常见高中数列通项公式及求和问题的求解方法

数学学习与研究㊀２０２３ １５
常见高中数列通项公式及求和问题的求解方法
常见高中数列通项公式及求和问题的求解方法Һ黄成兴㊀（滇西科技师范学院，云南㊀临沧㊀６７７０００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ数列是每年数学高考的必考点和难点，高中生要想解决数列问题就要先学会求解数列的通项公式，进而学会解决数列求和问题的方法．文章归纳总结了高中常见的数列通项公式及数列求和的方法，以期为高中一线数学教师提供一些教学参考，也为高中生学习数列提供一些方法指导．
ʌ关键词ɔ高中数列；通项公式；数列求和ʌ基金项目ɔ滇西科技师范学院２０２２年校级科研项目 新时代边境地区国门高校师范生教学技能培养策略研究 以滇西科技师范学院为例 （ＤＸＸＹ２０２２０８）
一㊁常见高中数列通项公式的求解方法
（一）定义法求数列通项公式ａｎ
等差数列的通项公式：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ；ａｎ＝ａｍ＋
（ｎ－ｍ）ｄ；ａｎ＝ｋｎ＋ｂ（关于ｎ的一次函数），其中ｋ＝ｄ，ｂ＝ａ１－ｄ．
等比数列的通项公式：ａｎ＝ａ１ｑｎ－
１；ａｎ＝ａｍｑｎ－
ｍ．
例１㊀（２０２０㊃全国卷Ⅲ（文）㊃１７节选）设等比数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＝４，ａ３－ａ１＝８．求｛ａｎ｝的通项公式．
解析㊀设｛ａｎ｝的公比为ｑ，则ａｎ＝ａ１ｑｎ－１
．
由已知得，
ａ１＋ａ１ｑ＝４，
ａ１ｑ２－ａ１＝８，
{
解得
ａ１＝１，ｑ＝３，
{
所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ－
１，ｎɪＮ∗．
（二）由ａｎ与Ｓｎ的关系求数列通项公式ａｎ
ａｎ与Ｓｎ关系的应用是高考的常考内容，若数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为ｓｎ，通项公式为ａｎ，则ａｎ＝
Ｓ１，ｎ＝１，
Ｓｎ－Ｓｎ－１，ｎȡ２．
{
例２㊀（２０１６㊃全国卷Ⅲ（理）㊃１７节选）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝１＋λａｎ，其中λʂ０．证明：｛ａｎ｝是等比数列，并求其通项公式．
证明㊀由题意得
①当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１＋λａ１，故λʂ１，ａ１＝
１
１－λ
，ａ１ʂ０．
②当ｎȡ２时，
Ｓｎ＝１＋λａｎ，（ⅰ），
Ｓｎ－１＝１＋λａｎ－１，（ⅱ）
{
由（ⅰ）－（ⅱ），得ａｎ＝λａｎ－λａｎ－１，所以（λ－１）ａｎ＝λａｎ－１，所以ａｎ＝λ
λ－１ａｎ－１
，所以
ａｎ
ａｎ－１＝λλ－１
，由ａ１ʂ０，λʂ０，λʂ１，得数列｛ａｎ｝是首项为１１－λ
，公比为
λ
λ－１
的等比数列，所以ａｎ＝１１－λλλ－１æèçöø
÷ｎ－
１
（∗），当ｎ＝１时，也满足（∗），所以ａｎ＝１１－λλλ－１æèçöø
÷ｎ－
１
．（三） 累加法 求数列通项公式ａｎ
累加法 ，适用于已知ａ１，且ａｎ－ａｎ－１＝ｆ（ｎ），求ａｎ的类型，即
