整除；“锐角”和“钝角”的本质区分点是大于还是小于“直角”或“90度角”。

四、变式与比较相兼，融会贯通

在变式的运用中，还应该注意培养学生的比较能力。帮助学生通过比较找出事物的本质特征和非本质特征，并在此基础上加以概括，以奠定概念的基础。通过已知条件和问题的变化，进行变式和比较，让分散的知识点趋于系统化，掌握概念间的本质关系，揭示解题规律，帮助学生学会模型判断。

例如：在“长方体和正方体”教学中，因为教学内容较为抽象，逻辑思维性强，在实际生产、生活中用途广泛的一种基础知识，由于受各方面的制约和影响，在学习过程中，常常会出现一些共性错误。所以教师的主要任务是帮助学生建立棱长、表面积、体积的模型，能分辨实际问题中，需要求什么内容。

模型1：V=abh

变式一：已知一个长方体游泳池的长是15米，宽10米，深2米，在池底铺上一层碎石，已知碎石厚0.2米。 问游泳池实际能蓄水多少？（在运用体积模型中，找到模型相对应的高）

变式二：在一个棱长为24厘米的正方体鱼缸中放入一石块（石块完全侵入水中），水面上升了1.5厘米，这个石块的体积是多少立方厘米？(上升部分水的体积就是石头体积)

模型2：C=(a+b+h)×4

一个长方体长5厘米，宽3厘米，高2厘米，它的棱长和是多少？

变式一：用彩色丝带包扎一只长7分米，宽5分米，高2分米的纸箱（连接部分忽略），这根丝带最少长

多少？

（下转第123页）

浅谈语文教学中教师角色换位 广西钦州市第一中学 裴健兰

寒假期间，我有幸听到了江苏省扬州中学王雄老师的讲座。他的课讲的津津有味，我受益匪浅。其中他说到教师与学生应该是一种什么关系时给了我们一个选择题：服务员与乘客；司机与顾客；医生与病人；警察与小偷。老师们的发言热情高涨，让我在欢愉中陷入了深思：不同的角度决定不同的行为，以此类推，我们如何在语文教学中找准教师角色换位？

近几年来，我校课堂改革正在不断向前推进，在新课堂“以学生发展为核心”的理念下，我们要真正做到：孩子们可以舒展地成长，老师们可以幸福地微笑，使钦州一中成为一所有魅力的学校，成为家长和学生神往的学校！就得不断反思课堂教学，实施角色换位、成为教与学两个角色的化身，不断促进教学质量的发展。

一、转换教师意识，建立平等的师生关系

教育家陶行知先生说过：“教育孩子的全部奥秘在于相信孩子和解放孩子。”而新型的课堂教学理念提倡教师转变教学观念，充分发挥学生的主体地位，教学生自主合作的学习方法，实现角色换位，探究课堂教学改革新模式。但真正要把以人为本放到首要位置，则需要解决教师认识上的问题。当我们学会了换位思考，我们就能思如学生所思，教学也就真正地以学生为本了。

所以教师在课堂教学上要改变过于强调知识传授的倾向，从以往的知识的传授者转变为学生学习的促进者，与学生建立一种平等的师生关系。让学生在学习中形成积极主动学习的态度，使学生在获得基础知识与基本技能的过程中形成正确的价值观，让学生感受到学习是一种享受，是一种生命的呼唤。

在换位教学实践中，发现一大批比较优秀的学生，为争取当“老师”的机会，不惜花费大量课余时间超前预习，积极备课，主动请教有关疑难问题，有效地培养了学生的自学能力，并养成了良好的学习习惯。在换位教学过程中，学生“老师”充分发挥自身潜能，综合运用所学知识，给自己同学们讲课，从而培养学生的思维应变能力和良好的学习心理素质及终身学习的能力。那么，我们的课堂也就会焕发生机了。

