课时作业4：7.4.2 超几何分布

7.4.2 超几何分布
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.1721 答案 C
解析 根据题意，得P ＝C 14C 2
5
C 39＝1021
.
2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球
的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 2
22
C 226
的是( )
A ．P (0<X ≤2)
B ．P (X ≤1)
C ．P (X ＝1)
D ．P (X ＝2)
答案 B
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 3．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是( ) A ．n B.(n －1)M
N
C.nM
N D.(n ＋1)M N
答案 C
解析 设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E (X )＝nM
N
.
4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( ) A.542 B.435 C.1942 D.821 答案 A
解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分
布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 3
4
C 4
10
＝
24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝5
42
.故选A. 5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )
A.2245
B.949
C.47
245 D ．以上都不对 答案 A
解析 设抽到的次品数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝5，n ＝2.于是出现2件次品的概率为
P (X ＝2)＝C 25C 2－
2
45
C 250＝2245
.
6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 答案
1538
解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115
C 220＝1538
.
7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)＝________，随机变量X 的均值E (X )＝________. 答案
14
15
0.6 解析 X 表示取得次品的个数，则X 服从超几何分布，
所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17
C 210＝715＋715＝1415，E (X )＝2×310
＝0.6.
8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________． 答案 4
5
解析 设X 表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是
P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 24C 12C 36＋C 34C 02C 36＝4
5
.
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 解 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－
k
4
C 36，k ＝0,1,2.
所以，P (ξ＝0)＝C 02C 3
4
C 36＝15，
P (ξ＝1)＝C 12C 2
4C 36＝3
5
，
P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝1
5
.
所以，ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
15
35
15
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝4
5
.
10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．
解 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ， 依题意有P (A )＝p 2＝0.04， 解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)，
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28
C 210＝2845
，
P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝16
45
，
P (X ＝2)＝C 22
C 210＝145.
所以X 的分布列为
X 0 1 2 P
2845
1645
145
11．(多选)10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为16
45，则a 等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案 BD
解析 由题意知，1645＝C 110－a C 1
a
C 2
10
， 整理，得a 2－10a ＋16＝0， 解得a ＝2或8.
12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是3
10的事件
为( )
A ．恰有1个是坏的
B ．4个全是好的
C ．恰有2个是好的
D ．至多有2个是坏的
答案 C
解析 设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，
则P (X ＝k )＝C k 7C 4－
k 3
C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16
，
故选C.
13．一只袋内装有m 个白球，(n －m )个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于(n －m )A 2m
A 3n 的是( )
A ．P (X ＝3)
B ．P (X ≥2)
C ．P (X ≤3)
D ．P (X ＝2)
答案 D
解析 当X ＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A 2m 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C 1n －m 种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即
A 3n ，P (X ＝2)＝
A 2m C 1
n －m A 3n ＝(n －m )A 2m
A 3n
.故选D. 14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X ，则X 的均值E (X )＝________. 答案
11
14
3 解析 依题意，甲能通过的概率为
P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 12C 36C 48＋C 02C 46
C 48＝814＋314＝1114.
由于P (X ＝2)＝C 22C 2
6
C 48＝314
，
方法一 故E (X )＝2×314＋3×814＋4×3
14
＝3.
方法二 E (X )＝4×6
8
＝3.
15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________． 答案 15
解析 用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －
148C n 50＋C 22C n －
248
C n 50
>0.5，解得n ≥15.
16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数为X 的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k
件一等品的结果数为C k 3C 3－
k
7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－
k
7
C 310
，k ＝0,1,2,3.
∴随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
724
2140
740
1120
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.
由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，
而P (A 1)＝C 13C 23
C 310＝340
，
P (A 2)＝P (X ＝2)＝7
40，
P (A 3)＝P (X ＝3)＝1
120
.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝3
40＋
740＋1120＝31120
.。