1.2-空间向量基本定理-教案-2023学年高二年级数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理
1. 教学内容
空间向量基本定理及其相关概念（基底、基向量、单位正交基、正交分解）和定理的
简单应用.
2. 教学目标
（1）通思考现实情境问题，学生能借助实物图形进行联想，感受引入空间向量基
本定理的必要性，发展学生的数学抽象和直观想像素养.
（2）通过学生对教师提出的问题的思考、讨论等活动，能提高学生解决问题的能
力和数学表达、交流的能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.
（3）通过实例，能加深学生对空间向量基本定理的理解，发展学生的数学运算素
养.
3. 教学重点与难点
教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用.
教学难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择.
4. 教学过程设计：
引导语：同学们好！前面我们学习了空间向量的概念及其表示（可以用一条有向线
段来表示），空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.知道任意两个共线的空间
向量a →，b →(b →≠0→)的充要条件是a →=λb →;也知道，如选任意两个不共线的向量a
→，b
→作为基底(我们常常选择两个互相垂直的单位向量作为基底)，则可以利用平面向量的基本定理，所有与之共面的任意一个向量p →都可以用这个基底唯一地示出来：p
→=x a →+y b
→.这为向量的运算化归为数的运算奠定了基础，这也是平面向量最数学化的表示方法.同时我们也知道任意两个空间向量是共面的，任意三个向量空间向量不一定是不
共面的.例如，在我们的教室中，我们若选定地面上的任意两个位置A ，B ，可以得到从
墙角处为起点，以A,B 为终点的两个向量，它们可以表示地面上的任意一个位置，但是，
它们还可以表示天花板上某盏灯的位置（也就是从墙角出发到等处的向量）吗？
平面内的任意一个向量p →都可以用两个不共线的向量a →,b
→表示（平面向量基本定理），这样，同一平面上所有的向量的位置关系和数量关系的研究就可以转化为对有限
的两个不共线的向量的关系的研究。

