2017-2018年江苏省扬州市高邮市高二(上)期中数学试卷和答案
江苏省扬州市2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°= ． 2．复数z=i （1﹣i ）的虚部为 ．3．抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为 ．4．不等式的解集为 ．5．已知平行直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0，l 2：2x ﹣4y+1=0，则l 1与l 2之间的距离为 ．6．若实数x ，y 满足条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为 ．7．已知向量=（1，m+1），=（m ，2），则∥的充要条件是m= ．8．已知tan （α+）=3，tanβ=2，则tan （α﹣β）= ．9．已知函数f （x ）=x+asinx 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．10．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20=0，直线l ：4x ﹣3y+15=0与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为 ．11．若a ＞0，b ＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．12．已知函数f （x ）=﹣kx 无零点，则实数k 的取值范围是 ．13．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线y=x 与双曲线相交于A 、B 两点．若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知函数f （x ）=x （1﹣a|x|）+1（a ＞0），若f （x+a ）≤f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f （x ）=2cos （﹣x ）sinx+（sinx+cosx ）2．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）把y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求的值．16．函数f （x ）=log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域为A ，函数g （x ）=x 2+（m+1）x+m ．（1）若m=﹣4时，g （x ）≤0的解集为B ，求A∩B；（2）若存在使得不等式g （x ）≤﹣1成立，求实数m 的取值范围．17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a 的值．22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表： 班别 高一（1）班 高一（2）班 高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E （ξ）．23．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=1，PA=2，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF=λPC．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．24．已知集合A={a 1，a 2，…，a m }．若集合A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n =A ，则称A 1，A 2，A 3，…，A n 为集合A 的一种拆分，所有拆分的个数记为f （n ，m ）．（1）求f （2，1），f （2，2），f （3，2）的值；（2）求f （n ，2）（n ≥2，n ∈N*）关于n 的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣2．复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．4．不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即， ∴等价于x （x ﹣1）＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式的解集为{x|x ＜0或x ＞1}．故答案为：{x|x ＜0或x ＞1}．5．已知平行直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0，l 2：2x ﹣4y+1=0，则l 1与l 2之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0即2x ﹣4y ﹣4=0∴l 1与l 2间的距离d==． 故答案为：． 6．若实数x ，y 满足条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为 8 ．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y 变形为y=x z ，由其几何意义得到当此直线经过图中A 时z 最大，由得到A （4，2）， 所以z 的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为： =27故答案为：2711．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出： y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．16．函数f（x）=log3（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣，解得实数m的取值范围．m≥成立，所以﹣m≥（）min【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…故则函数f（x）=log3若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…所以A∩B=（2，4]；…（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，…即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…所以sin∠ABC=．…（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD ）×2k+8k ×AD=20k （35++﹣） … 令H （θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H （θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H （θ）单调增 ∴θ=时，H （θ）取最小值，同时y 也取得最小值． … 此时BD=，满足0＜＜70，所以点D 落在BC 之间 所以θ=时，运输总成本最小． 答：θ=时，运输总成本最小． …19．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线交y 轴于点N ，交椭圆C 于点A 、P （P 在第一象限），过点P 作y 轴的垂线交椭圆C 于另外一点Q ．若． （1）设直线PF 、QF 的斜率分别为k 、k'，求证：为定值； （2）若且△APQ 的面积为，求椭圆C 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P （x 1，y 1），则Q （﹣x 2，y 2），由．解得：x 2=c ，由直线的斜率公式k==，k'==， =﹣5为定值；（2）由，， =3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=， =，由三角形的面积公式可知：S△APQ =•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得： =8，解得： =，…则，代入得： =， =，∵△APQ的面积为S△APQ =•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…∴椭圆方程为：．…20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x﹣1）+x2=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数361若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ012P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）． 设为平面CDE 的法向量， 则，取x=1，得=（1，0，1），…设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==，…令t=2﹣λ，则t ∈[1，2]，∴sinθ==， 当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为， 即BF 与平面CDE 所成的角最大，此时=，即λ的值为． …24．已知集合A={a 1，a 2，…，a m }．若集合A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n =A ，则称A 1，A 2，A 3，…，A n 为集合A 的一种拆分，所有拆分的个数记为f （n ，m ）．（1）求f （2，1），f （2，2），f （3，2）的值；（2）求f （n ，2）（n ≥2，n ∈N*）关于n 的表达式．【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A 1∪A 2={a 1}，得f （2，1）=3； 设A 1∪A 2={a 1，a 2}，得f （2，2）=9；设A 1∪A 2∪A 3={a 1，a 2}，由此利用分类讨论思想能求出f （3，2）．（2）猜想f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A 1∪A 2={a 1}，共有3种，即f （2，1）=3； … 设A 1∪A 2={a 1，a 2}，若A 1=∅，则有1种；若A 1={a 1}，则有2种；若A 1={a 2}，则有2种；若A 1={a 1，a 2}，则有4种；即f （2，2）=9； … 设A 1∪A 2∪A 3={a 1，a 2}，若A 1=∅，则A 2∪A 3={a 1，a 2}，所以有f （2，2）=9种； 若A 1={a 1}，则A 2∪A 3={a 1，a 2}或A 2∪A 3={a 2}，所以有f （2，2）+f （2，1）=12；若A 1={a 2}，则有12种；若A 1={a 1，a 2}，则A 2∪A 3={a 1，a 2}或A 2∪A 3={a 1}或A 2∪A 3={a 2}或A 2∪A 3=∅， 所以有1+3+3+9=16种；即f （3，2）=49．…（2）猜想f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *，用数学归纳法证明． 当n=2时，f （2，2）=9，结论成立．…假设n=k 时，结论成立，即f （k ，2）=（2k ﹣1）2，当n=k+1时，A 1∪A 2∪…∪A k+1={a 1，a 2}当A k+1=∅时，A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种； 当A k+1={a 1}时，A 1∪A 2∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种， 或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 2}，所以有2k ﹣1种，共有2k （2k ﹣1）种； 同理当A k+1={a 2}时，共有2k （2k ﹣1）种；当A k+1={a 1，a 2}时，A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种， 或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1}，所以有2k ﹣1种，或A 1∪A 2∪…∪A k ={a 2}， 所以有2k ﹣1种，或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k =∅，所以有1种，共有22k 种； 则f （k+1，2）=4（2k ﹣1）2+4（2k ﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…所以f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *．…2016年12月10日。
最新-2018学年第一学期高邮中学高二数学期中考试试卷 精品
2018—2018学年第一学期高邮中学高二数学期中考试试卷（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知圆x 2＋y 2＋x ＋2y = 1661和圆(x －sin α)2＋(y －1)2 = 161,其中00≤α≤900,则两圆的位置关系是 ( )(A)相交 (B)外切 (C)内切 (D)相交或外切2、与两坐标轴和直线x ＋y －2 = 0都相切的圆的个数是 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3、直线x ＋7y －5 = 0与圆x 2＋y 2 = 1相交,截得两部分弧长之差的绝对值是( )(A)π (B)4π (C)2π (D)π234、19x －93y ＋2000 = 0和19x ＋94y －2000 = 0被圆x 2＋y 2 = 1949 截得的弦长为a 和b,则a,b 的大小关系是 ( )(A)a ＞b (B)a = b (C)a ＜b (D)不能确定5、直线(2k ＋1)x ＋(k ＋1)y = 7k ＋4与圆(x －1)2＋(y －2)2 =25的位置关系是( )(A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不能确定(与k 有关)6、双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率是 ( ) (A)(B)2 (C)2(D)7、已知椭圆116922=+y x 上一点P 到准线距离与它到相应于这条准线的焦点的距离的比为( ) (A)54 (B)45 (C)47 (D)7748、若直线y = x ＋t 与椭圆1422=+y x 相交于A,B 两点,当t 变化时,|AB|的最大值为( )(A)2 (B)554 (C)1054 (D)1053 9、F 1,F 2是椭圆1222=+y x 的两个焦点,过F 2作倾斜角为4π的弦AB,则∆F 1AB 的面积为 ( ) (A)332 (B)324 (C)1324- (D)3410、过点A(a,0)作椭圆12222=+b y a x 的弦,弦中点的轨迹仍是椭圆,若原椭圆和轨迹椭圆的离心率分别为e 和e ',则e,e '的关系是( )(A)e e '= (B)e e '=2 (C)e e '=2 (D)不能确定11、过椭圆4x 2＋2y 2 = 1的一个焦点F 1的直线与椭圆相交于A,B 两点,则A,B 与椭圆的另一个焦点F 2构成的∆ABF 2的周长等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)2212、椭圆12222=+by a x 上对两焦点张角为900的点可能有 ( ) (A)4个 (B)2个或4个 (C)0个或2个或4个 (D)还有其他情况二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点(-2,8)的抛物线方程是＿＿＿＿。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学答案
扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题 高 二 数 学 参 考 答 案 2018．11．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． ……………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； ……………………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………………3分 列表得：…………………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；……………………8分（2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y+=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，((0,1)A B ，即220022x y +=．当00x=时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==分 ∵点P 异于点A ∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP方程为：y x =，它与y 轴交于点N直线BP方程为：0011y y x x -=+，它与x轴交于点00(,0)1x M y --∴000|1x AM y =-=-，|1BN ==…………12分∴0||AM BN ⋅==== ……………………16分方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==………………8分 若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且1||AM k =-= ………………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A∴k ≠∴2222121421APk k k k k -++===-++∴直线AP的方程为：y x =+，则(0,N且|1BN == ………………14分∴||AM BN ⋅=⨯= ………………16分 20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ……………………3分 （2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即a >时，()0G x =有两个实数根：12x x =，且121210,022a x x x x +=>=>∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x在和)+∞上单调减，在上单调增．∴综上：当a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当a >时，()g x在和)+∞上单调减，在上单调增． ……………………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ……………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 含答案 精品
江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1.直线012:=+-y x l 的斜率为 .2.命题R x p ∈∃:，使得012≤+x 的否定为 . 3.直线02:=-+k y kx l 经过定点的坐标为 .4.若命题),(4:112121R y x y x p ∈<+，命题:q 点),(11y x 在圆422=+y x 内，则p 是q 的条件.5.已知两条直线22:1+=+a ay x l ，1:2+=+a y ax l ，若21l l ⊥，则=a .6.命题:p “若b a >，则ba 11<”的否命题是 （填：真、假）命题. 7.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为 .8.若直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆192522=+y x 有共有焦点的双曲线方程是 . 10.椭圆12622=+y x 和双曲线11-322=y x 的公共焦点21,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么21cos PF F ∠的值是 .11.在平面直角坐标系xoy 中，由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+--100222222y x yy x x 所确定的图形的面积为 .12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点P A ,，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PA PB ⊥，则该椭圆的离心率=e .13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线x y 22=的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MFMO的最大值为 .14.已知对于点)12,0(A ，)9,10(B ，)0,8(C ，)7,4(-D ，存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则k 10的值为 . 二、解答题15．已知命题:p “方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为1)2(22=-+y x ，直线l 的方程为02=-y x ，点p 在直线l 上，过p点作圆M 的切线PB PA ,，切点为B A ,. （1）若060=∠APB ，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为)1,2(，过P 作直线与圆M 交于D C ,两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程.17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为a 2（其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线1C ，如图，再作一个顶点与抛物线1C 顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线2C ，且与1C 交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线1C 的对称轴作垂线，垂足为M ，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍. （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线1C 的标准方程；（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线2C 的标准方程（只须以一个开口方向为例）.18. 如图，AOB ∆的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，B A ,两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=∙MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W .（1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .19. 已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.20. 已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于D C ,，连结BC AD ,交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=.（1）求21,λλ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.试卷答案一、填空题1.22. R x ∈∀，使得012>+x 3. )0,2( 4.充要 5.0 6.假 7.28.0或4 9. 112422=-y x 10. 31 11. π50 12. 2213. 33214.1936 二、解答题15.（1）命题p ：“方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，则⎩⎨⎧>-->-0119k k k ，解得51<<k .（2）命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”，则0)2(<-k k ，解得2>k 或0<k . 若“p 或q ”是真命题，则q p ,至少一个是真命题，即一真一假或全为真. 则⎩⎨⎧≤≤<<2051k k 或⎩⎨⎧><≥≤2051k k k k 或或或⎩⎨⎧<><<0251k k k 或，所以21≤<k 或0<k 或5≥k 或52<<k . 所以0<k 或1>k .16.（1）设),2(m m P ，由条件可知2=MP ，所以4)2()2(22=-+m m ，解之得：0=m ，54=m ， 故所求点P 的坐标为)0,0(P 或)54,58(P（2）设直线CD 的方程为：)2(1-=-x k y ，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以21|12|22k k +--=，解得：1-=k 或71-. 故所求直线CD 的方程为：03=-+y x 或097=-+y x . 17.（1）以O 为原点，OM 为x 轴正向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线1C 的通径为a 2，所以标准方程为ax y 22=.（2）设抛物线)0(:22>=m my x C ，又由题意，3222a x OM P ==，所以a x p 32=，代入ax y 22=，得：23222a y p =，解得：a y p 34=所以点)4,2(33a a P 代入my x =2 得：a m a 3234)2(=，解得：a m = 所以抛物线2C 为：ay x =2.18.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=∙MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f . 19.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.20.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ，又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB PC同理：由2λ=，得：221λλ++=又23=，所以11123λλ++=PQPA 又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=∙λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q 由1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+∙-+++x y x y x y x整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.。
【精品】2017年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1．（5分）命题：“∃x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＜0”的否定是 ． 2．（5分）直线y=x +1的倾斜角是 ． 3．（5分）若方程+=1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ．4．（5分）命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆命题是 ．5．（5分）与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为 ．6．（5分）如果对任何实数k ，直线（3+k ）x +（1﹣2k ）y +1+5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．7．（5分）如果p ：x ＞2，q ：x ＞3，那么p 是q 的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空） 8．（5分）已知椭圆+上一点M 到左焦点F 1的距离是8，则M 到右准线的距离为 ．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：﹣y 2=1（a ＞0）的一条渐近线与直线l ：2x ﹣y +1=0垂直，则实数a= ．10．（5分）如果实数x ，y 满足等式（x ﹣2）2+y 2=3，那么的最大值是 ． 11．（5分）圆心在抛物线y=x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ．12．（5分）已知F 1、F 2为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为．13．（5分）已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．14．（5分）已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．（14分）如图，F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．（16分）为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x 的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．19．（16分）已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y ﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．（5分）直线y=x+1的倾斜角是．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．（5分）若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．（5分）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为：“若a2＞b2，则a＞b”5．（5分）与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4，∴c2=a2﹣b2=5，∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为：．6．（5分）如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）7．（5分）如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）【解答】解：因为p：x＞2，得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．8．（5分）已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【解答】解：由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，故答案为210．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：11．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．12．（5分）已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为2．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b，cos∠POF2==，在△POF 1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．（5分）已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为（3﹣2）π．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案为：（3﹣2）π．14．（5分）已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（，6）．【解答】解：设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4，且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b）∴0＜a＜，或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6），故答案为：（0，）∪（，6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，整理得到a2﹣5a+4＜0，解得1＜a＜4；（2）若命题q为真，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，即a2﹣2a﹣3＜0解得：﹣1＜a＜3若p∧q为真，则1＜a＜3．16．（14分）已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．【解答】解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得：=解之得：k=﹣或k=﹣1，故所求直线方程为x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，∴，解得，故l方程为，即x+2y﹣4=0．17．（14分）如图，F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．