二、激发学生兴趣，放飞学生自由想象的空间

在课堂教学中，教师一个十分重要的任务，就是培养和激发学生学习知识的欲望。教师在应抓住学生的特点和课本内容的编排，设置情境、让学生发挥想象等形式来激发学生的学习兴趣，使学生由被动接受知识转变为主动探究知识。在教《天上的街市》这一节时，我先由学生讲述古代牛郎织女的故事，然后学生自由朗读品读诗歌，接着根据诗中“想像”内容的理解和体验活动，设置问题，让学生写一段话，描述自己所理解的诗中的想像世界。整个课堂，完全有学生来主导，我只是在一边仔细观察每一个学生，认真倾听学生的发言，及时引导、积极鼓励。学生在老师的肯定与鼓励中对自己更加充满信心，积极参与到小组讨论中。

三、想学生之所想，引导学生主动探究的意识

在课堂中，教师要经常将自己假设成一名正在学习的学生，站在他们的立场去分析，我们就能知道学生想什么。这样我们在教学过程中就能随时把握住学生的思想脉搏，创造情景，为学生寻找学习方法提供机会，触发学生寻求未知的迫切愿望，使教学环节的推进建立在学生“想学”的基础上，更好地实现与他们心灵上的沟通，引导学生主动探究。

例如，在教学《童年的朋友》一课时，课文难点是要求学生，从外祖母的外貌、语言、动作，体会外祖母这个人物的勤劳能干、开朗乐观、慈祥仁爱的特点。学生一下子很难体会这一特点。我把自己当作正在学习的学生，从他们的认知规律出发，结合学生的疑点，充分让学生读、找、悟，联系生活中的场景。学生很快就能找到锲点，从而仿照课文片段，练习说或写一个人物的外貌，突出他（她）的特点。课堂学习气氛也因此空前高涨。

是的，有些教学内容在教师看来似乎很容易，三言两语就可说清楚，但学生接受起来，就有相当大的困难。教师要深入学生角色，成为学生的化身，体察他们的困难，帮助他们实现由难到易的转化。

四、重视课后反馈，提升教学的整体机能

在教学中，我非常重视每一次作业和考试的错题。对同一道错题，我常常利用换位思考来模拟学生当时解答该问题的各种思维过程，通过分析错误的思路，我经常能找到学生产生问题的真正根源，从而在教学中做到有的放矢。有时我还在课堂上故意再“错”一次，错给学生看，错给学生思考，使学生引以为戒。这种着重呈现解题的思维过程的换位，使整个教学活动处在了活跃进取状态，学生的注意力明显提高。

由此可见，语文教师如果能适时、适量的进行换位教学，一定能开发、发展学生潜能、帮助学生掌握新的学习方法，也更加激励学生学习的积极性和主动性，促使学生的多种能力得到发展，从而提高学生的整体素质。

【参考文献】

[1]《中学生语文课程标准》

[2]刘志华《“换位教学”的几点尝试》

[3]李福灼《语文课程教学论》

（上接第108页）

模型三：S=（ab+ah+bh）×2

长方体的长是12厘米，宽8厘米，高5厘米，它的表面积是多少？

变式一：一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？

变式二：把一个棱长2分米的正方体切成两个体积相等的长方体，其中一个长方体的表面积是多少平方分米？

学生通过对具体材料、问题的比较，不仅能够较好地理解

数学知识，而且能够深化数学思维。小学生的比较能力是随着其年龄和知识的增长、智力水平的发展而逐步提高的。培养学生的比较能力，还要考虑不同年级学生的思维水平，结合具体材料由浅入深、由简单到复杂地提出比较的要求。

在小学数学教学中，教师应该充分考虑如何运用“变式”，帮助学生通过“变”与“不变”的比较，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，让所学的知识点融会贯通，加深对知识的理解；逐步清晰地认识和把握数学内容，分析数学问题，促使学生主动学习，学会学习；进而提高学生对数学概念的运用技能。

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