理论力学(第三版)第1章部分作业讲解

r
(1)2 (2)2,4x2 (a2 y2 ) (x2 3y2 a2 r2 )2
轨道方程
x r sin a sin , y a cos
由题意， t,
所以(*) r cos ,则x r sin r tan cos, y r cos
2a cos
2
2
得v r cos2 4sin cos sin( ) 2 cos
i jk
F
x
y
z
Fz y
Fy z
i
Fx z
Fz x
j
Fy x
Fx y
k
Fx Fy Fz
可得(1)(2)均是保守力. 对保守力求势能为
(1) V 5bx4 y2 6abxyz2
(2)V
F
dr
x
Fxdx
y
Fydy
z
Fz
dz
x0
y0
z0
1.38）已知作用在质点上的力为
l
k
l0
(3系)
中的加速度安过来求得. 设 t =0时刻小球在圆盘上的位置为A, t 时
间后到达B, A' B vt (图). 在静止系看来, 小球最初具有两个速度
分量: 径向分量 vr=v和角向分量v=r. t 时间后圆盘转过角度
=t, v分量使小球走到 A'. 如果没有加速度, 此速度分量与vr分 量合成, 把小球带到 B'点. 然而质点实际上到达了B点. 位移B'B是由
y y0
dy,
v2
v02
2g( y0
y)
例2 (质点运动方程) 小雨点与大雨点相比, 在空中哪个降落的比 较快? 空气阻力为f阻=CSv2. S为雨点表面积, v为雨点速度, C是 常数.
解: 当雨点在云层形成以后, 即在重力作用下加速降落. 随着雨点 速度的加大, 空气阻力由 0 加大到与雨点的重力mg抗衡
|
π 4
mga
cos
π 4
cos
0
0,
常识是 =0稳定, 为什么找不到? 最小点.
例5 (势能曲线) 圆柱面上一个边长为a的方块, 试研究平 衡与稳定性.
解: 设圆柱中心势能V=0, 则方块的 势能为
V
(
)
mg
a 2
r
cos
r
sin
r
O
一阶导数为
V '( ) mg a sin r cos
m
3a 3
2π 2π
3a 4g
,
x'
a(1
cos t ), T
2mg1
1 3
cos 2t
g
3a
1.31)假定单摆在有阻力的介质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力
与成正比, 且可写为R=2mkl, 式中m是摆锤的质量, l为摆长, k
为比例常数. 试证当k2＜g/l时．单摆的振动周期为
加速度引起的. 利用
B'
B
1 2
a(t)2
另一方面,由图可以看出
A' B vt, B' B A' B vt2
所以 a 2v
在静止系观察
O
A'
A
B
这加速度是槽边给小球的约束力造成的. 所以
B'
f ma 2mv
例4 (势能曲线) 桌面上一个边长为a的方块, 试研究平衡 与稳定性.
解: 设方块平放时其势能V=0
0.05 0.1 0.15
=0. a>2r
=0. a <2r
2 2 2 2 2
-0.15 -0.1 -0.05
0.05
0.1
0.15
=0. a =2r
部分作业讲解
1.3) 曲柄OA以匀角速绕定点O转动. 此曲柄借连杆AB使滑块B
沿直线Ox运动. 求连杆上C点的轨道方程及速度. 设AC=CB=a,
1.39)一质点受一与距离3/2次方成反比的引力作用在一直线上运 动. 试证此质点自无穷远到达a时的速率和自a静止出发到达a/4时 的速率相同.
解:已知 F(r 由动能定理
)
d
1
k r3/2
mv2
F
(r
)
dr
2
va
d
1
mv2
a
F (r) dr
2k
v 0 2
a
va / 4
d
1
的夹角保持不变. 求质点的速度随时间而变化的规律.已知初速
度为v0.
at
解: at沿切线与v同向, 由at, an确定a, a 与at 夹角
因为
an tan C
a an
at
at
dv dt
ancot , an
v2 r
所以 dv v2 cot
dt r
v
v0
1 v2 dv
t t0
cot dt
Fx a11x a12 y a13z Fy a21x a22 y a23z Fz a31x a32 y a33z 式中系数aij (i, j 1,2,3)都是常数，问这些aij应满足什么条件，才有势能 存在？如这些条件满足，试求出其势能.