【解答】解：（1）由题意可知，△AF1B为等边三角形，∴a=2c，∴e===，椭圆C的离心率；（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2，b=，∴椭圆方程为：，∴A（0，），F2（1，0），∴直线AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，∴直线AC的方程为y﹣0=﹣（x﹣1）=﹣x+，∴，解得：或（舍）∴点B的坐标为（，﹣），所以=+=丨FF2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨y B丨=•2•+•2•=，∴△AF1B的面积．18．（16分）为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x 的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．【解答】解：（1）由题意知，BF=，则x A=1.5+=2，代入y2=2x得y A=2，故A（2，2）．设点A处的切线方程为y﹣2=k（x﹣2），代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．则△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k=．故灯罩轴线的斜率为﹣2，其方程为y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6．（2）由于路宽为10，则当x=时，y=﹣5，从而FD=5．又CF=1，则CD=6．答：灯柱的高为6米．19．（16分）已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y ﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T（，﹣1），所以k OT=﹣，∴k PT=，故直线PT的方程为y+1=（x﹣），即．联立直线l和PT，解得即P（2）．（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=，所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，所以d=，解得．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=，故k OB k OC===k2，即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由P（2，），设A（x，y），则=（2，），=（﹣x，﹣y），由题意可知：=，∴，则，A（﹣1，﹣），代入椭圆方程，得，又椭圆的离心率e==，则=，②由①②，得a2=2，b2=1，故椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=，∴P（﹣2x1，﹣2y1），．∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），即，于是．代入椭圆方程，得+=1，（+）+（+）﹣（+）=1，∵A，B在椭圆上，，，由直线OA，OB的斜率之积﹣，即•=﹣∴，∴，解得：m=，（3）存在定圆M，x2+y2=3，在定圆M上任取一点T（x0，y0），其中x0≠±，设过点T（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣y0），即y=kx﹣kx0+y0，∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（﹣kx0+y0）x+2（﹣kx0+y0）2﹣2=0，由△=16k2（﹣kx0+y0）2﹣8（1+2k2）[（﹣kx0+y0）2﹣1]=0，整理得：（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0故过点T（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解．故k1k2====﹣1，∴椭圆的两条切线垂直．当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末数学考试试卷带答案
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“x ∃∈R ，210x -<”的否定是 ▲ ． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为 ▲ ． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．4．曲线2sin y x x =-在(0,0)处的切线方程为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ▲ ．8．已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9． 已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为▲ ．10．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点(1,2)，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导函数，且(2)3f =，'()1f x <，则不等 式()1f x x >+的解集为 ▲ ．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的 取值范围为 ▲ ．13．斜率为13直线l 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心 率为 ▲ ．14． 已知函数2()|3|f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知命题p ：“椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：序号 分数段 人数 频率 1 [60,70) 10 0.20 2 [70,80) ① 0.44 3 [80,90) ② ③ 4[90,100]4 0.08 合计501（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．18．（本题满分16分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）19．（本题满分16分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的右准线方程为2x =，又离心率为22，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．20．（本题满分16分）已知：函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设 012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0≥>μλ．试判断在点00(,())M x h x 处 的切线斜率的正负，并说明理由．参考答案1．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．6314．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤ ∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． …………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； …3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； …………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴42AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --=的距离为5，即2|2|51k k --=+，化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………3分 列表得：x(1,2) 2 (2,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增……………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；…………………8分 （2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∵离心率为22∴2a c = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，(2,0),(0,1)A B -，即220022x y +=． 当00x =时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯=………8分 ∵点P 异于点A ∴02x ≠-当02x ≠-且00x ≠时，设直线AP 方程为：00(2)2y y x x =++，它与y 轴交于点002(0,)2y N x +直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00(,0)1x M y --∴0000022|2|||11x y x AM y y --=-+=--，00000222|1|||22y x y BN x x +-=-=++……12分 ∴220000000000000000(22)(22)2222422||||(1)(2)22y x x y x y x y x y AM BN y x x y x y --+-+++--⋅=⋅=-+-+- 000000002222422||2222x y x y x y x y ++--==-+-为定值．……………………16分 方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ， (0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯= ………………8分若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且 121|2|||k AM k k -=-+= ……………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A ∴22k ≠∴2222221212121422422(21)221APk k k k k k k k k k -+-+++===--+--++ ∴直线AP 的方程为：21(2)2(21)k y x k +=-+-，则21(0,)21k N k +--且2122|1|||2121k k BN k k +=+=-- ………………14分∴2122||||2221k kAM BN k k -⋅=⨯=-为定值． ……………16分20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x x x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：x(0,1) 1 (1,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ………………3分（2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x a x =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ②当0a >且280a ∆=-≤，即022a <≤时，()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即22a >时，()0G x =有两个实数根：221288,44a a a a x x +---==，且121210,022a x x x x +=>=> ∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．∴综上：当22a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当22a >时，()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．……………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x > ∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………16分。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1. 直线的斜率为____________.【答案】2【解析】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为.2. 命题，使得的否定为___________.【答案】，使得【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题，使得的否定为，使得.3. 直线经过定点的坐标为___________.【答案】【解析】直线方程即：,结合直线的点斜式方程可知，直线经过定点的坐标为4. 若命题，命题点在圆内，则是的___________条件. 【答案】充要【解析】由点与圆的位置关系有：若点在圆内，则；若点在圆上，则；若点在圆外，则；据此可知：是的充要条件.5. 已知两条直线，，若，则___________.【答案】0【解析】由直线垂直的充要条件结合题意可得：,求解关于实数的方程可得：.6. 命题“若，则”的否命题是___________（填：真、假）命题.【答案】假【解析】命题的否命题为：若，则，取可得该否命题为假命题.7. 两圆与的公切线条数为___________.【答案】2【解析】题中所给圆的标准方程即：与，两圆的圆心坐标为：，圆心距：，由于，故两圆相交，则两圆公切线的条数为2.点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．8. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为___________. 【答案】0或4【解析】圆心到直线的距离为：，结合弦长公式有：，求解关于实数的方程可得：或.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝ |x1－x2|9. 离心率为2且与椭圆有共有焦点的双曲线方程是___________.【答案】【解析】设曲线的方程为，由题意可得：，求解方程组可得：，则双曲线的方程为：.【答案】【解析】不妨假设，则：椭圆方程中，，①双曲线方程中，，②①②联立可得：,而，结合余弦定理有：11. 在平面直角坐标系中，由不等式所确定的图形的面积为___________.【答案】【解析】不等式：即：则不等式组即：或，由曲线的对称性可得：所求面积为半径为的圆的面积的一半，即.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．12. 椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于点，且垂直于轴，直线交椭圆于点，，则该椭圆的离心率___________.【答案】【解析】此题考查椭圆的相关性质和直线方程的相关知识，利用结论：若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；求解较简单；由已知得，，取中点，可知，又因为,所以，又因为，由，13. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，设是抛物线上的动点，则的最大值为___________.【答案】【解析】试题分析：焦点F（，0），设M（m，n），则，m＞0，设M 到准线的距离等于d，则．令，，则，（当且仅当时，等号成立）．故的最大值为考点：抛物线的简单性质14. 已知对于点，，，，存在唯一一个正方形满足这四个点在的不同边所在直线上，设正方形面积为，则的值为___________.【答案】1936【解析】很明显，直线的斜率均存在，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，.四边形为正方形，则：,整理可得：，解得：.当时不合题意，舍去，取，正方形的边长为：，故：.二、解答题15. 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数k的不等式组，求解不等式组有.(2)由题意可得，命题至少一个是真命题，即一真一假或全为真.据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是或.试题解析：（1）命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，则，解得. （2）命题“方程表示双曲线”，则，解得或.若“或”是真命题，则至少一个是真命题，即一真一假或全为真.则或或，所以或或或.所以或.16. 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）或（2）所求直线的方程为：或.【解析】试题分析：(1)设出点P的方程，利用两点之间距离公式得到关于实数m的方程，解方程求得实数m的值可得点的坐标为或(2)由题意可得圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式得到关于实数k的方程，解方程可得直线的方程为：或.试题解析：（1）设，由条件可知，所以，解之得：，，故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得：或.故所求直线的方程为：或.