ａ２－ａ１
＝ｆ（２），ａ３－ａ２
＝ｆ（３）， ａｎ－ａｎ－１＝ｆ（ｎ）ìî
í
ïïïïïï⇒ａｎ－ａ１＝ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ ＋ｆ（ｎ）⇒ａｎ＝ａ１＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ ＋ｆ（ｎ）．
例３㊀（２０１９年山东㊁湖北部分重点中学联考）已
知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ１＝２，ａｎ＋１＝ａｎ＋２ｎ－
１＋
１，则ａｎ＝
．
解㊀因为ａ１＝２，ａｎ＋１＝ａｎ＋２ｎ－
１＋１，所以ａｎ＋１－ａｎ＝２ｎ－
１＋１，
所以ａ２－ａ１＝２０
＋１，ａ３－ａ２
＝２１＋１， ａｎ－ａｎ－１＝２ｎ－２＋１，ìî
í
ïïïïïï
数学学习与研究㊀２０２３ １５
所以ａｎ－ａ１＝２０＋２１＋ ＋２ｎ－
２＋（ｎ－１），所以ａｎ＝２０＋２１＋ ＋２ｎ－
２＋（ｎ－１）＋ａ１，
所以ａｎ＝
２０
（１－２ｎ－１
）
１－２
＋（ｎ－１）＋２，
所以ａｎ＝２ｎ－
１＋ｎ
（四） 累乘法 求数列通项公式ａｎ 累乘法 ，适用于已知ａ１（ａ１ʂ０），且ａｎ
ａｎ－１＝ｆ（ｎ），
求ａｎ的类型，即
ａ２ａ１＝ｆ（２），ａ３
ａ２
＝ｆ（３）， ａ
ｎａｎ－１＝ｆ（ｎ）ìî
íïïïïïïïïïï⇒ａｎ
ａ１
＝ｆ（２）㊃ｆ（３）㊃ ㊃ｆ（ｎ）⇒ａｎ＝ａ１㊃ｆ（２）㊃ｆ（３）㊃ ㊃ｆ（ｎ）．例４㊀若ａ１＝１，ｎａｎ－１＝（ｎ＋１）ａｎ（ｎȡ２），则数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝
．
解㊀因为ａ１＝１，ｎａｎ－１＝（ｎ＋１）ａｎ（ｎȡ２），所以
ａｎ
ａｎ－１
＝
ｎ
ｎ＋１
（ｎȡ２），所以ａ２ａ１＝２３，
ａ３ａ２＝３
４， ａ
ｎａｎ－１＝
ｎ
ｎ＋１，ìîíïïï
ïïï
ïïïï所以ａｎａ１＝２３ˑ３４ˑ ˑｎｎ＋１＝２
ｎ＋１，所以ａｎ＝ａ１㊃
ｎｎ＋１＝２ｎ＋１
，又因为ａ１也满足上式，所以ａｎ＝
２ｎ＋１
．（五） 构造等比数列法 求数列通项公式ａｎ
构造等比数列法 ，适用于已知ａ１，且ａｎ＋１＝ｑａｎ＋
ｂ，求ａｎ的类型．即两边同时加ｋ，则ａｎ＋１＋ｋ＝ｑａｎ＋ｂ＋ｋ，可转化为｛ａｎ＋ｋ｝为等比数列求解．其中ｋ用待定系数法确定，ａｎ＋１＋ｋ＝ｑａｎ＋ｂ＋ｋ＝ｑ（ａｎ＋ｋ）⇒ａｎ＋１＋ｋ＝ｑａｎ＋ｑｋ＝ｑａｎ＋ｂ＋ｋ⇒ｋ＝ｂ
ｑ－１
．
例５㊀（２０１４㊃全国卷Ⅱ（理）㊃１７节选）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝３ａｎ＋１．证明ａｎ＋１
２
{
}
是等比数列，并求｛ａｎ｝的通项公式．
证明㊀ａ１＝１，ａｎ＋１＝３ａｎ＋１，所以ａｎ＋１＋
１
２
＝３ａｎ＋１＋１２＝３ａｎ
＋１２æèçöø
÷，所以ａｎ＋１＋
１
２
ａｎ＋
１２
＝３．又ａ１＋
１２＝３２
，所以数列ａｎ＋１２{
}
是以３
２
为首项，３为公比的等比数列，
所以ａｎ＋１２＝３２ˑ３ｎ－１＝１２
ˑ３ｎ，所以ａｎ＝
１２ˑ３ｎ－１２＝１２
（３ｎ
－１）．（六） 构造等差数列法 求数列通项公式ａｎ