类似地，前面我们学习了空间向量，知道任意一个
空间向量可以用一条有向线段来表示，但是这并不是空间向量最数学化的表示方式，为
了研究空间中的所有向量的位置关系和数量关系，能否把它们也转化成有限的少数几个
向量的关系来研究呢？由此，你想要提出什么问题来进行研究？我们能否利用类比的思
想，也用较少的几个向量去表示空间中的所有向量呢？这节课我们就来研究一下这个问
题.
问题1 在平面向量的学习中，我们知道利用平面向量基本定理可以确定空间中一
个点的位置.那么在空间向量的学习中，如何确定空间中一个点的位置呢？例如，在我
军近期在台海的军演中出动了很多战机，你如何确定空中一架战机的位置呢？
师生活动：学生分组讨论后自由发表意见，教师追问：如果在地面上选定三个地点，
以其中一个地点为起点，另两个地点和战机所处的位置为终点，得到三个向量，战机所
处的位置对应的向量能用地面的两个向量表示吗？
设计意图：让学生引起认知冲突，感受引入空间向量基本定理的必要性.同时，也
让学生熟悉在空间中利用空间向量的自由性如何做出一个向量等于一个已知向量.
问题2 空间中的任意一个非零向量a
→可以表示空间中的所有向量吗？任意两个不共线的向量呢？
师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.教师可以
在此穿插复习共线向量的充要条件和向量加法的三角形法则、共面向量以及平行四边形
法则和平面向量基本定理.
(1) 空间向量共线:对于任意两个空间向量a →，b →(b →≠0→),a →//b
→⟺ 存在实数λ ，使 a →=λb
→ (2) 平面向量基本定理：如果两个向量a →，b →不共线，那么向量p →与向量a →，b
→共面⟺ 存在唯一的有序数对(x,y ) ，使 p →=x a →+y b
→.
师生明确：任意一个空间向量不能用两个不共线的向量来表示.任意两个不共线的
向量只能表示与之共面得得向量（空间两个不共线向量的充要条件或反证法）.教师随
后增加以下追问： b
a
a b N p A C
B O A
M B
追问1：在长方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇中，我们可以选定底面矩形ABCD 中两个互相垂直的向量DA,→ DC → 作为基底来表示向量ＤB ＇
→ 吗？为什么？ 追问2：空间中至少需要多少个向量才能用来表示空间中的所有向量呢？你有什么猜想？
追问3 :共面的任意三个向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？
追问4： 既然共面的任意三个向量不可以表示空间中的所有向量，那么任意三个不共面的向量可以表示空间中的所有向量吗？我们研究一个未知的问题，往往是从特殊的情形着手开始研究，你认为三个不共面的向量最特殊的情形是什么？
师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.对于追问1，由学生观察向量DB′
→ 与底面不在同一个平面内，不能利用共面定理,反之，如能用底面的两个不共线的向量表示，则共面.由追问2，学生可以猜测应该要三个向量才可能表示空间中所有的向量.通过追问3,学生观察图2，共同明确：共面的任意三个向量（即使两两不共线）也只能表示与之共面的向量，不可以表示与之不共面的任意一个空间向量..
设计意图：通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，“为什么在空间中必须要有三个向量才可能表示空间所有的向量”，使学生积累基本的活动经验，由追问4，引出空间向量基本定理的特殊情形,并引出下一个问题.
问题3 任意三个互相垂直的向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？
师生活动：学生分小组讨论交流，自由发表意见.然后教师利用以下追问引导学生思考：
追问1：假设空间向量ＤB ＇
→ 是作用于点D 的一个力，从力的作用效果的角度我们可以将它进行力的正交分解，分解为水平和竖直两个方向上的分力，也就是向量ＤB → 和ＤD ＇→ 的方向.由此可以启发你怎样将向量ＤB ＇→ 分解吗？ 图2图1A B A'B'
D'C'
D
C
追问2 ：我们知道向量的投影可以把空间向量的问题转化为平面向量的问题，怎样才能把不与底面平行的向量ＤB ＇
→ 转化为与底面平行的向量呢？转化的关键是什么？你有什么猜想？
追问3：你可以选择三个两两垂直的向量来表示空间向量ＤB ＇→ 吗？如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ ,你能用它们来表示空间向量ＤB ＇
→ ，更进一步地去表示空间中的任意一个向量吗？
追问4 如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇
→ 来表示空间中的任意一个向量时，你是如何让思考的？任意一个空间宪向量如何表示？它与已知的三个向量会存在哪几种位置关系？可以转化为已知的问题吗？可以用平面向量基本定理吗？
学生有困难时，教师引导学生观察，注意到ＤB ＇与ＤD ＇是共面的，故可以用平面向量基本定理，而ＤB ＇与ＤD ＇所确定的平面与另两向量DA → ,DC
→ 所确定的平面由于有一个交点D,从而有一条过该点D 的直线，这条直线同时在两个平面内，所以非常关键，它是联系ＤD ＇与DA → ,DC
→ 的纽带，然学生思考，如何转化才能用到旧知：平面向量基本定理。

追问5 你能将这个猜想一般化并写出文字叙述和符号语言吗？你能证明这个猜想吗？
猜想：空间中的任意一个向量都可以用三个两两垂直的向量表示。

符号语言：设i →，j →，k
→是空间中三个两两垂直的向量，并把它们平移到共同的起点O,对于任意一个空间向量p →,你能用i →，j →，k
→表示出来吗？你能写出这个证明过程吗？
师生活动：学生思考后，教师引导学生，画出图形，写出证明。