解:和1.36题类似
F
Fz y
Fy z
i
2
2
所以 t 2
2h
g cos( ) cos
D
要使质点达到斜面上需要的时间最短, 上式必须有极值.即
d cos( ) cos 0
d sin( ) cos cos( ) sin
2
1.19)将质量为m的质点竖直抛上入有阻力的介质中. 设阻力与速
度平方成正比,即R=mk2gv2. 如上掷时的速度为v0, 试证此质点又落
Fx z
Fz x
j
Fy x
Fx y
k
0
a32 a23, a31 a13, a12 a21
( x, y, z )
V F dr Fxdx Fydy Fzdz
(0,0,0)
1 2
a11x2 a22 y2 a33z2 2a12xy 2a23 yz 2a13xz
CSv2 mg
此后它将不再受力, 以一定的速度作匀速直线运动. 雨点最后的 速度叫终极速度. 令
S πr 2 , m 4πr3water / 3
终极速度为
v 4rgwater r
3C
故大雨点比小雨点下落得快!
例3 (非惯性系: 科里奥利力) 如图在盘D1上沿径向开一个细槽, 槽内放个小球. 球被细线牵着, 细线跨过位于盘心的一个滑轮,与
第一章概念回顾
• 质点运动描述: 位移, 速度, 加速度, 轨道 • 牛顿运动定律, 质点动量定理及守恒定
律 • 质点角动量定理及守恒定律 • 质点动能定理及机械能守恒定律 • 保守力与势能曲线
例1 (质点运动学) 由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线, 质点
穿在此钢丝上,可沿着它滑动(图). 已知其切向加速度为－gsin,
1.6)一质点沿矢径及垂直于矢径初速度分别为r及 ,式中 及是常数. 试证其沿矢径及垂直于矢径的加速度为
2r 2 2
r
r
证明: 因为 vr r, v r
所以a
v dv
ri j
ri
r
j
j
i
dt
r
i
r
j
因为
r
所以a
2r
2
r
2
i
r
j
1.11)质点沿着半径为r的圆周运动, 其加速度矢量与速度矢量间
2
由作图我们知道平衡位置是
=0. 在这一位置, 二阶导数
为
V
'
'
(
)
|
0
mg
r
a 2
-0.15
-0.1
-0.05 2.0998
0.05
0.1
0.15
1.9012 1.901
2.0996
1.9008
2.0994
1.9006
2.0992
1.9004
2.099
1.9002
2.0988
-0.15 -0.1 -0.05
2 2 02 k 2
l g k 2l
1.36 ) 检验下列的力是否保守力, 如是，则求出其势能.
(1)
Fx
6abz3 y
20bx3
y
2
,Fy
6abxz2
10bx4 y, Fz
18abxyz2;
(2) F i Fx (x) jFy ( y) kFz (z).
解:检验力场是否保守力场, 用∇×F是否恒为零
解:
2π m dv mg sin 2mkl
l g k 2l
dt
因为 dv l
dt
得到l g sin 2kl sin~ 2k g 0
l
Rv mg
设g/l=02为固有频率, 在k2< g/l情况,即阻力较小时,上述方程解为
A0et cos(t ), 02 k 2
2
固联在底座D2中心的一个弹簧相连.当小球在盘心时, 弹簧处于自 然长度l0. 整个装置固定在底座D2上, D2可绕中心竖直轴自由旋转.
设所有接触处都是光滑的. (1)当底座带着整套装置以匀角速 旋
转时, 弹簧的劲度系数 k 为多少可以使小球处于平衡? (2)如果此
时给小球一个径向初速度 v, 它将作怎样的运动? (3)在小球运动
至投掷点时的速度为
v1
v0 1 k 2v02
x
x R
xR x
证: 将运动分为上抛和下落两个阶段
mg
mg
o 上抛
o 上落
: mx mg mgk2x2
dv dx
dx dt
g(1
k 2v2)
h
1 2k 2g
ln
1
k 2v02
: mx mg mgk2x2
dv dx
dx dt
g(1
k 2v2)
h
1 2k 2g
ln
1
k 2v12
1 1 k 2v12
1 k 2v02 , v1
v0 1 k 2v02
1.24)质量为m与2m的两质点, 为一不可伸长的轻绳所联结, 绳挂
在一光滑的滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a、劲度系数k为
mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点. 在开始时, 全体保持 竖直, 原来的非弹性绳拉紧, 而有弹性的绳则处在固有长度上. 由 此静止状态释放后, 求证这运动是简谐的, 并求出其振动周期τ及 任何时刻两段绳中的张力T及T′.