数列｛ａｎ｝既不是等比数列，又不是等差数列，递
推关系式形如ａｎ＋１＝ｂａｎ＋λｂｎ＋
１，等式两边同时除以
ｂ
ｎ＋１
，ａｎ＋１
ｂ
ｎ＋１＝ｂａｎ＋λｂｎ
＋１
ｂｎ
＋１
＝
ａｎｂｎ
＋λ，即
ａｎ＋１ｂｎ＋
１－ａｎ
ｂｎ
＝λ，所以构造数列
ａｎｂｎ
{}
是以
ａ１ｂ
为首项，以λ为公差的等差数列，从
而求出数列｛ａｎ｝的通项公式．例６㊀数列｛ａｎ｝满足ａ１＝３，ａｎ＋１＝２ａｎ＋３ˑ２ｎ＋
１，求
数列｛ａｎ｝的通项公式．
解㊀因为ａｎ＋１＝２ａｎ＋３ˑ２ｎ＋
１，所以
ａｎ＋１
２ｎ
＋１
＝
２ａｎ＋３ˑ２ｎ
＋１
２ｎ
＋１
＝
ａｎ
２
ｎ
＋３，所以ａｎ＋１２ｎ＋１－ａｎ
２ｎ＝３．又因为ａ１＝３，所以
ａ１２＝
３
２，所以数列ａｎ２
ｎ{}
是以３
２
为首项，３为公差的等差数列，所以ａｎ
２ｎ＝
３２＋３（ｎ－１）＝３ｎ－３
２
，所以ａｎ＝２ｎ３ｎ－
３２æ
è
çöø
÷㊀所以ａｎ＝２ｎ－１
（６ｎ－３）．（七）取倒数法求数列通项公式ａｎ
如果数列通项公式复杂，难以直接求解，但递推
数学学习与研究㊀２０２３ １５
关系变形化简后含有ａｎａｎ＋１项，可以利用两边同时除以ａｎａｎ＋１的方法，求出相邻两项的倒数关系，从而间接求出ａｎ．
例７㊀已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１
２，且ａｎ＋１＝２ａｎ２＋ａｎ，
求数列｛ａｎ｝的通项公式．
解㊀ａ１＝
１２，ａｎ＋１＝２ａｎ２＋ａｎ，两边取倒数得
１
ａｎ＋１
＝１２ａｎ２＋ａｎ
＝１ａｎ＋１２，所以１ａｎ＋１－１ａｎ＝１
２
．又因为
１ａ１＝２，所以数列１ａｎ{}
是以２为首项，１２
为公差的等差数列，
所以
１ａｎ＝２＋１２（ｎ－１）＝１２ｎ＋３２＝ｎ＋３２
，所以ａｎ＝
２
ｎ＋３
．二㊁常见高中数列求和方法
（一）特殊数列的求和公式１．等差数列的前ｎ项和公式Ｓｎ＝
ｎ（ａ１＋ａｎ）
２
＝ｎａ１＋
ｎ（ｎ－１）
２
ｄ．２．等比数列的前ｎ项和公式
Ｓｎ＝ｎａ１，ｑ＝１，ａ１－ａｎｑ１－ｑ＝ａ１（１－ｑｎ）
１－ｑ，ｑʂ１．ìîíïï
ïï（二）分组转化求和
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几
个等差㊁等比数列，再求解．
１．若数列｛ｃｎ｝的通项公式为ｃｎ＝ａｎʃｂｎ，且｛ａｎ｝，
｛ｂｎ｝分别为等比或等差数列，可采用分组求和法求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和．
２．若数列｛ｃｎ｝的通项公式为ｃｎ＝ａｎ，ｎ为奇数，ｂｎ，ｎ为偶数，
{
其
中数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝分别为等比或等差数列，可采用分
组求和法求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和．例８㊀已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，且ａ１，ａ２，ａ３－１成等差数列．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）若数列｛ｂｎ｝满足ｂｎ＝２ｎ－１＋ａｎ（ｎɪＮ∗），求
