广东省中山一中2017-2018学年第二学期高二级第一次段考题文科数学试题(精选)

中山一中2017-2018学年第二学期高二级
第一次段考（文科）数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求解一元二次不等式，然后确定最终结果即可.
详解：求解一元二次不等式可得，
据此可知：“”是“”的必要不充分条件.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查不等式的解法，条件的充分性、必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，这种思维方式是（）
A. 归纳推理
B. 演绎推理
C. 类比推理
D. 其它推理
【答案】C
【解析】试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。

本题中描述的都是关于相切问题下的性质，因此属于类比推理
考点：类比推理
3. 曲线与曲线（）的（）
A. 顶点相同
B. 虚轴长相等
C. 焦点相同
D. 离心率相等
【答案】C
【解析】分析：逐一考查两曲线的性质，据此即可确定曲线的性质.
详解：考查曲线的性质：
顶点坐标为，虚轴长为，焦点坐标为，离心率为；
考查曲线（）的性质：
顶点坐标为，虚轴长为，焦点坐标为，离心率为；
据此可知两曲线的焦点相同.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查双曲线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意可知命题的否定为真命题，据此求解a的取值范围即可.
详解：由题意可知，题中所给命题的否定为真命题，即：
,,
则，解得：.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查命题及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性即可.
详解：由题意可得：，
函数的单调递增区间满足：，即，
结合可得，
即函数的单调递增区间是.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6. 复平面内表示复数的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
求解不等式组有：，
据此可得：实数m的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查复数的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 下列不等式中：
①；②；
③；④．
其中正确的序号是（）
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ③④
【答案】B
【解析】分析：由题意逐一考查所给的不等式是否成立即可.
详解：逐一考查所给的不等式：
，，
即：，整理可得：，说法①正确；
，
，，说法②正确；
，
，，说法③正确；
，
，，说法④错误；
综上可得：正确的序号是①②③.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查不等式的性质的应用，实数大小的比较等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8. 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图的运行过程确定①处应填的自然数即可.
详解：由题意结合流程图和输出值运行程序如下：
首先初始化数据，，
第一次循环时：；
第二次循环时：；
第三次循环时：；
第四次循环时：；
此时满足题意，应跳出循环，
即①处应填的自然数为5.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
9. 设，，…，（n∈N*），则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合所给的定义进行导数运算，然后归纳推理即可确定的值. 详解：由题意可得：，
，，
据此归纳推理可得：.
本题选择D选项.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
10. 以下四个椭圆方程所表示的图形中，其形状最圆的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意求解椭圆的离心率，然后确定最圆的椭圆即可.
详解：考查题中所给选项的椭圆的离心率：
A.，，则；
B.，，则；
C.，椭圆方程即，，则；
D.，椭圆方程即，，则；
越小，则椭圆越圆，据此可知，形状最圆的是.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查椭圆的离心率的求解及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
A. 成绩
B. 视力
C. 智商
D. 阅读量
【答案】D
【解析】试题分析：由表中数据可得
表1:；表2:；
表3:；表4:．
其中最大,所以阅读量与性别有关联的可能性最大．故D正确．
考点：独立性检验．
12. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，若函数，且，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后结合恒成立的结论整理计算即可求得最终结果.
详解：构造函数，令，
由题意可知，函数在内单调递增，
即恒成立，则恒成立，即.
结合可知，则.
即实数的取值范围是.
.
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）
13. 复数的共轭复数为______________．
【答案】
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可知：，
则复数的共轭复数为.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 已知经过计算和验证有下列正确的不等式:,,, ,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式___.
【答案】
【解析】解：根据已知条件，可知左边表示的连续正整数的倒数和，并且有项的和，右边是分母为2，分子是n,即为，因此我们可以得到一般结论，即为
15. 已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，则转动开始后第4秒的瞬时角速度为____________弧度/秒．
【答案】
【解析】分析：由题意首先确定比例系数，然后结合导函数的物理意义整理计算即可求得最终结果.