从而有:一般地，空间中的任意一个向量都可以用三个两两垂直的向量表示. 图3p j i k
Q
P
O
设i →，j →，k
→是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共点O.对于任意一个空间向量p →=OP
→ ,设向量OQ → 为向量OP → 在i →，j →所确定的平面上的投影向量，则由向量加法的三角形法则有OP
→ =OQ → +QP → . 又由向量QP → 与k →共线，由向量共线的充要条件有，存在唯一的实数z ，使得QP → =z k
→,从而，OP → =OQ → +z k →.而在i →，j →所确定的平面上，向量OQ → 与i →，j
→共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y )，使得
OQ → =x i →+y j →.从而，OP → =OQ → +z k →=x i →+y j →+z k
→.
因此，如果i →，j
→，k →是空间中三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p →，存在唯一的有序实数组(x,y,z )，使得 P →=x i →+y j →+z k
→. 我们称x i →,y j →,z k →分别为向量p →在i →，j →，k
→上的分向量. 追问： 你能证明这个向量表示式中系数的唯一性吗？
假设除(x,y,z )外，还存在有序实数组(x′,y′,z′)，使得P →=x′i →+y′j →+z′k
→,则 x i →+y j →+z k →=x′i →+y′j →+z′k
→,不妨设x′≠x ,则 (x′−x )i →=(y −y′)j →+(z −z′)k →,两边同除以x′−x ,得 i →=y−y′x′−x j →+z−z′
x′−x k →.由平面向量基本定理的充要条件可知，i →，j →，k
→共面，这与已知矛盾，所以有序实数组(x,y,z )是唯一的. 设计意图：积累学生的基本活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.
问题4 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a →，b →,c →代替两两垂直的向量i →，j →，k
→，你能得出类似的结论吗？ 师生活动：学生分小组讨论交流，引导学生用三枝笔和书本摆一摆，用笔的一个端点代表定点O.另一个端点代表空间的任一点P ，另两枝笔代表另两个向量，转动点P 的笔，观察这笔代表的向量能否转化到另两个向量所确定的平面，能否两次应用平面向量基本定理？也y j
x i z k
图3p j i k
Q
P O
可以用GGB 动态表示点P 的任意性.由学生得出结论：空间中的任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示.然后教师利用以下追问引导学生证明结论：
追问1：你能回顾平面向量基本定理的证明过程吗？从问题4的证明过程中你受到什么启发？
追问2：你能说出这个证明的关键是什么吗？
追问3：你能证明表达式的唯一性吗？
追问4：你能类比平面向量基本定理的内容，写出空间向量基本定理的内容吗？ 追问5 空间向量基本定理的意义或作用是什么？
证明：如图，设a →，b →,c →不共面，过点O 作OA → =a →,OB → =b →,OC → =c →,OP → =p
→;过点P 作直线PP ＇平行于OC ，交平面OAB 于点P ＇；在平面OAB 内，过点P ＇作直线P ＇A ＇//ＯＢ，P ＇B ＇//OA ，分别与直线OA,OB 相交于点A ＇，B ＇.于是存在三个实数x,y,z ，使得 OA′→ =x OA → =x a
→,
OB′→ =y OB → =y b
→, OC′→ =z OC → =x c → 从而 OP → =OA′
→ +OB′→ +P′P → ==x OA → +y OB → +z OC → . 所以p
→=x a →+y b →+z c →. 证明唯一性：假设除(x,y,z )外，还存在有序实数组(x′,y′,z′)，使得P →=x′a →+y′b →+z′c →,则
x a →+y b →+z c →=x′a →+y′b →+z′c
→,不妨设x′≠x ,则 (x′−x )a →=(y −y′)b →+(z −z′)c →,两边同除以x′−x ,得 a →=y−y′x′−x b →+z−z′
x′−x c →.由平面向量基本定理的充要条件可知，a →，b →，c
→共面，这与已知矛盾，所以有序实数组(x,y,z )是唯一的. 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.
定理 如果三个向量a →，b →，c
→不共面，那么对任意一个空间向量P →，存在唯一的有序实数组(x,y,z )，使得P →=x a →+y b →+z c →. b
b A
c a
c
P'c 图7
图6图5
O P
P'
O O P C B'A'
a B
b a
教师引导学生学习相关的几个概念.如果三个向量，a →，b →，c
→不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{P →|P →=x a →+y b →+z c →,x,y,z ∈R}.这个集合可看作由向量 ，a →，b →，c →生成的，我们把 {a →,b →,c
→} 叫做空间的一个基底，，a →，b →，c
→都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
追问5 空间的基底有多少个？需要满足什么条件呢？
任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底.空间的基底有无穷多个.
教师组织学生阅读课本12页，明确几个概念。