数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，
解㊀（２）由（１）可以求得ａｎ＝２ｎ－
１，
所以ｂｎ＝２ｎ－１＋ａｎ＝２ｎ－１＋２ｎ－
１，
所以Ｓｎ＝［１＋３＋５＋ ＋（２ｎ－１）］＋（１＋２＋２２＋ ＋
２ｎ－
１）
＝ｎ［１＋（２ｎ－１）］２＋１－２ｎ１－２＝ｎ２＋２ｎ
－１．
（三）裂项相消法求和
当数列的通项公式可以拆分为两项之差，求和时可以相互抵消中间的许多项，首尾对应位置剩余有限项，即可求出数列的前ｎ项和．
裂项相消法求和常用的几种变形：（１）１ｎ（ｎ＋１）＝１ｎ－１
ｎ＋１；
（２）１ｎ（ｎ＋ｋ）＝１ｋ１ｎ－
１ｎ＋ｋæèçö
ø
÷；（３）１（２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝１２１２ｎ－１－
１２ｎ＋１æèçö
ø÷；（４）
１ｎ＋
ｎ＋１
＝
ｎ＋１－ｎ．
例９㊀设Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，已知
Ｓ３＝ａ７，ａ８－２ａ３＝３．
（１）求｛ａｎ｝；（２）设ｂｎ＝
１
Ｓｎ
，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．解㊀由（１）得ａｎ＝２ｎ＋１，所以Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）
２
＝
ｎ（ｎ＋２），
所以ｂｎ＝１Ｓｎ＝１ｎ（ｎ＋２）＝１２１ｎ－
１ｎ＋２æèçö
ø
÷，所以Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ ＋ｂｎ．＝
１２
[１－１３æèç
öø÷
＋１２－１４æèç
öø÷
＋１３－１
５æèç
öø
÷
＋ ＋１ｎ－１－１ｎ＋１æèç
öø÷
＋１ｎ－１ｎ＋２æèç
ö
ø
÷
]＝
１２１＋１２－１ｎ＋１－１ｎ＋２æèçöø÷＝３４－１２１ｎ＋１＋
１ｎ＋２æèçö
ø
÷．（四）错位相减法求和
当数列｛ｃｎ｝通项形如ｃｎ＝ａｎ㊃ｂｎ，其中ａｎ和ｂｎ分
别为等差数列和等比数列，此时用错位相减法求解数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和．
例１０㊀已知等差数列｛ａｎ｝满足：ａｎ＋１＞ａｎ（ｎɪ
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Ｎ∗），ａ１＝１，该数列的前三项分别加上１，１，３后成等比数列，ａｎ＋２ｌｏｇ２ｂｎ＝－１．
（１）分别求数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式；（２）求数列｛ａｎ㊃ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．解㊀（２）由（１）可知ａｎ＝２ｎ－１，ｂｎ＝１２ｎ
，
所以ａｎ㊃ｂｎ＝（２ｎ－１）㊃１２ｎ，
则Ｔｎ＝
１
２１＋３
２２＋５
２３＋ ＋２ｎ－１
２
ｎ，①
１２Ｔｎ＝１２２＋３２３＋５２４＋ ＋２ｎ－１２