AOB=, ABO=.
解:研究对象为C, 建立直角坐标系如 y
A
图, 则C点的坐标从图中可以得出
a
r
C
x r cos a cos , y a sin
a
因rsin 2a sin (*),故sin 2 y (1)
r
O
B
x
又a cos a2 y2 ,
得 cos x
a2 y2 (2)
r
1 v
1 v0
cot
r
t
1.16)宽度为d的河流, 其流速与到河岸的距离成正比. 在河岸处, 水 流速度为零, 在河流中心处其值为c. 一小船以相对速度u沿垂立于 水流的方向行驶, 求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点.
解: 设船为动点, 河水为动系, 岸为静止系.沿一岸为x坐标轴方向
向右, 则相对速度vy=u, 牵连速度vx=2cy/d, 或者vx=2c(d-y)/d.
是曲线切向与水平方向的夹角. 试求质点在各处的速度.
解: 取直角坐标系如图. 令ds 为
y
质点移动的弧长, 在y方向上投影
为dy =ds sin. 这里只用到切向加
速度
dy ds
at
dv dt
g sin
g
由此
O
x
dv
g
sin
dt
g
dy
dt
gdy
ds
1
gdy
/
v
ds
dt
积分
v
vdv g
v0
V
( )
mmgga2a2ccoossa2a2ssinin, ,
0 π
2
0 π
2
得到
V
( )
1 2
mgacos
cos(
π 2
)
mga cos π cos( π )
44
V '( ) mgacos π sin( π )
44
显然在极值点(平衡点) = /4, =/4, 不稳定性
V
V
'
'
(
)
当
y d ,
2
y
vx
dx dt
2c d
y
x 0
dx
t 0
2c d
ydt
du
c
考虑 y ut, 得到 x cu t 2 cy2
x
d du
当
y
d 2
,
vx
2c(d
y) / d
从而当 y d时,
并且当 y d / 2时 x cd / 4u 所以x 2c y c y2 cd
u ud 2u
证: 取坐标轴向下为正. 对应三点表示如图
mx1 T 'mg T 2mx2 2mg T mx3 mg T ' 且 x2 x1, x3 x1 x'
T ' kx' mg x' a
m 2x1mx1mag2xm'gmgT T
mx1
x'
mg
mg a
x'
x2
T 2m
T
m T’
T’
x1 x
则 x' 4g x' 4g
mv2
a
/
4 F
(r
)
dr
2k
va 0 2
a
a
va va/ 4
1.40) 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动, 质 点的质量为m, 比例系数为k. 如此质点从距原点O为a的地方由 静止开始运动, 求其达到O点所需的时间.
x 2c d c d 2 cd cd
u ud
2u 2u
1.18)一质点自倾角为的斜面的上方O点, 沿一光滑斜槽OA下降.
如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短, 问斜槽OA与竖直线所
成之角 应为何值?
O
解: 过O作OBDA, 令OB=h
h
COB D
OA h
cos( )
B
CA
又 OA 1 at 2 1 gt 2 cos
中, 槽边给小球的力 f 为多少?
解: (1)当整个装置旋转时, 在随动的旋转参
考系看来, 小球受到一个惯性离心力mr2 (m
v
为小球质量), 这里小球到圆心的距离r也就是
弹簧的伸长量l. 所以两力平衡条件是
mr2 kl kr k m2
r v
(2) 以上平衡条件与 r 无关, 这意味着小球在 距圆心任何径向位置都不受力. 故当它有径 向速度v时, 将相对于圆盘作匀速直线运动.