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为（其中正数为原立方体的棱长）的抛物线，如图，再作一个顶点与抛物线顶点重合而对称轴垂直的抛物线，且与交于不同于点的一点，自点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，可使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；（2）为使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线的标准方程（只须以一个开口方向为例）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，结合抛物线的性质可得抛物线的标准方程为.(2)不妨设焦点位于y轴正半轴，结合题意计算可得抛物线方程为.试题解析：（1）以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，由题意，抛物线的通径为，所以标准方程为.（2）设抛物线，又由题意，，所以，代入，得：，解得：所以点代入得：，解得：所以抛物线为：.18. 如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设为轴正半轴上一点，求的最小值.【答案】（1）（2）的最小值【解析】试题分析：(1)设，由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，即点的轨迹的方程为(2)由题意设，计算可得，分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质有：的最小值.试题解析：（1）因为两点关于轴对称，所以边所在直线与轴平行，设，由题意，得，，所以，，因为，所以，即，所以点的轨迹的方程为（2）设，则，因为点在，所以，所以若，即，则当时，；若，即，则当时，所以，的最小值.19. 已知椭圆：上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.（1）求的值，并证明直线与圆相切；（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)两直线平行，则斜率相等，据此解方程可得，且直线的方程为，考查圆心到直线的距离与圆的半径的关系可得直线与圆相切.(2)设，，则直线EQ的方程为，圆心到直线的距离，结合韦达定理可得直线与圆相切.试题解析：（1）由题设，，，又，所以，可得：，所以，即，所以，为圆的半径，所以直线与圆相切.（2）设，，由，则，可得，而：由得代入上式，得又，，代入上式得：所以直线与圆相切.20. 已知椭圆：左焦点，左顶点，椭圆上一点满足轴，且点在轴下方，连线与左准线交于点，过点任意引一直线与椭圆交于，连结交于点，若实数满足：，.（1）求的值；（2）求证：点在一定直线上.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合直线AB的方程为，结合向量平行的充要条件比较系数可得..................试题解析：（1）因为，由轴，由对称轴不妨设，则直线又左准线，所以，又，所以同理：由，得：又，所以又，比较系数得：，所以（2）证明：设点，，由，得，代入椭圆方程，得：，整理得：显然，所以同理：由，得：，代入椭圆方程，得：同理可得：又由（1），所以整理得：即点在定直线上.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
2017-2018学年江苏省扬州市高邮市高二(上)期中化学试卷(选修)
2017-2018学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中化学试卷（选修）一、选择题（共10小题，每小题分，满分20分）1．（2分）化学与生活、社会密切相关，下列说法正确的是（）A．福尔马林具有防腐杀菌作用，能用于保存海鲜、水果等B．用工业酒精勾兑白酒C．合理利用可燃冰有利于弥补能源短缺D．用含甲酚的药皂除菌消毒，是利用酚类物质的强氧化性2．（2分）下列属于有机物的是（）A．纯碱B．碳酸C．氰化钾D．尿素3．（2分）下列有关化学用语表示正确的是（）A．羟基的电子式：B．乙酸乙酯的最简式：C2H4O2C．苯甲醛的结构简式：D．1，3﹣丁二烯的键线式：4．（2分）下列有机物的命名正确的是（）A．4，4﹣二甲基﹣2﹣戊炔 B．3甲基4乙基戊烷C．1，3溴丙烷D．对苯二酚5．（2分）设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是（）A．5.6gCH2=CHCHO中含有双键的数目为0.1N AB．标准状况下，44.8L丙三醇与足量金属钠反应，生成气体的分子数为3N A C．19g水合氢离子（H3O+）中电子数为11N AD．常温常压下，28g乙烯和环丙烷的混合气体中含有的碳原子数为2 N A 6．（2分）下列各组物质，既不是同分异构体，又不是同系物的是（）A．甲酸甲酯和乙酸B．和C．正戊烷和异戊烷D．1，3﹣丁二烯和2﹣甲基﹣1，3﹣丁二烯7．（2分）下列有关物质的检验和鉴别实验说法正确的是（）A．实验室可用酸性高锰酸钾溶液鉴别甲苯和二甲苯B．可用溴水直接鉴别：苯、甲苯、四氯化碳、己烯C．加热NaOH 和少量溴乙烷的混合液后滴加硝酸银，可生成浅黄色沉淀D．往含苯酚的废水中加几滴FeCl3溶液，溶液变紫色8．（2分）某烃结构式用键线式表示为，该烃与Br2加成时（物质的量之比为1：1），所得产物有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种9．（2分）下列实验装置能达到实验目的是（部分夹持仪器未画出）（）A．装置A用于证明1﹣溴丙烷发生了消去反应B．装置B用于石油的分馏C．装置C用于实验室制乙酸乙酯D．装置D可证明酸性：盐酸＞碳酸＞苯酚10．（2分）用丙醛（CH3﹣CH2﹣CHO）制聚丙烯过程中发生的反应类型为（）①取代②消去③加聚④缩聚⑤氧化⑥还原．A．⑥②③B．⑤②③C．①④⑥D．②④⑤二、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）11．（2分）下列化学方程式正确的是（）A．乙醇与浓氢溴酸反应：CH3CH2OH+HBr CH3CH2Br+H2OB．溴乙烷与氢氧化钠的乙醇溶液共热：CH3CH2Br+NaOH CH3CH2Br+NaBrC．苯酚钠溶液中通入少量二氧化碳：2ONa+CO2+H2O→2+Na2CO3D．乙烯合成聚乙烯nCH2═CH212．（2分）120℃时，某混合烃和过量O2在一密闭容器中反应，待完全反应后，恢复到原来的温度，测知反应前后体系的压强没有变化，则该混合烃可能是（）A．CH4和C2H4B．C2H2和C2H6C．C2H4和C2H6D．C3H4和C3H613．（2分）欲除去下列物质中混入的少量杂质（括号内物质为杂质），能达到目的是（）A．乙烷（乙烯）：通入酸性高锰酸钾溶液，洗气B．苯（苯酚）：加入足量浓溴水，过滤C．乙醇（水）：加入金属钠，蒸馏D．镁（铝）：加入足量的氢氧化钠溶液，过滤14．（2分）已知某有机物A 的红外光谱和核磁共振氢谱如图所示，下列说法正确的是（）A．由红光外谱可知，A属于芳香烃B．由核磁共振氢谱可知，A 分子中有3种不同化学环境的氢原子C．仅由A的核磁共振氢谱就可获得A 的相对分子质量D．若A的分子式为C9H10O2，则其结构简式可能为CH3CH2COOH 15．（2分）迷迭香酸是从蜂花属植物中提取得到的酸性物质，其结构简式如图所示．下列叙述正确的是（）A．迷迭香酸的分子式为C18H14O8B．迷迭香酸分子中含1个手性碳原子C．迷迭香酸可以发生水解反应、取代反应和酯化反应D．1mol迷迭香酸最多能和6molBr2发生反应二、非选择题（共6小题，每小题3分，满分70分）16．（3分）（1）对有机分子组成和结构进行分析．①分子中最多有个碳原子数共面．②苯环上的一氯代物有种．（2）根据有机物分子所含官能团分析有机物的性质．①只用一种试剂（可加热）就可区别下列几种无色液体：CH3CH2CH2OH、CH3CH2CHO、CH3COOH、CH3COOCH2CH3，该试剂可以是．②某有机物的结构简式为：，该有机物在一定条件下不能．进行的有机反应类型有（填字母）．写出该有机物与足量的金属钠反应的化学方程式．A．取代B．加成C．水解D．氧化E．缩聚F．加聚．17．（16分）图为苯和溴取代反应的改进实验装置．其中A为带支管的试管改制成的反应容器，在其下端开了一个小孔，塞好石棉绒，再加入少量铁屑．已知改进后的实验具有：①步骤简单，操作方便，成功率高；②各步现象明显；③对产品便于观察；④无污染等优点．试填写下列空白：（1）向反应容器A中逐滴加入溴和苯的混合液，几秒钟内就发生反应．写出A 中发生反应的化学方程式．反应过程中，A外壁温度升高，为提高原料利用率，需控制反应温度，下列适宜的温度范围为（填字母）．A．＞156℃B．59℃﹣80℃C．＜59℃（2）试管C中苯的作用是；能起到防倒吸作用的装置有（填上图中装置的字母）．（3）反应开始后，能证明苯与溴发生取代反应的现象为．（4）溴、苯混合溶液在A中反应后，经石棉绒过滤，由A 底部的小孔滴入到下面的B 装置中，即可实现对粗产品的观察和洗涤．B 中装的是10%的NaOH 溶液，用NaOH 溶液洗涤粗产品的目的是；（5）如需获得较纯的有机产物，则要将用NaOH 溶液充分洗涤后混合液进行分液．再向分液得到的粗溴苯中加入少量的无水氯化钙，静置、过滤．加入氯化钙的目的是．经过上述分离操作后，粗溴苯中还含有的主要杂质为苯，要进一步提纯，下列操作中必须的是（填字母）．A．重结晶B．过滤C．蒸馏D．萃取．18．（16分）某有机化合物A，经测定仅由C、H、O 三种元素组成的．（1）取该有机化合物样品1.8g，在纯氧中完全燃烧后，将产物先后通过浓硫酸和碱石灰，两者分别增重1.08g和2.64g，则A 的最简式为，若需确定A 的分子式，还需要A 的相对分子质量，可用（填“红外光谱”或“质谱”）法测定，经测定A 的相对分子质量为90，则A的分子式为．（2）又知1molA 与足量的Na充分反应可生成1mol的H2，而1molA与足量的NaHCO3溶液充分反应可生成标准状况下的CO2气体体积为22.4L，则A分子中所含官能团的名称为．（3）如A 分子中有一个手性碳原子及一个甲基，则A 的结构简式为，写出A在浓硫酸存在条件下加热，发生消去反应的化学方程式．（4）A 的一种同分异构体B，与A 所含官能团的种类和数目均相同，且 B 被催化氧化后的产物能发生银镜反应，写出 B 被催化氧化的化学方程式．B 的1H核磁共振谱图中将会出现组特征峰．19．（12分）下表是A、B、C、D、E 五种有机物的有关信息：根据表中信息回答下列问题（1）写出 A 使溴的四氯化碳溶液褪色的化学方程式．（2）A 与氢气发生加成反应后生成分子F，F的同系物的通式为C n H2n+2．当n=时，这类有机物开始有同分异构体．（3）B 的最简单的同系物G，在沸水浴中与浓硫酸、浓硝酸的混合液反应的化学方程式为．（4）D→A 所加试剂及反应条件为；反应类型为．（5）C与E反应能生成相对分子质量为100的酯，写出该酯的结构简式．20．（12分）已知：苯和卤代烃在催化剂作用下可以生成烷基苯和卤化氢．根据以下转化关系（生成物中所有无机物均已略去），回答下列问题：（1）在①～⑥6个反应中，属于取代反应的是（填反应编号）．（2）写出物质的结构简式：E，I．（3）D 的同分异构体J 与 D 属于同一类物质，J 分子中只有 2 种不同化学环境的氢，则J的结构简式为．（4）写出下列化学方程式：①；③．21．（11分）化合物G是合成新农药茚虫威的重要中间体，以化合物为原料合成G工艺流程如图：（1）化合物E和G中含氧官能团的名称分别为、。
2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷-教师用卷
2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合，，则______．【答案】3，【解析】解：集合，，则3，，故答案为：3，由条件和并集的运算直接求出，重复的元素写一次．本题考查了集合的并集运算，注意要满足元素的互异性．2.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“，”的否定是：，．故答案为：，．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知复数其中i为虚数单位，则______．【答案】【解析】解：，则．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4.函数的定义域是______．【答案】【解析】解：函数的定义域满足不等式，解出即可得到：，故答案为：列出不等式，解出解集，即可得出答案．本题综合考查了不等式，指数函数的性质的运用，容易题，难度不大．5.若双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为，则双曲线的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为，其焦点在x轴上，渐近线方程为，双曲线的虚轴长为2，则，即，又由该双曲线的一条渐近线方程为，则有，解可得，则双曲线的方程为：；故答案为：．根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析可得a、b的值，将其值代入双曲线的方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点位置以及虚轴长为2b．6.若实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】13【解析】解：实数x，y满足，表示的平面区域如图所示，当直线过点A时，目标函数取得最大值，由解得，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：13．故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7.若一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为______．【答案】2【解析】解：扇形的圆心角为，面积为，，解得：．故答案为：2．根据扇形的面积公式即可求得半径．本题考查了扇形面积的计算，正确理解公式是关键，属于基础题．8.若，且，则的值是______．【答案】【解析】解：，且，则，，即有．故答案为：．运用同角的平方关系，求得，再由商数关系，求得，再由二倍角的正切公式，即可得到所求值．本题考查二倍角的正切公式，考查同角基本关系式：平方关系和商数关系，考查运算能力，属于基础题．9.已知函数是R上的周期为4的偶函数，当时，，则______．【答案】2【解析】解：是定义在R上周期为4的偶函数，，由当时，，，故，故答案为：2．由已知中是定义在R上周期为4的偶函数，可得，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．10.在中，，，，点D，E分别在边BC和AC上，且，，则______．【答案】【解析】解：，，．又，，，．故答案为：．用表示出，再计算．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11.若函数有最小值，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数有最小值的充要条件为，即，故实数a的取值范围是．故答案为：．化简函数的解析式，得到有最小值的充要条件，由此求得实数a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，是一道中档题．12.已知，，圆C：，若圆C上存在唯一的点P，使得成立，则实数a的取值集合为______．【答案】【解析】解：设，则，，，，即．点轨迹方程为．圆C上存在唯一的点P符合题意，两圆相切，，解得或．故答案为：．求出P点的轨迹方程，令P的轨迹与圆C只有一个公共点列出方程得出a的值．本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．13.已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数的图象上，且满足，其中，，则四边形MNPQ的面积为______．【答案】【解析】解：，都在函数的图象上，，解得，，，的定义域为，，是奇函数，且在上单调递增，，四边形MNPQ是平行四边形，原点O为平行四边形MNPQ的对角线交点．，，，．四边形MNPQ的面积为．故答案为：．求出的解析式，根据的奇偶性与单调性可得O为平行四边形MNPQ的对角线交点，求出三角形OMN的面积即可得出平行四边形的面积．本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，平面向量的应用，属于中档题．14.若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为______．【答案】【解析】解：由，可得．，化为：，解得．，故答案为：．由，可得由，解得z 的范围，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.记函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B．16.求；17.若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：的定义域为集合A，由得：，即；又函数的值域为集合B，则所以；若对任意，不等式恒成立，即，恒成立，等价于恒成立，因为当时，当且仅当，即时取““，所以实数k的取值范围为：．【解析】由可得：，即；由可得，从而可得；，不等式恒成立，恒成立，等价于恒成立，利用基本不等式可得：当时，当且仅当，即时取““，于是可得实数k的取值范围为．本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．