八年级数学下册 课后补习班辅导 分式的乘除、分式方程

分式的乘除、分式方程

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

分式的乘除、分式方程

二. 教学目标：

1. 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题.

2. 掌握分式方程的概念，掌握分式的乘除运算，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学类比转化的思想培养学生的应用意识。

三. 教学重点与难点：

重点：

1. 掌握分式的乘除运算

2. 分式方程的解法.

3. 将实际问题中的等量关系用分式方程表示

难点：

1. 分子、分母为多项式的分式乘除法运算.

2. 列分式方程解应用题

四. 课堂教学：

（一）知识要点

知识点1：约分

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。约分一定要把公因式约完。 知识点2：最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。分式运算的结果一定要化为最简因式。

知识点3：分式乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。即

B A .D

C = . 知识点4：分式除法法则：

分式除以分式把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。即

B A ÷D

C = . 知识点5：分式的混合运算 与分数混合运算类似，分式的加，减，乘，除混合运算的顺序是：先乘除，后加减。如有括号，则先进行括号内的运算。

知识点6：分式方程的定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。如：（1）

01111=--+x x （2）16

3104245--+=--x x x x 知识点7：分式方程的解法

去分母，把分式方程转化为整式方程

解整式方程

检验

知识点8：解分式方程产生增根的原因

解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。

知识点9：列分式方程解应用题

列分式方程解应用题与列一元一次方程和二元一次方程组相似。但要特别注意检验。

【典型例题】

例1. 计算： （1）2222

.2)(x y x xy y xy x x xy -+-÷- 解：原式=y x y x y x xy x y x -=-⋅-⋅-2

2)()()( （2）x x x x x x x x -÷+----+4)4

4122(22 解：原式x

4x ])2x (1x )2x (x 2x [2-⋅----+=

22222)2(14)2(44)2(4--

=-⋅--=-⋅-+--=x x

x x x x x x x x x x x 例2. 先化简，再求值：222

2222222b

a )c

b (a b a ab 2

c )b a (ab a ac ab a ---÷++--⨯--+。其中3,2,1-=-==c b a 解：原式=))(())((.)

()).((.)()(2c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a a c b a a +--+-++--+---+ =b

a c

b a +-- 当a=1，b=－2，c=－3时，原式=

621321-=-++

例3. 解下列方程：

（1）

12030+=x x （2）4

1622222-=-+-+-x x x x x （1）解：30(x+1)=20x 10x=－30 ∴x=－3

检验：当x=－3时x(x+1)≠0∴原方程的解为x= －3

（2）(x －2)2－(x+2)2

=16 ∴－8x=16 x= －2

检验：当x= －2时x 2－4=4－4=0 ∴原方程无解

注意：解分式方程时必须要验根.

解分式方程的一般步骤：

去分母（注意防止漏乘）；去括号（注意先确定符号）有同类项及时的合并同类项；移项；未知数的系数化为1；验根（解分式方程必须要验根）.

例4. 解方程：9x 18x 16x 15x 1---=---

分析：若直接去分母，运算量很大且复杂，因本题的构成比较特殊，如果方程两边分别通分，则具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简化.

解：)9)(8(1)6)(5(1)9)(8(89)6)(5(56---=---∴--+--=--+--x x x x x x x x x x x x ∴(x －5)(x －6)=(x －8)(x －9)

x 2－11x+30=x 2

－17x+72

∴6x=42

x=7

检验：当x=7时(x －5)(x －6)(x －8)(x －9)≠0

∴原方程的解为x=7

仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！ 6

5879854--+--=--+--x x x x x x x x 相信你能成功！思考后，你有什么收获？

例5. 已知22221111x x x y x x x x

+++=÷-+--.试说明不论x 在许可范围内取何值，y 的值都不变。 解：∵y=1)1(22-+x x ·11

)1(+-+-x x x x =x －x+1=1 ∴y 的值与x 的取值无关

例6. 若解分式方程2x x －1 －m ＋1x 2＋x ＝x ＋1x

产生增根，则m 的值是（ ） （A ）－1或－2

（B ）－1或2 （C ）1或2 （D ）1或－2 解：2x 2(x+1)－(x －1)(m+1)=(x+1)2(x-1)

由于只有在x=0 、1时，或－1时才有可能产生增根

∴当x=0时 m+1=－1 ∴m=－2

当x=1时 整式方程无解（舍去）

当x=－1时 2（m+1）=0 ∴m=－1

∴在m=－2 或－1时，方程产生增根。

例7. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行速度和骑自行车的速度。