详解：设旋转角度为，时间为，由题意可知：，
车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，则，解得：，
即：，
由导函数的物理意义可知，角速度的表达式为：，
则转动开始后第4秒的瞬时角速度为弧度/秒．
点睛：微积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为微积分时出现错误．
16. 教材上一例问题如下：
一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y与x之间的回归方程．
某同学利用图形计算器研究它时，先作出散点图（如图所示），发现两个变量不呈线性相关关系．根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型曲线的附近（和是待定的参数），于是进行了如下的计算：
根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为__________．（精确到0.0001）（提示：利用代换可转化为线性关系）
【答案】
【解析】分析：由题意首先将非线性问题转化为线性问题，然后结合线性回归方程的公式整理计算即可求得最终结果.
详解：对回归方程：两侧作对数运算可得：，
即与之间具有线性相关关系，
结合题中的图片可知两者之间的回归方程系数为：
，，
即：，
据此可得，红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为.
点睛：本题主要考查非线性回归方程的计算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17. 数列{a n}中，且．
（1）求数列{a n}的前5项；
（2）由（1）猜想数列{a n}的一个通项公式；
（3）求证数列为等比数列．
【答案】（1）0，2，8，26，80．（2）（3）见解析
【解析】分析：（1）由题意结合递推关系计算可得数列{a n}的前5项为0，2，8，26，80．
（2）猜想．
（3）整理递推关系可得，则数列是一个首项为1，公比为3的等比数列．
详解：（1）由且，得：
，，
，，
所以，数列{a n}的前5项为0，2，8，26，80．
（2）猜想．
（3）由得，
而，
所以数列是一个首项为1，公比为3的等比数列．
点睛：本题主要考查数列的递推关系，等比数列的判断与证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18. 已知的三边长分别为，其面积为，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．由平面类比到空间，设空间四面体的各表面面积分别为
，其体积为，四面体的内切球半径为r，试猜测对空间四面体存在什么类似结论？并加以证明．
【答案】，证明见解析.
【解析】分析：猜测结论：．结合棱锥的性质利用体积相等即可证得猜想的结论.
详解：猜测结论：．
下面加以证明：
设四面体的内切球球心为，则有
．
．
∴．
点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
19. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.
（1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?
（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2016年年初着手治理环境污染，改善空气质量，检测到2016年1～5月的日平均PM2.5指数如下表：
试根据上表数据，求月份x与PM2.5指数y的线性回归直线方程，并预测2016年8月份的日平均PM2.5指数(保留小数点后一位).
【答案】（1）有99.5%的把握（2）预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5 【解析】分析：（1）由题意计算观测值可得，则有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.
（2）结合题中所给的数据计算回归方程可得.据此预测可得2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5.
详解：（1），
查表得，
所以，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.
（2），.
，
，
.
当时，，
所以，预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
20. 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且//．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧
，到是线段．设，观光路线总长为．
（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．
【答案】（1），．（2）观光路线总长的最大值为千米
【解析】试题分析：（1）函数应用题，必须明确题意：观光路线总长为圆弧与线段之和，由弧长公式得，由直角三角形得，所以，根据实际意义得函数的定义域为
（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求零点，列表分析函数变换趋势得函数在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.
试题解析：（1）由题意知，，2分
，5分
因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，
所以
所以，7分
（2）记,则，9分
令，得，11分
列表
，
所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 13分
即
，
答：观光路线总长的最大值为
千米． 14分
考点：函数解析式，利用导数求函数最值 21. 已知椭圆的方程为
，其焦点在轴上，点
为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程； （2
）设动点
满足
，其中、是椭圆上的点，直线
与
的斜率之积为
，求证：
为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析. 【解析】分析：（1）由题意可得，则，椭圆方程为．
（2）设
，
，由题意可得
，结合平面向量的坐标运算可得
为定值.
详解：（1）因为点为椭圆上一点，所以
，
解得，所以椭圆方程为
．
（2）设，， 则，， 即，
，
由已知
，化简得，
，
所以
（定值）.
点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22. 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；
（2）若，试讨论函数的单调性．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象在点处的切线平行于轴得，即；（Ⅱ）利用第一问，对二次项系数讨论，结合图像易得函数的单调性.
试题解析：
（Ⅰ）依题意得，则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得：
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵函数的定义域为
∴当时，
由得，由得
即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减
当时，令得或
若，即时，由得或，由得
即函数在，上单调递增，在单调递减
若，即时，由得或，由得
即函数在，上单调递增，在单调递减
若，即时，在上恒有
即函数在上单调递增
综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增
点睛：求函数的单调区间的“两个”方法
方法一
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数；
(3)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
(4)确在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。