18.已知向量，．19.若，且，求x的值；20.记函数，将函数图象上的所有点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．【答案】解：向量，．，，即，，由函数，即，将图象上的所有点向左平移个单位，可得．函数，时，，故函数的值域为．【解析】根据向量平行，坐标的运算关系即可求解x的值；函数，求解的解析式，化简，根据三角函数的平移变换规律，求解即可求解时，求函数的值域．本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，平移，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．21.已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，的外接圆为．22.求的方程；23.若直线l与相交于P，Q两点，，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】解：令，解得，或，即，，令，则，即设的外接圆的方程为：，则，解得：故的方程为直线l与相交于P，Q两点，，则圆心到直线l的距离直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为，或经过原点；当直线l斜率为时，设直线的方程为：，由，解得：，或，当直线l经过原点时，设直线的方程为：，由，解得：，故直线l的方程为：，或，或，或．【解析】求出A，B，C三点坐标，设的外接圆的方程为：，将三点代入可得的方程；由已知可得圆心到直线l的距离，若直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为，或经过原点；进而得到答案．本题考查的知识点是圆方程的求法，直线与圆的位置关系，分类讨论思想，难度中档．24.如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得，船只大小、无人机大小忽略不计25.求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；26.若无人机到乙船的距离为单位：百米，求此时甲、乙两船的距离．【答案】解：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又，，．，，即，又，，，，，甲、乙两船的距离为百米．【解析】分别在和中利用正弦定理得出PA，PC，再根据，BC：：1得出的值；利用正弦定理及差角公式计算，得出BC，从而得出AB的值．本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．27.已知椭圆的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．28.给定椭圆的离心率为．29.若椭圆的右准线方程为，求椭圆方程；30.若A点为椭圆的下顶点，求；31.若椭圆上存在点P，使得的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】解：由题意可得，解得，，椭圆方程为．，，直线AB的方程为，，，，即直线AB方程为，联立方程组，消元得，或，点横坐标为2b，．设，，，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：，由，得．，要使的重心是坐标原点O，则有在上，得，，，，椭圆上存在点P，使得的重心是坐标原点O，则方程必成立．，，椭圆离心率e的取值范围为．【解析】由题意可得，解得a，b即可，直线AB的方程为，联立方程组，消元得，可得B点横坐标为2b，即可得．设，，，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：，由，得．，要使的重心是坐标原点O，则有得，，则方程必成立，即可得椭圆离心率e的取值范围本题考查了椭圆的方程、离心率的范围，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于难题．32.已知函数．33.若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；34.若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围；35.当时，设函数，其中e为自然对数底数，m为参数记函数，试确定函数的零点个数．【答案】解：函数的导数为，可得函数在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得；存在，使得不等式成立，即为的最大值，令，，，由，即，由于的导数为，即在递增，且时，，则为的极值点，当时，递减，当时，递增，则时，取得极大值，且为最大值1，则；当时，设函数，，则当，；当，．当时，，依题意，，无零点；当时，，，若，即，则e是的一个零点；若，即，则e不是的零点；当时，，所以此时只需考虑函数在上零点的情况．因为3e^{2}-m'/>，所以当时，0'/>，在上单调递增．又，所以当时，，在上无零点；时，，又，所以此时在上恰有一个零点；当时，令，得．由，得；由0'/>，得．所以在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以此时在上恰有一个零点；综上，时，没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点．【解析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a；由题意可得的最大值，令，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求范围；讨论当，；当，考虑当时，当时，当时，运用零点存在定理和函数的单调性，讨论m的范围，即可判断零点的个数．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式存在性问题的解法，注意运用转化思想，考查函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，是一道综合题．。
化学---江苏省扬州高邮市2017-2018学年高二上学期期中检测(必修)试题
江苏省扬州高邮市2017-2018学年高二上学期期中检测（必修）试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Mn-55 Fe-56第I卷（选择题，共69分）一、单项选择题：本部分共23小题，每小题3分，共69分。
在毎小题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。
1、我国科学家屠呦呦获得了2015年诺贝尔生理学或医学奖，她成为首位获科学类诺贝:奖的中国本土科学家。
她获奖的原因是发现了（）A.胰岛素B.维生素C.青霉素D.青蒿素2、下列物质不属于碱的是（）A.纯碱B.烧碱C.熟石灰D.一水合氨3、下列不属于天然高分子化合物的是（）A.淀粉B.纤维素C.油脂D.蛋白质4、下列各组物质中，前者为强电解质，后者为弱电解质的是（）A.硫酸，硫酸钡B.食盐，酒精C.酯酸钠，醋酸D.稀盐酸，次氯酸5、下列化学用语表示正确的是（）A.氯气的电子式：Cl:ClB.乙醇的结构简式：CH3CH2OHC.铝的原子结构示意图：D.碳酸氢钠的电离方程式：NaHCO3==Na++H++CO32-6、下列有关SO2的说法正确的是（）A.无色无味气体B.可用排水法收集C.具有较强的还原性D.可用碱石灰干燥7、下列物质既含有离子键，又含有共价键的是（）A.H2SB.Na2SC.H2SO4 D (NH4)2SO48、用铁片与稀硫酸反应制取氢气时，下列措施能使反应速率加快的是（）A.降低反应温度B.用生铁片代替纯铁片C.延长反应时间D.用浓硫酸代替稀硫酸9、下列过程吸收热量的是（）A.液氨汽化B.镁条燃烧C.氢氧化钠溶于水D.氧化钙与水反应10、下列制取单质的反应中，化合物作还原剂的是（）A.用铝和氢氧化钠溶液反应制取氢气B.用氢气高温还原氧化铜得到单质铜C.用碳和高温水蒸气反应制取氢气D.用氯气和溴化钠溶液反应制取溴11、下列关于苯的说法中，正确的是（）A.在空气中燃烧时产生较浓的黑烟B.分子中含有三个C-C键和三个C--C键C.分子中C、H元素的质量比为6∶1D.通入氢气即可发生加成反应12、下列有关物质用途的说法错误的是（）A.过氧化钠可用作潜艇里的供氧剂B.食醋可用于清除热水瓶中的水垢C.晶体硅可作光导纤维D.Cl2可用于自来水的杀菌消毒13、在下列反应中，HNO3既表现出氧化性，又表现出酸性的是（）A.H2S+2HNO3（浓）S↓+2NO2↑+2H2OB.CuO+2HNO3==Cu(NO3)2+H2OC.4HNO3（浓）4NO2 ↑+O2↑+ 2H2OD.3Cu+ 8HNO3（稀）3Cu( NO3)2+2NO ↑+4H2O14、下列各组物质互为同分异构体的是（）A.O2和O3B.CH3CH2CH2CH3和CH(CH3)3C.12C和13CD.CH4和CH3CH315、下列各组离子在溶液中能大量共存的是（）A.Al3+、Cl-、Ca2+B.Mg2+、SO42-、OH-C.Na+、SO42-、H+D.Fe2+、SCN-、K+16、用N A表示阿伏加德罗常数的值。
扬州市2018届高三上学期期中调研考试数学试题(含答案)
答：略
……16 分
c 2
19.
解：（1）①由题意得
aa2
2 b2
a2
2
c2
，解得
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b 1
2
，所以椭圆方程为
x2 2
y2
1
c
……2 分
②因为 e c a
2 2
，所以设椭圆方程为
x2 2c2
y2 c2
1 ，直线 l :
征向量．
22、（本小题满分10分） 某校校庆期间，高三艺术班的同学们准备了 7 个节目，其中歌舞类节目 3 个、小品类节
目 2 个、魔术类节目 2 个，现从中随机选取 3 个节目参加校庆文艺演出，记 X 为选出的 3 个节目中魔术类节目的个数，求X的分布列和数学期望E(X).
高三数学试题 II 第l页（共2页）
氐
c长
贮尼
B
i卧庄
A
高三数学试题 I 第3页（共4页）
19、（本小题满分 16 分）
,7 已知椭圆- aX产 2 y2 =l(a > b > 0)的右焦点为F, 直线l经过F且与椭圆交于A,B两点
(1)给定椭圆的离心率为义：
.r
2
＠若椭圆的右准线方程为x=2, 求椭圆方程； ＠若A点为椭圆的下顶点，求 AF
=
，则xyz的最小值为 10
�
．
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14 分）
✓ 记函数 f(x)= -x2+2x+3 的定义域为集合 A, 函数 g(x)=x2 - x+1,xeR 的值域
-2018扬州市高三上期中试卷及答案上课讲义
2017-2018学年度第一学期期中检测试题高三英语2017.11本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分120分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题，三部分，共85分）第一部分听力（共两节，每题1分，满分20分）第一节听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Why does the man need a map?A. T o tour Manchester.B. To find a restaurant.C. To learn about China.2. What does the woman want to do for vacation?A. G o to the beach.B. Travel to Colorado.C. Learn to snowboard.3. What will the man probably do?A. T ake the job.B. Refuse the offer.C. Change the working hours.4. What does the woman say about John?A. H e won't wait for her. B, He won’t come home today. C. He won’t be on time for dinner.5. What will the speakers probably do next?A, O rder some boxes. B. Go home and rest. C. Continue working.第二节听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2017-2018年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试卷及答案
2017-2018学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）直线l：2x﹣y+1=0的斜率为．2．（3分）命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为．3．（3分）直线l：kx+y﹣2k=0经过定点的坐标为．4．（3分）若命题p：x12+y12＜4（x1，y1∈R），命题q：点（x1，y1）在圆x2+y2=4内，则p是q的条件．5．（3分）已知两条直线l1：x+ay=2a+2，l2：ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=．6．（3分）命题p：“若a＞b，则＜”的否命题是（填：真、假）命题．7．（3分）两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为．8．（3分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为．9．（3分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．10．（3分）椭圆+=1和双曲线﹣y2=1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，由不等式所确定的图形的面积为．12．（3分）已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，PB⊥PA，则该椭圆的离心率e=．13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则的最大值为．14．（3分）已知对于点A（0，12），B（10，9），C（8，0），D（﹣4，7），存在唯一一个正方形S满足这四个点在S的不同边所在直线上，设正方形S面积为k，则10k的值为．二、解答题：15．已知命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程表示双曲线”．（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若q是真命题，求实数k的取值范围；（3）若“p∨q”是真命题，求实数k的取值范围．16．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程．17．古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍．倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决．首先作一个通经为2a（其中正数a为原立方体的棱长）的抛物线C1，如图，再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2，且与C1交于不同于点O的一点P，自点P向抛物线C1的对称轴作垂线，垂足为M，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C1的标准方程；（2）为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C2的标准方程（只须以一个开口方向为例）．18．如图，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．（1）求轨迹W的方程；（2）设P（m，0）为x轴正半轴上一点，求|PM|的最小值f（m）．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A 作直线l∥DF，且与y轴交于点P（0，t），又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q 和点E，满足OQ⊥OE（O为坐标原点），连接EQ（1）求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2=2相切；（2）判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由．20．已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．2017-2018学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）直线l：2x﹣y+1=0的斜率为2．【解答】解：根据题意，直线l：2x﹣y+1=0，变形可得y=2x+1，其斜率k=2；故答案为：2．2．（3分）命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为∀x∈R，都有x2+1＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0”的否定为：∀x∈R，都有x2+1＞0．故答案为：∀x∈R，都有x2+1＞0．3．（3分）直线l：kx+y﹣2k=0经过定点的坐标为（2，0）．