多元函数微积分练习题

练习题
一 多元函数微分学部分练习题
1 求函数y
x y
x z -+
+=
11的定义域.
2已知xy y x xy y x f 5),(2
2
-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）
22)
0,1(),()
ln(lim
y x e x y y x ++→ （2） 442
2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→
（3）
2
43lim
)
0,0(),(-+→xy xy y x （4）
x
y x xy 1)
1,0(),()1(lim +→
（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()
(2sin lim y
x y x y x ++→ 4 证明极限
y x y
x y x +-→)0,0(),(lim
不存在.
5 指出函数2
2),(y x y
x y x f -+=
的间断点.
6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z =
（2）x xy z )1(-=
（3）),(2
y x f x z = （4）)
(xy x
z ϕ=
（5）y xy y x z 234
4+-+= （6）)ln(22y x z +=
（7）)3cos(22y x e z y
x += （8）y xy z )1(+=
（9）2
2
2
1z
y x u ++=
（10）⎰
=
220
sin y x dt t z
7 计算下列函数的二阶偏导数
（1）2
4
3y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e
z xy sin = （4）),(2y x f x z =
（5）2
(,)z f xy x =
8求下列函数的全微分
（1）xy
xe z = （2）2
21
y x z +=
（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰
=
xy
dt t y x f 1
2sin ),(，求df .
10 （1）2
2
uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求
x z ∂∂，y
z ∂∂ （2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求
x z ∂∂，y
z ∂∂ （3）v
u e
z -=， t u sin =，2
t v =,
dz dt
（4）),(2
2
y x y
x f z -=,求
x z ∂∂，y
z ∂∂ （5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求
x z ∂∂，y
z ∂∂； 11 （1）设0)ln(22
=+-+y x xy x ，求dx
dy . （2）设xyz e z
=，求
y
z x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨
⎧=++=++1
02
2z y x z y x ，求dz dx ，dz dy
. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=+=+=2
11t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.
13求曲线⎩⎨⎧=++=++0
6
222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.
14求曲面3=+-xy z e z
在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数2
2
)1(-+=y x z 的极值.
16求函数32
z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.
17求函数3
2z xy u =在曲面032
22=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的
法线方向的方向导数.
18 设2
2
2
(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf .
二 多元函数积分学部分练习题
1、改变下列二次积分的积分次序 （1）⎰⎰
11
2),(x
dy y x f dx （2）⎰
⎰--y
y dx y x f dy 2
1110
),(
（3）
⎰⎰⎰⎰
+2
2
42
2
20
),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy
2、计算下列二重积分 （1）⎰⎰D xyd σ，其中区域D 是曲线x
y 1
=
，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰
+D
d y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域. （3）
⎰⎰+D
d y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .
（4）⎰⎰+D d y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2
π
=
x 所围成的区域.
（5）⎰⎰--D
y x
d e σ2
2
，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
（6）
⎰⎰
+D
d y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .
3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=D
dxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2
x
y =和1=x 所围成的区域.
4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3
220
2
22)(
lim
t
d y x f t y x t πσ
⎰⎰≤+→+.
5 计算下列三重积分 （1）⎰⎰⎰Ω
++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2
π
=
++z y x 所围成的立
体；
（2）计算⎰⎰⎰Ω
zdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --=
以及22y x z +=所围成的空
间形体.
（3）计算积分
⎰⎰⎰Ω
xyzdxdydz ，其中Ω是球面4222
≤++z y x
在第一卦限的部分.
6 试计算立体Ω由曲面2
2
8y x z --=及2
2y x z +=所围成的体积.
7计算
⎰⎰⎰Ω
dxdydz e z ，其中Ω是球面12
22≤++z y x . 8 计算下列曲线积分 （1）L
xydS ⎰
，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；
（2）222()x y z dS Γ
++⎰
，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.
（3）
⎰
+-+L
dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段
弧； （4）计算⎰
+L
xdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一
段弧.
（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分
⎰
+++L
dy y x dx y )2()1(3的值最小.
（6）计算⎰⎰∑
dS z 1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分. （7）计算⎰⎰
∑
++dS z y x )(2
22，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰
∑
+dxdy y x e z 2
2，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部
分的外侧.
（9）计算⎰⎰∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x I 3
33，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.
9求曲线Γ：
a x =，at y =，2
2
1at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为a
z 2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周92
2
=+y x ，计算曲线积分⎰
-+-L
dy
x x dx y xy )4()22(2的值.
（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰
++=
L
xdz zdy ydx I ，其中L 是球面
2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.
（3）计算对坐标的曲线积分⎰+
+L dy x dx x xy 2
)(2
，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.
（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分
⎰+-B
A
dy x dx x
y
x x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值 （5）计算⎰⎰
∑
++=
yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面2
22R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧. 11（1）设k z j y i x r ++=，计算r rot
.
（2）设()A xyz xi yj zk =++，计算divA。