ｎ＋１，②由①－②，得
１２Ｔｎ＝１２＋２ˑ１２２＋１２３＋１
２
４＋ ＋１２ｎæèçöø÷－２ｎ－１２ｎ＋１，所以１２Ｔｎ＝１
２＋２ˑ
１４１－１２ｎ－１æ
èçöø÷
１－１２－２ｎ－１２
ｎ＋１，所以Ｔｎ＝１＋２－
２２ｎ－１
－２ｎ－１２ｎ
＝３－
３＋２ｎ２ｎ
．
（五）倒序相加法求和
数列｛ａｎ｝的前ｎ项与首末两端等 距离 的两项
的和相等或等于同一个常数，此时用倒序相加法求解数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．
例１１㊀已知函数ｆ（ｘ）＝
１
４ｘ＋２
（ｘɪＲ），Ｐ１（ｘ１，ｙ１）㊁Ｐ２（ｘ２，ｙ２）是函数ｆ（ｘ）图像上的任意两点，且线段Ｐ１Ｐ２的中点Ｐ的横坐标为
１２
．（１）求证：点Ｐ的纵坐标为定值．．
（２）在数列｛ａｎ｝中，若ａ１＝ｆ１ｍæèçöø÷，ａ２＝ｆ２ｍæèçöø÷， ，ａｋ＝ｆｋｍæèçöø÷， ，ａｍ－１＝ｆｍ－１ｍæèçöø÷，ａｍ
＝ｆｍｍæèçöø
÷（ｍɪＮ∗
），求数列｛ａｎ｝的前ｍ项和Ｓｍ．解㊀（１）证明㊀因为Ｐ１Ｐ２的中点Ｐ的横坐标
为
１２
，所以
ｘ１＋ｘ２
２
＝
１
２
，所以ｘ１＋ｘ２＝１，所以ｙ１＋ｙ２＝
１４ｘ＋２＋１４ｘ＋２＝
４ｘ＋２＋４ｘ＋２（４ｘ＋２）（４ｘ＋２）
＝
４ｘ＋４ｘ＋４
４ｘ
＋ｘ＋２（４ｘ＋４ｘ）＋４
＝
４ｘ＋４ｘ＋４４＋２（４ｘ＋４ｘ）＋４
＝
１２
，所以点Ｐ的纵坐标为
ｙ１＋ｙ２
２
＝
１
４
，是定值．（２）由（１）可知，ｘ１＋ｘ２＝１，ｙ１＋ｙ２＝１２
，所以ｆ（ｘ）＋ｆ（１－ｘ）＝
１２
，所以Ｓｍ＝ａ１＋ａ２＋ ＋ａｍ－１＋ａｍ＝ｆ１ｍæèç
öø÷＋ｆ２ｍæèçöø
÷＋ ＋
ｆｍ－１ｍæèç
öø÷＋ｆｍｍæèçöø÷＝ｆ１ｍæèçöø÷＋ｆ２ｍæèçöø÷＋ ＋ｆｍ－１ｍæèçöø
÷＋ｆ（１）．
令Ｓ＝ｆ１ｍæèç
öø÷＋ｆ２ｍæèçöø÷＋ ＋ｆｍ－１ｍæèçöø
÷，①
倒序，得Ｓ＝ｆｍ－１ｍæèçöø÷＋ｆｍ－２ｍæèçöø÷＋ ＋ｆ１ｍæèçöø
÷，②
由①＋②，得２Ｓ＝[ｆ１ｍæèç
öø÷
＋ｆｍ－１ｍæèç
öø÷
]＋[ｆ２ｍæèç
öø÷
＋ｆｍ－２ｍæèç
öø
÷
]＋ ＋[
ｆｍ－１ｍæèç
öø÷＋ｆ１ｍæèçöø
÷
]
＝
１
２
（ｍ－１），所以Ｓ＝
ｍ－１４，所以Ｓｍ＝Ｓ＋ｆ（１）＝ｍ－１４＋１６＝３ｍ－１
１２
．
结㊀语
文章总结提炼了常见高中数列通项公式及求和问题的求解方法，为一线高中数学教师提供了教学参考，为高中生学习数列提供了方法指导．但对于同一个数列问题的求解不局限于一种方法，所以教师只有在平时教学过程中不断引导学生探索㊁总结㊁提炼，才能使学生游刃有余㊁融会贯通㊁炉火纯青地应用知识．
ʌ参考文献ɔ
［１］刘大鹏．论数列通项公式的求法［Ｊ］．数理天地（高中版），２０１９（０９）１９－２１．
［２］周湖平．探讨高中数学数列求和的解题方法［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０８）：４－５．
［３］龚言，李敏．高中数学数列求和的常用方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１１）：１３９－１４０．。