【解答】解：直线l：kx+y﹣2k=0化为：k（x﹣2）+y=0，令，解得x=2，y=0．因此直线经过定点的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．4．（3分）若命题p：x12+y12＜4（x1，y1∈R），命题q：点（x1，y1）在圆x2+y2=4内，则p是q的充要条件．【解答】解：命题q：点（x1，y1）在圆x2+y2=4内⇔x12+y12＜4（x1，y1∈R），∴p是q的充要条件．故答案为：充要．5．（3分）已知两条直线l1：x+ay=2a+2，l2：ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=0．【解答】解：a=0时，两条直线方程分别化为：x=2；y=1，此时两条直线相互垂直．a≠0时，由﹣×（﹣a）=1≠﹣1，可知两条直线不垂直．综上可得：a=0．故答案为：0．6．（3分）命题p：“若a＞b，则＜”的否命题是假（填：真、假）命题．【解答】解：命题p：“若a＞b，则＜”的否命题是“若a≤b，则≥”，它是假命题；例如a=﹣1，b=1时，有＜．故答案为：假．7．（3分）两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为2．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0的圆心C1（3，﹣8），半径r1==11．圆x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的圆心C2（﹣2，4），半径r2==8，|C1C2|==13，∵|r1﹣r2|=3＜|C1C2|=13＜r1+r2，∴圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0相交，∴圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为2条．故答案为：2．8．（3分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为0或4．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0．故答案为：0或4．9．（3分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．10．（3分）椭圆+=1和双曲线﹣y2=1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组得，取P点坐标为（），，cos∠F1PF2==故答案为：．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，由不等式所确定的图形的面积为50π．【解答】解：根据题意，若x2+x﹣2≥y2+y﹣2，变形可得x2﹣y2≥y﹣2﹣x﹣2，即x2﹣y2≥，分析可得：或，又由x2+y2≤100表示以原点为圆心，10为半径的圆以及圆的内部，则不等式所确定的图形如图：其面积为圆O面积的一半，即不等式组所确定的图形的面积为×102×π=50π；故答案为：50π．12．（3分）已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，PB⊥PA，则该椭圆的离心率e=．【解答】解：根据题意椭圆的离心率为定值，故椭圆的形状确定，与大小无关因此设a=1，得椭圆的方程为，求出椭圆的半焦距c，即得椭圆的离心率．由F（c，0）及PF⊥x轴，得P（c，b2）∵PA的中点为坐标原点O∴A的坐标为（﹣c，﹣b2），得直线AF的斜率k==∴直线AF的方程为：y=（x﹣c）由联解，得B的横坐标x B=，将b2=1﹣c2代入，化简得x B=，代入直线AF方程，得B的纵坐标y B=∴直线PB的斜率k1==﹣2c∵PA的斜率k2=，且PB⊥PA，∴k1k2=﹣1，得﹣2c•=﹣1，解之得b=c=因此，该椭圆的离心率e==故答案为：13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则的最大值为．【解答】解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M到准线x=﹣的距离等于d，则由抛物线的定义得====，令m﹣=t，依题意知，m＞0，若t＞0，则==≤=，∴t max=，此时==；若﹣＜t＜0，y=t++单调递减，故y＜﹣﹣+=﹣1，∈（﹣1，0）；综上所述，=．故答案为：．14．（3分）已知对于点A（0，12），B（10，9），C（8，0），D（﹣4，7），存在唯一一个正方形S满足这四个点在S的不同边所在直线上，设正方形S面积为k，则10k的值为1936．【解答】解：点A（0，12），B（10，9），C（8，0），D（﹣4，7），设m为过点B的正方形S的边所在直线的斜率，则该直线方程l1：y﹣9=m（x﹣10），即mx﹣y+（9﹣10m）=0，过点C的正方形S的边所在直线方程l2：x+my﹣8=0，∵点D到l1的距离等于点A到l1的距离，∴=，解得m=或m=﹣3，当m=时，点A与点C在l1的两侧，矛盾，当m=3时，符合，此时k=（）2=，∴10k=1936．故答案为：1936．二、解答题：15．已知命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程表示双曲线”．（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若q是真命题，求实数k的取值范围；（3）若“p∨q”是真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，是真命题，则9﹣k＞k﹣1＞0，∴1＜k＜5；（2）q：“方程表示双曲线”是真命题，则（2﹣k）k＜0，∴k＜0或k＞2（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，即一真一假或全为真∴或或∴1＜k≤2或k＜0或k≥5或2＜k＜5∴k＜0或k＞1．16．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知：MP==2，即（2m）2+（m﹣2）2=4，解得：m=0或m=，则P的坐标为（0，0）或（，）；（2）设直线CD的斜率为k，由P（2，1），得到直线CD的解析式为y﹣1=k（x ﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0，∵圆的半径r=1，CD=，∴圆心到直线CD的距离d==，即=，解得：k=﹣或k=﹣1，则直线CD的方程为x+7y﹣9=0或x+y﹣3=0．17．古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍．倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决．首先作一个通经为2a（其中正数a为原立方体的棱长）的抛物线C1，如图，再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2，且与C1交于不同于点O的一点P，自点P向抛物线C1的对称轴作垂线，垂足为M，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C1的标准方程；（2）为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C2的标准方程（只须以一个开口方向为例）．【解答】解（1）以O为原点，OM为x轴正向建立平面直角坐标系，由题意，抛物线C1的通经为2a，所以标准方程为y2=2ax．（2）：设抛物线C2：x2=my（m＞0），联立抛物线C1、C2得：x4=2am2x，解得x=0或x3=2am2由题意OM3=x3=2am2=2a3．所以，m=a，所以抛物线C2为：x2=ay．18．如图，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．（1）求轨迹W的方程；（2）设P（m，0）为x轴正半轴上一点，求|PM|的最小值f（m）．【解答】解：（1）∵A，B两点关于x轴对称，∴AB边所在直线与y轴平行．设M（x，y），由题意，得A（x，x），B（x，﹣x），∴|AM|=x﹣y，|MB|=y+x∵|AM|•|MB|=3，∴（x﹣y）（y+x）=3，即x2﹣=1，∴点M的轨迹W的方程为x2﹣=1，x≥1；（2）P（m，0）为x轴正半轴上一点，当0＜m≤1时，|PM|min=1﹣m；当m＞1时，则|PM|====．若，即m≤4，则当x=1时，|PM|min=m﹣1；若，即m＞4，则当x=时，|PM|的最小值f（m）=．综上，f（m）=．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A 作直线l∥DF，且与y轴交于点P（0，t），又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q 和点E，满足OQ⊥OE（O为坐标原点），连接EQ（1）求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2=2相切；（2）判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由．【解答】解：（1）可得A（2，0），D（0，），F（，0），∵线l∥DF，∴k AP=k DF，即，解得t=2．∴直线AP：x+y﹣2=0圆x2+y2=2的圆心（0，0）到直线AP 的距离为而圆x2+y2=2的半径为，∴直线AP与圆x2+y2=2相切；（2）设Q（m，2），E（x0，y0）．设O到直线QE的距离为d，则有OQ2=m2+4，OE2=，k OE=﹣，由，得，由△QPE的面积可得：OQ2•OE2=QE2•d2，（m2+4）（）=[]•d2…①又∵4y0=﹣2mx0，，，∴①化简为（m2+4）•=（）•d2⇒=•d2=，⇒d2=2，d=，∴直线EQ与圆x2+y2=2相切．20．已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
江苏省高邮2017-2018学年高二上学期期中检测数学试卷含答案
2017-2018学年第一学期高二期中测试数学一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．若点)2,1(A 在直线053=-+y ax 上，则实数a 的值为 ▲ ．2．命题“3<∃x ，92>x”的否定是 ▲ ． 3．抛物线24x y =的准线方程是 ▲ ．4．命题“若α是钝角，则0sin >α”的逆否命题．．．．为 ▲ ． 5．若直线062=++y ax 与直线02)1(=+-+y a x 垂直，则实数a 的值为 ▲ ．6．若命题“t R ∃∈，20ta -<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．7．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆221x y m +=的焦点在y 轴上,则p 是q 的 ▲条件(用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．8.若两条直线012)1(,03=+++-=++a y x a ay x 互相平行，则这两条直线之间的距离为▲ ．9．若椭圆221167x y +=和双曲线2218y x -=有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是 ▲ ． 10．若不等式2230xx a -+-<成立的一个充分条件是05x <<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝8x 上一点P 到点A (4，0) 的距离等于它到准线的距离，则PA ＝ ▲ ．12。
在ABC ∆中，6A π=， 2BC =，D 是BC 的一个三等分点,则AD 的最大值是 ▲ ．13。
如图,在平面直角坐标系x y O 中,12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=(0a b >>）的左、右焦点，,B C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为D ,若11tan 2F BO ∠=,则直线CD 的斜率为▲ ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线23b y =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率为 ▲ ．二、解答题:(本大题共6小题，共90分。
2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷-教师用卷
实用文档2017-2018学年省市高三（上）期中数学试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={2,3}，B={3,4}，则A∪B=______．【答案】{2,3，4}【解析】解：集合A={2,3}，B={3,4}，则A∪B={2,3，4}，故答案为：{2,3，4}由条件和并集的运算直接求出，重复的元素写一次．本题考查了集合的并集运算，注意要满足元素的互异性．2.命题“∀x∈R，x2+2x+5>0”的否定是______．【答案】∃x0∈R，x02+2x0+5≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5>0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知复数z=1−ii(其中i为虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：z=1−ii =−i(1−i)−i2=−1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4.函数y=√3x−1的定义域是______．【答案】[0,+∞)【解析】解：函数y=√3x−1的定义域满足不等式3x−1≥0，解出即可得到：x≥0，故答案为：[0,+∞)列出不等式3x−1≥0，解出解集，即可得出答案．本题综合考查了不等式，指数函数的性质的运用，容易题，难度不大．5.若双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的方程为______．【答案】x24−y21=1第2页，共11页【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±ba x ， 双曲线的虚轴长为2，则2b =2，即b =1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y =12x ，则有b a =12， 解可得a =2， 则双曲线的方程为：x 24−y 21=1；故答案为：x 24−y 21=1．根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析可得a 、b 的值，将其值代入双曲线的方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点位置以及虚轴长为2b ．6. 若实数x ，y 满足{x −2y +2≥0x +y −2≥0x ≤3，则z =4x −y 的最大值为______．【答案】13【解析】解：实数x ，y 满足{x −2y +2≥0x +y −2≥0x ≤3，表示的平面区域如图所示，当直线z =4x −y 过点A 时，目标函数取得最大值，由{x +y −2=0x=3解得A(3,−1)，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值：13． 故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =4x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7. 若一个扇形的圆心角为34π，面积为32π，则此扇形的半径为______． 【答案】2【解析】解：∵扇形的圆心角为34π，面积为32π， ∴32π=12r 2×34π，解得：r =2． 故答案为：2．根据扇形的面积公式S =12r 2α即可求得半径．本题考查了扇形面积的计算，正确理解公式是关键，属于基础题．实用文档8. 若sinα=35，且α∈(0,π2)，则tan2α的值是______． 【答案】247【解析】解：sinα=35，且α∈(0,π2)， 则cosα=√1−(35)2=45，tanα=sinαcosα=34， 即有tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−916=247．故答案为：247．运用同角的平方关系，求得cosα，再由商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式，即可得到所求值．本题考查二倍角的正切公式，考查同角基本关系式：平方关系和商数关系，考查运算能力，属于基础题．9. 已知函数f(x)是R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=(12)x ，则f(2017)=______． 【答案】2【解析】解：∵f(x)是定义在R 上周期为4的偶函数， ∴f(2017)=f(1)=f(−1)， 由当x ∈[−2,0)时，f(x)=(12)x ，∴f(−1)=2， 故f(2017)=2， 故答案为：2．由已知中f(x)是定义在R 上周期为4的偶函数，可得f(2017)=f(1)=f(−1)，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．10. