简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
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解：(1 )A6 1 2 0 m , /3 ，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
m
2. 势能
Ep
1 2
kx2
1 kA2 cos2( t )
求 质点运动的周期和振幅。
A
B
解
O 质点在A，B 两处速率相同，因此两点对称
x
A
v ao
t = 0 时刻
x
v Acos( t π / 2) A sin( t )
a 2 Acos( t )
A 2 cos( t )
圆周运动小球
x Acos(t )
位置
x 轴投影
速度
加速度
坐标
速度 简谐振动物体
加速 度
t 时刻 t +
A
t = 0 时刻
x
o
x
3. 由初始条件求振幅和初相位
熟练掌
握
x0 v0
x Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
A
x02
v
2 0
2
初位移 x0 Acos 初速度 v0 ω Asin
tan1( v0 ) x0
注意: 确定 的象限
例： 一质点作简谐振动，速度的最大值 vm3cms-1 ，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有 负最大值，求振动表达式． 解： x = 0.01cos(t + )
vm = A = 3⇒ = 3
π x = 0.01cos(3t + ) m
2
三、旋转矢量法
熟练掌握
y
如图所示： 再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
质点运动的周期和振幅。 注意: 确定 的象限
A
x = 2n
矢量 绕 再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
原点匀A角速 x 0 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具有相同的速率；
E pmax
1 kA2 2
O
x
2
E pmin 0
3. 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
（简谐振动系统机械能守恒）
例：一质点做谐振动，其振动方程为:
x 102cos(t /3 /4)，(SI)
（1）振幅、周期、频率及初位相各为多少？ （2）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （3）求质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
两个简谐振动 x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
1. 超前和落后
x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )
A2A1Ox Nhomakorabea2. 同相和反相
x
A1
x1
A2
x2
T
o
- A2
t
-A1
= 2n
两运动步调相同, 称同相
A2
A1
O
x
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
= (2n+1)
两运动步调相反 ,称反相
A2
O
x
A1
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距
离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具
有相同的速率；再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
9.1 简谐振动
一、弹簧振子
1. 受力特点
线性恢复力 F kx
2. 运动方程
据牛顿第二定律得：
若令 ω k m
kx
m
d2 dt
x
2
上式改写为
d2 dt
x
2
2
x
0
解得 x(t) Acos(ω t )
二、简谐振动
熟练掌握
1. 运动方程 x(t) Acos(ω t )
2. 三个特征量
1) 振幅 A 2)周期 T 和频率 v
= 2v = 2 /T 3) 初相位
(t+) 是 t 时刻的相位, 是 t =0 时刻的相位即初相。
速度
加速度
x(t) Acos(ω t ) v Asin(t ) a 2 Acos( t )
相位反映了物 体某一时刻的
运动状态
例：一质点做谐振动，其振动方程为:
如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具有相同的速率；
A 例：一质点做谐振动，其振动方程为:
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式．
( A ) (或 x1 比 x2 落后 = 2n (或 x1 比 x2 落后
投影点的运 (或 x1 比 x2 落后 )
x2 比 x1 超前
动为简谐运 （3）求质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间。 = 2 v = 2 /T
动，有： (或 x1 比 x2 落后 )
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x Acos(t )
三、旋转矢量法 A
t 时刻
2A
A t
周期 T = 4 2 = 8
率逆时针旋 简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
质点运动的周期和振幅。
转。其端点 例：一质点做谐振动，其振动方程为:
五、两个同频率简谐运动的相位关系
在 x轴上的 ，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式．
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式． 其端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动，有：
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
m
2. 势能
Ep
1 2
kx2
1 kA2 cos2( t )
求 质点运动的周期和振幅。
A
B
解
O 质点在A，B 两处速率相同，因此两点对称
x
A
v ao
t = 0 时刻
x
v Acos( t π / 2) A sin( t )
a 2 Acos( t )
A 2 cos( t )
圆周运动小球
x Acos(t )
位置
x 轴投影
速度
加速度
坐标
速度 简谐振动物体
加速 度
t 时刻 t +
A
t = 0 时刻
x
o
x
3. 由初始条件求振幅和初相位
熟练掌
握
x0 v0
x Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
A
x02
v
2 0
2
初位移 x0 Acos 初速度 v0 ω Asin
tan1( v0 ) x0
注意: 确定 的象限
例： 一质点作简谐振动，速度的最大值 vm3cms-1 ，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有 负最大值，求振动表达式． 解： x = 0.01cos(t + )
vm = A = 3⇒ = 3
π x = 0.01cos(3t + ) m
2
三、旋转矢量法
熟练掌握
y
如图所示： 再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
质点运动的周期和振幅。 注意: 确定 的象限
A
x = 2n
矢量 绕 再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
原点匀A角速 x 0 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具有相同的速率；
E pmax
1 kA2 2
O
x
2
E pmin 0
3. 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
（简谐振动系统机械能守恒）
例：一质点做谐振动，其振动方程为:
x 102cos(t /3 /4)，(SI)
（1）振幅、周期、频率及初位相各为多少？ （2）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （3）求质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
两个简谐振动 x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
1. 超前和落后
x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )
A2A1Ox Nhomakorabea2. 同相和反相
x
A1
x1
A2
x2
T
o
- A2
t
-A1
= 2n
两运动步调相同, 称同相
A2
A1
O
x
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
= (2n+1)
两运动步调相反 ,称反相
A2
O
x
A1
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距
离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具
有相同的速率；再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
9.1 简谐振动
一、弹簧振子
1. 受力特点
线性恢复力 F kx
2. 运动方程
据牛顿第二定律得：
若令 ω k m
kx
m
d2 dt
x
2
上式改写为
d2 dt
x
2
2
x
0
解得 x(t) Acos(ω t )
二、简谐振动
熟练掌握
1. 运动方程 x(t) Acos(ω t )
2. 三个特征量
1) 振幅 A 2)周期 T 和频率 v
= 2v = 2 /T 3) 初相位
(t+) 是 t 时刻的相位, 是 t =0 时刻的相位即初相。
速度
加速度
x(t) Acos(ω t ) v Asin(t ) a 2 Acos( t )
相位反映了物 体某一时刻的
运动状态
例：一质点做谐振动，其振动方程为:
如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具有相同的速率；
A 例：一质点做谐振动，其振动方程为:
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式．
( A ) (或 x1 比 x2 落后 = 2n (或 x1 比 x2 落后
投影点的运 (或 x1 比 x2 落后 )
x2 比 x1 超前
动为简谐运 （3）求质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间。 = 2 v = 2 /T
动，有： (或 x1 比 x2 落后 )
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x Acos(t )
三、旋转矢量法 A
t 时刻
2A
A t
周期 T = 4 2 = 8
率逆时针旋 简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
质点运动的周期和振幅。
转。其端点 例：一质点做谐振动，其振动方程为:
五、两个同频率简谐运动的相位关系
在 x轴上的 ，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式．
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最大值，求振动表达式． 其端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动，有：