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 {i →,j →,k →}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a
→，均可以分解为三个向量 x i →，y j →，z k →, 使 a →=x i →+y j →+z k
→.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
空间向量基本定理的意义：由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来,进一步地，所有空间向量的运算都可以转化为基向量的运算，这为解决问题带来了方便.
设计意图：积累学生的基本活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.
问题5：平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系和区别是什么?
联系：无限多个向量可以通过有限个基向量的线性运算唯一表示.
区别：基底中基向量的个数不同，空间的维数不同.
追问：一维空间类似的定理是什么？它的基底是什么？
空间向量的共线定理，基底只有一个向量构成，是一个非零向量.
教师可以用表格比较它们的区别与联系。

然后引导学生思考例1，感受空间向量基本定理的意义.
例1 如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上,点P 在线段AN 上,且MN=12ON ，AP=34AN,用向量OA → , OB → ,OC → 表示OP → .
分析：OA → , OB → ,OC → 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{OA → ,OB → ,OC → }，利用向量加法的三角形法则，OP → 可以用基底{OA → ,OB → ,OC
→ } 表示出来. 解：OP → =OA → + AP → =OA → +34AN → =OA → +34(ON → −OA → )=OA → +34ON → −34OA → =14OA → +34(13OB → +13OC → )=14OA → +1
4OB → +1
4OC → . 设计意图：积累学生的基本活动经验，发展学生的数学运算能力.
问题6 你能说一说空间向量基本定理的证明思路吗？证明的关键是什么？你从这个定理中学到了什么数学思想方法？你能体会到这种思想的数学之美吗？你现在对确定空间中任意一点的位置有什么想法了吗?可以课后思考讨论。

师生活动;先由学生发表意见，然后教师纠错并明确：、1任意三个不共面的向量都可以作为基底，基底一定都是非零向量。

2、 在具体问题中通常选择长度和夹角已知的三个不共面的向量作为基底。

3、蕴含的思想方法是无限转化为有限的思想，化繁为简4、空间向量基本定理是将空间向量的运算化归为数的运算的基础，它告诉我们，虽然空间向量是无穷的，但它们都可以表示成三个不共面向量(即基底)的线性组合,于是就可以利用这个基底表示空间图形中的任意元素，并使这些元素之间建立起“标准化的联系”，从而可以通过代数运算解决立体几何问题。

这个过程是“程序化”的,只要我们根据问题中几何图形的特征选定基底，那么任何几何问题都可以得到解决，这就是空间向量基本定理的“基本”所在。

设计意图：提炼证明的思路，深化理解定理蕴含的思想方法.
5 目标检测设计
1.2 课堂目标检测 课本12页的练习1，2，3
1 设计意图：考察学生对基底的理解，要求不共面的三个向量才能作为基底.
2设计意图：考察考察学生对基底的理解，不是基底的三个向量必然共面，否则这三个向量能作为基底. 图8A C B
O
M
N
P
3设计意图：考察考察学生对基底的理解，空间向量的三角形法则的运用和加深学生对空间向量基本定理的理解.
1.2 课后作业：课本15页1，2，3，4
1 设计意图：考察学生对基底的理解，要求不共面的三个向量才能作为基底，反之，不能构成基底说明三个向量是共面的。

2设计意图：考察学生对基底的理解，对空间向量基本定理的理解。

3，4设计意图：考察考察学生运用空间向量的线性运算的运算法则将所求的空间向量用一个给定的基底来表示。

和加深学生对空间向量基本定理的理解。