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60∘，点D ，E 分别在边BC 和AC 上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】−196【解析】解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．第4页，共11页又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos60∘=3， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+43−32=−196． 故答案为：−196．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11. 若函数f(x)=|3x −1|+ax +2(x ∈R)有最小值，则实数a 的取值围是______． 【答案】[−3,3]【解析】解：f(x)=|3x −1|+ax +2={(3+a)x +1,x ≥13(a −3)x +3,x <13，函数f(x)有最小值的充要条件为{a −3≤03+a≥0，即−3≤a ≤3，故实数a 的取值围是[−3,3]． 故答案为：[−3,3]．化简函数f(x)的解析式f(x)=|3x −1|+ax +3，得到f(x)有最小值的充要条件，由此求得实数a 的取值围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，是一道中档题．12. 已知A(−1,4)，B(2,1)，圆C ：(x −a)2+(y −2)2=16，若圆C 上存在唯一的点P ，使得PA 2+2PB 2=24成立，则实数a 的取值集合为______． 【答案】{−1,3}【解析】解：设P(x,y)，则PA 2=(x +1)2+(y −4)2=x 2+y 2+2x −8y +17， PB 2=(x −2)2+(y −1)2=x 2+y 2−4x −2y +5， ∵PA 2+2PB 2=24，∴x 2+y 2−2x −4y +1=0，即(x −1)2+(y −2)2=4． ∴P 点轨迹方程为(x −1)2+(y −2)2=4． ∵圆C 上存在唯一的点P 符合题意， ∴两圆相切，∴|a −1|=2，解得a =−1或a =3． 故答案为：{−1,3}．求出P 点的轨迹方程，令P 的轨迹与圆C 只有一个公共点列出方程得出a 的值． 本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．13. 已知四边形MNPQ 的四个顶点都在函数f(x)=log 12ax+1x+b的图象上，且满足MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中M(3,−1)，N(53,−2)，则四边形MNPQ 的面积为______． 【答案】263实用文档【解析】解：∵M(3,−1)，N(53,−2)都在函数f(x)=log 12ax+1x+b 的图象上，∴{log 123a+13+b=−1log1253a+153+b=−2，解得a =1，b =−1，∴f(x)=log 12x+1x−1=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)， ∵f(−x)=log 2−x−1−x+1=log 2x+1x−1=−f(x)， ∴f(x)是奇函数，且在(1,+∞)上单调递增， ∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴四边形MNPQ 是平行四边形， ∴原点O 为平行四边形MNPQ 的对角线交点．∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,−2)，∴cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√610， ∴S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√10×√613×√610=136．∴四边形MNPQ 的面积为4S △OMN =263．故答案为：263．求出f(x)的解析式，根据f(x)的奇偶性与单调性可得O 为平行四边形MNPQ 的对角线交点，求出三角形OMN 的面积即可得出平行四边形的面积．本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，平面向量的应用，属于中档题．14. 若实数x ，y ，z 满足{x 2+y 2+z 2=10xy+2z=1，则xyz 的最小值为______． 【答案】−28【解析】解：由xy +2z =1，可得xy =1−2z ． ∴10=x 2+y 2+z 2≥2xy +z 2=z 2−4z +2， 化为：z 2−4z −8≤0，解得2−2√3≤z ≤2+2√3．∴xyz =z(1−2z)z =−2z 2+z =−2(z −14)2+18≥4(1−2×4)=−28，故答案为：−28． 由xy +2z =1，可得xy =1−2z.由5=x 2+y 2+z 2≥2xy +z 2=z 2−4z +2，解得z 的围，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 记函数f(x)=√−x 2+2x +3的定义域为集合A ，函数g(x)=x 2−x +1，x ∈R 的值域为集合B ． (1)求A ∩B ；(2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立，数k 的取值围．第6页，共11页【答案】解：(1)f(x)=√−x 2+2x +3的定义域为集合A ， 由−x 2+2x +3≥0得：−1≤x ≤3，即A ={x|−1≤x ≤3}；又函数g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34(x ∈R)的值域为集合B ，则B ={x|x ≥34}. 所以A ∩B ={x|34≤x ≤3}；(2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立， 即∀x ∈(0,+∞)，x 2−x +1≥kx 恒成立， 等价于k ≤x +1x −1(x >0)恒成立，因为当x >0时，x +1x−1≥2√x ⋅1x−1=1(当且仅当x =1x ，即x =1时取“=“)，所以实数k 的取值围为：k ≤1．【解析】(1)由−x 2+2x +3≥0可得：−1≤x ≤3，即A ={x|−1≤x ≤3}；由g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34≥34可得B ={x|x ≥34}，从而可得A ∩B ={x|34≤x ≤3}；(2)∀x ∈(0,+∞)，不等式g(x)≥kx 恒成立⇔∀x ∈(0,+∞)，x 2−x +1≥kx 恒成立，等价于k ≤x +1x −1(x >0)恒成立，利用基本不等式可得：当x >0时，x +1x −1≥2√x ⋅1x−1=1(当且仅当x =1x ，即x =1时取“=“)，于是可得实数k 的取值围为k ≤1． 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．16. 已知向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)(x ∈R)．(1)若a ⃗ //b⃗ ，且x ∈[0,π]，求x 的值； (2)记函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，将函数f(x)图象上的所有点向左平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π]时，求函数g(x)的值域．【答案】解：向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)(x ∈R)． (1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴−√3cosx =sinx ， 即tanx =−√3， ∵x ∈[0,π]，∴x =2π3(2)由函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，即f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，将f(x)图象上的所有点向左平移π3个单位，可得y =2sin(x −π3−π6)=−2cosx ． ∴函数g(x)=−2cosx ， ∵x ∈[0,π]时， ∴−1≤cosx ≤1，故函数g(x)的值域为[−2,2]．【解析】(1)根据向量平行，坐标的运算关系即可求解x 的值； (2)函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，求解f(x)的解析式，化简，根据三角函数的平移变换规律，求解g(x)即可求解x ∈[0,π]时，求函数g(x)的值域．实用文档本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，平移，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17. 已知抛物线y =−14x 2+32x +4与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，△ABC 的外接圆为⊙M ． (1)求⊙M 的方程；(2)若直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，PQ =4√5，且直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】解：(1)令y =−14x 2+32x +4=0，解得x =−2，或x =8， 即A(−2,0)，B(8,0)，令x =0，则y =4，即C(0,4)设△ABC 的外接圆⊙M 的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2， 则{(−2−a)2+(−b)2=r 2(8−a)2+(−b)2=r 2(−a)2+(4−b)2=r 2，解得：{a =3b =0r =5故⊙M 的方程为(x −3)2+y 2=25(2)直线l 与⊙M 相交于P ，Q 两点，PQ =4√5， 则圆心(3,0)到直线l 的距离d =√25−(4√52)2=√5∵直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等， 则直线l 斜率为−1，或经过原点；当直线l 斜率为−1时，设直线的方程为：x +y +M =0， 由d =√2=√5，解得：M =−3+√10，或M =−3−√10，当直线l 经过原点时，设直线的方程为：Ax +y =0， 由d =|3A|√A 2+1=√5，解得：A =±√52，故直线l 的方程为：x +y −3+√10=0，或x +y −3−√10=0，或√5x +2y =0，或√5x −2y =0．【解析】(1)求出A ，B ，C 三点坐标，设△ABC 的外接圆⊙M 的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2，将三点代入可得⊙M 的方程；(2)由已知可得圆心(3,0)到直线l 的距离d =√5，若直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 斜率为−1，或经过原点；进而得到答案．本题考查的知识点是圆方程的求法，直线与圆的位置关系，分类讨论思想，难度中档．18. 如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间B 点处，丙船在最后面C 点处，且BC ：AB =5：1，此时一架无人机在空气的P 点处对它们进行数据测量，测得∠APB =30∘，∠BPC =90∘.(船只大小、无人机大小忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；(2)若无人机到乙船的距离为10(单位：百米)，求此时甲、乙两船的距离．【答案】解：(1)在△BPC中，由正弦定理得PCsin∠PBC=BCsin∠BPC=BC，在△PAB中，由正弦定理得PAsin∠PBA =ABsin∠APB=2AB，又∠PBC+∠PBA=180∘，∴sin∠PBC=sin∠PBA，∴PAPC =2ABBC=25．(2)∵PAPC =sinCsinA=25，∴2sin(60∘−C)=5sinC，即√3cosC−sinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0<C<60∘，∴sinC=√1313，∴BC=PBsinC =10√13，AB=15BC=2√13，∴甲、乙两船的距离为2√13百米．【解析】(1)分别在△PAB和△PBC中利用正弦定理得出PA，PC，再根据sin∠PBC= sin∠PBA，BC：AB=5：1得出PAPC的值；(2)利用正弦定理及差角公式计算sinC，得出BC，从而得出AB的值．本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．(1)给定椭圆的离心率为√22．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求AFBF；(2)若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值围．【答案】解：(1)①由题意可得{ca =√22a2c=2a2=b2+c2，解得a=√2，b=1，∴椭圆方程为x22+y2=1．②F(c,0)，A(0,−b)，∴直线AB的方程为y=bcx−b，∵e=ca =√22，∴b=c，a=√2b，∴即直线AB方程为y=x−b，第8页，共11页实用文档联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b ，消元得x 2−2bx =0， ∴x =0或x =2b ，∴B 点横坐标为2b ，∴AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ， 由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0∴{x 0=−2a 2cb 2m 2+a 2y 0=2mcb 2b 2m 2+a 2P(x 0,y 0)在b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2上，得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒b 4m 4+(2b 2a 2−4c 2b 2)m 2+a 4−4a 2c 2=0， ⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0， ∵⇒b 2m 2+a 2>0， ∴椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立． ∴a 2−4c 2≤0，⇒c 2a ≥14⇒e =c a ≥12，椭圆离心率e 的取值围为[12,1)．【解析】(1)①由题意可得{ ca =√22a 2c=2a 2=b 2+c 2，解得a ，b 即可，②直线AB 的方程为y =bc x −b ，联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b，消元得x 2−2bx =0，可得B点横坐标为2b ，即可得AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ，由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立，⇒c 2a 2≥14⇒e=ca ≥12即可得椭圆离心率e的取值围本题考查了椭圆的方程、离心率的围，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于难题．20.已知函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)．(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=−3x平行，数a的值；(2)若存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，数a的取值围；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)，q(x)=x3−mx+e(其中e为自然对数底数，m为参数).记函数ℎ(x)=p(x)+q(x)+|p(x)−q(x)|2，试确定函数ℎ(x)的零点个数．【答案】解：(1)函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)的导数为f′(x)=2+1x−a(2x+1)，可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为3−3a，由切线与直线y=−3x平行，可得3−3a=−3，解得a=2；(2)存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，即为a≤2x+lnxx2+x的最大值，令m(x)=2x+lnxx2+x ，(x>0)，m′(x)=(2x+1)(1−x−lnx)(x2+x)2，由1−x−lnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx−1的导数为1+1x>0，即x+ln−1在x>0递增，且x=1时，x+lnx−1=0，则x=1为m(x)的极值点，当x>1时，m(x)递减，当0<x<1时，m(x)递增，则x=1时，m(x)取得极大值，且为最大值1，则a≤1；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)=1−lnx，q(x)=x3−mx+e，则当1−lnx≥x3−mx+e，ℎ(x)=1−lnx；当1−lnx<x3−mx+e，ℎ(x)=x3−mx+e．①当x∈(0,e)时，p(x)>0，依题意，ℎ(x)≥p(x)>0，ℎ(x)无零点；②当x=e时，p(e)=0，q(e)=e3−me+e，若q(e)=e3−me+e≤0，即m≥e2+1，则e是ℎ(x)的一个零点；若q(e)=e3−me+e>0，即m<e2+1，则e不是ℎ(x)的零点；③当x∈(e,+∞)时，p(x)<0，所以此时只需考虑函数q(x)在(e,+∞)上零点的情况．因为 3e^{2}-m'/>，所以当m≤3e2时， 0'/>，q(x)在(e,+∞)上单调递增．又q(e)=e3−me+e，所以(i)当m≤e2+1时，q(e)≥0，q(x)在(e,+∞)上无零点；(ii)3e2≥m>e2+1时，q(e)<0，又q(2e)=8e3−2me+e≥6e3−e>0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；第10页，共11页实用文档当m>3e2时，令，得x=±√m3．由，得e<x<√m3；由 0'/>，得x>√m3．所以q(x)在(e,√m3)上单调递减，在(√m3,+∞)上单调递增．因为q(e)=e3−me+e<e3−3e3+e<0，q(m)=m3−m2+e>m2−m2+e=e>0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；综上，m<e2+1时，ℎ(x)没有零点；m=e2+1时，ℎ(x)有一个零点；m>e2+1时，ℎ(x)有两个零点．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a；(2)由题意可得a≤2x+lnxx2+x 的最大值，令m(x)=2x+lnxx2+x，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求围；(3)讨论当1−lnx≥x3−mx+e，ℎ(x)=1−lnx；当1−lnx<x3−mx+e，ℎ(x)= x3−mx+e.考虑当x∈(0,e)时，当x=e时，当x>e时，运用零点存在定理和函数的单调性，讨论m的围，即可判断零点的个数．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式存在性问题的解法，注意运用转化思想，考查函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，是一道综合题．。
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2017-2018学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若点A（1，2）在直线ax+3y﹣5=0上，则实数a的值为．2．（5分）命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是．3．（5分）抛物线y=的准线方程是．4．（5分）命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为．5．（5分）若直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+2=0垂直，则实数a的值为．6．（5分）若命题“∃t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．（5分）已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）8．（5分）若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为．9．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．10．（5分）若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，则实数a 的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x上一点P到点A（4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=．12．（5分）在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是．13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．（1）求点A的坐标；（2）若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．16．（14分）已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．17．（15分）在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P （﹣3，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．18．（15分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为6，求实数a的值；（3）当a=1时，圆O：x2+y2=2与圆C交于M，N两点，求弦MN的长．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．（1）求m的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆S过定点P（﹣2），且与定圆Q：（x﹣2）2+y2=36相切，记动圆圆心S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C 上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；（3）在（2）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若点A（1，2）在直线ax+3y﹣5=0上，则实数a的值为﹣1．【解答】解：根据题意，点A（1，2）在直线ax+3y﹣5=0上，将A的坐标代入直线方程可得：a+3×2﹣5=0，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．2．（5分）命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是∀x＜3，x2≤9．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是：∀x＜3，x2≤9，故答案为：∀x＜3，x2≤9．3．（5分）抛物线y=的准线方程是y=﹣1．【解答】解：抛物线的方程为x2=4y故p=2其准线方程为y=﹣1故答案为：y=﹣1．4．（5分）命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为“若sinα≤0，则α不是钝角”．【解答】解：命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为“若sinα≤0，则α不是钝角”．故答案为：“若sinα≤0，则α不是钝角”．5．（5分）若直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+2=0垂直，则实数a的值为．【解答】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+2=0垂直，∴a×1+2（a﹣1）=0，解得a=．故答案为：．6．（5分）若命题“∃t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（0，+∞）．【解答】解：命题“∃t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，∴△=0﹣4（﹣a）＞0．∴a＞0，则实数a的取值范围是：（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．7．（5分）已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的充要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）【解答】解：p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，∴0＜m＜1．则p是q的充要条件．故答案为：充要．8．（5分）若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为．【解答】解：∵两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，∴，解得a=﹣1，或a=2（舍）．∴a=﹣1．这两条直线之间的距离为：=故答案为：．9．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是15．【解答】解：因为椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设P在双曲线的右支上，利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2×4=8 ①|PF1|﹣|PF2|=2×1=2 ②由①②得：|PF1|=5，|PF2|=3．∴|PF1|•|PF2|=15．故答案为：15．10．（5分）若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，则实数a 的取值范围是[18，+∞）．【解答】解：∵不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，∴当0＜x＜5时，不等式不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立，设f（x）=x2﹣2x+3﹣a，则满足，即解得：a≥18，故答案为：[18，+∞）．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x上一点P到点A（4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=5．【解答】解：由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣2．∵A（4，0），F（2，0），抛物线y2=8x上一点P到点A（4，0）的距离等于它到准线的距离，∴P的横坐标为3，∴PA=2+3=5，故答案为：5．12．（5分）在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是+2．【解答】解：如图建立坐标系，如图△ABC的外接圆满足2R===4，∴R=2，∵若AD取最大值，∴A，M，D在同一直线上，设M点坐标为（x，y），∵MB=MC，∴（x+1）2+y2=y2+（x﹣1）2=4，解得x=0，y=∴△ABC的外接圆的圆心M（0，），∵D（﹣，0）∴|AD|max=|MD|+R=+2=+2，故答案为：13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a ＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为．【解答】解：tan∠F1BO=，可得，可设b=2t，c=t，a=，设D（m，n），即有，即为，B（0，b），C（0，﹣b），即有k BD•k CD==﹣，===﹣2，由k即有k CD=．故答案为：．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为．【解答】解：设右焦点F（c，0），将直线方程代入椭圆方程可得x=±a，可得B（﹣，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为4b2=5a2﹣9c2，由b2=a2﹣c2，即有5c2=a2，由e==故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．（1）求点A的坐标；（2）若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．【解答】解：（1）由题意，A点是直线方程为x﹣2y+1=0，直线的方程为y=0的交点，即，解得：∴点A的坐标为：A（﹣1，0）．（2）∵y=0是∠A的平分线，∴点B关于y=0的对称点B′（1，﹣2）在直线AC上，∴直线AC的方程为==﹣1，即y=﹣x﹣1．又∵BC的方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+4．由，解得：∴点C的坐标为（5，﹣6）．16．（14分）已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则﹣2≤x≤4，…（2分）若命题q为真，则﹣3m≤x≤2m．…（4分）（1）若q是p的必要不充分条件，则解得m≥2，故m的取值范围为[2，+∞）．…（8分）（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．…（10分）则解得，故m的取值范围为．…（14分）17．（15分）在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P （﹣3，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为．…（2分）∵点P（﹣3，0）在双曲线上，∴a=3．∵双曲线C的离心率为：，∴．∵c2=a2+b2，∴b=3．∴双曲线的方程为：，…（4分）其渐近线方程为：y=±x．…（7分）（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，…（9分）直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣3，0），F2（0，6）．…（11分）∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣12x；…（13分）以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=24y．…（15分）18．（15分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为6，求实数a的值；（3）当a=1时，圆O：x2+y2=2与圆C交于M，N两点，求弦MN的长．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a由圆的半径为3可知，5﹣a=9，所以a=﹣4…（4分）（2）弦，解得a=﹣6…（8分）（3）当a=1时，圆C为x2+y2+2x﹣4y+1=0，又圆P：P：x2+y2=2所以两圆的相交弦所在直线方程为2x﹣4y+3=0…（11分）圆心O到MN的距离为所以…（15分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．（1）求m的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为．所以，解得m=9．所以椭圆的方程为…（3分）准线方程为…（5分）（2）由题可知A（﹣5，0），B（5，0），F（4，0），设P（x0，y0）．由椭圆的对称性，不妨设y0＞0①若x0=4，则，PF方程为x=4，AP方程为，D（5，2）以BD为直径的圆的圆心（5，1），半径为1与直线PF相切；…（8分）②若x0≠4，则AP方程为令x=5，得，则以BD为直径的圆的圆心，半径为…（11分）直线PF方程为，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0圆心M到直线PF的距离…（13分）=═=所以圆M与直线PF相切…（15分）综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…（16分）20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆S过定点P（﹣2），且与定圆Q：（x﹣2）2+y2=36相切，记动圆圆心S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C 上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；（3）在（2）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围．【解答】解：（1）设圆S的半径为R，∵点在圆内，且两圆相切∴设PS=R，QS=6﹣R，∴，∴圆心S的轨迹为以P，Q为焦点，长轴长为6的椭圆．…（1分）∴2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∴b2=1，∴曲线C的方程为．…（3分）（2）由（1）可知A（3，0），B（0，1）设AM的斜率为k，则直线AM方程为y=k（x﹣3），直线BN方程为y=﹣kx+1由，得M点坐标为…（5分）由，得…（7分）所以MN的斜率…（9分）（3）设MN的方程为，由，得2x2+6mx+9m2﹣9=0则，…（11分）A到直线MN的距离分别为…（12分）B到直线MN的距离分别为…（13分）所以四边形AMBN面积=…（15分）又﹣1＜m＜1，所以四边形AMBN面积的取值范围是．…（16分）。