高等代数知识点总结

特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
04
线性变换
线性变换的定义与性质
01 02
线性变换
设V是数域P上的线性空间，若V中有有限个元素，且对于V中的任意元 素α，β和数域P中的任意数k，都有$T(α+β)=T(α)+T(β)$和 $T(kα)=kT(α)$，则称T为线性变换。
线性变换的性质
线性变换将线性相关的元素变为线性相关的元素，不能改变元素的线性 相关性。
设f是数域P上线性空间V的线性变换，若λ 是f的特征值，α为f的属于特征值λ的特征向
量，则有f(λα)=λf(α)=λλα=λα^2。
05
二次型
二次型的定义与性质
定义
二次型是指一个多项式，其各项按照某种字母升降幂 排列，且每个项的次数不超过2。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性质
二次型的系数不一定相同，但它们都是实数。
二次型的标准型与对角化
03
行消元，消元后行列式的值不变。
行列式的展开定理
代数余子式展开定理
行列式等于它的任一主对角线上的元素 与其对应的代数余子式的乘积之和，即 |A|=a11A11+a12A12+...+an1An1。
VS
拉普拉斯展开定理
行列式等于它的任一元素与其对应的代数 余子式的乘积之和，即 |A|=a11A11+a12A12+...+an1An1。
矩阵表示的性质
设A为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn的矩阵表示，则有 $AT=TA=A$。
特征值与特征向量的定义与性质
特征值与特征向量的定义
设f是数域P上线性空间V的线性变换，若存 在非零向量α∈V，使得f(α)=λα（λ≠0）， 则称λ为f的特征值，α为f的属于特征值λ的 特征向量。
特征值的性质
标准型
将二次型化为标准型，即将其转化为一个完全平方和 的形式。
对角化
通过一系列的线性变换，将二次型化为对角线形式，即 每个变量只出现一次。
特殊二次型的解法与应用
特殊二次型的解法
对于一些特殊的二次型，如正定二次型、负定二次型等，有特殊的解法。
应用
二次型在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。例如，二次型的矩阵表示在统计学、信号处理等领域都有应 用。
THANKS
感谢观看
矩阵在计算机图形学中的应用
变换矩阵
矩阵可以表示物体的平移、旋转、缩放等变换，通过矩阵乘法可 以实现物体的各种变换。
投影矩阵
矩阵可以表示物体的投影变换，通过矩阵乘法可以实现物体在二 维平面上投影。
光照模型
矩阵可以表示光照对物体的影响，通过矩阵乘法可以实现光照效 果的计算。
行列式在求根与解方程中的应用
下三角矩阵
主对角线以上的所有元素都为0的方阵称为下三角矩 阵。
03
行列式
行列式的定义与性质
• 定义：由n阶方阵A的元素aij(i,j=1,2,...,n)按一定排列方式构成的矩形表格叫做n阶方阵A的行列式，记作det(A) 或|A|。
行列式的定义与性质
基本性质
1
2
行列式的行标与列标可以对换，对应行列式的值 不变，即|A|=|-A|。
若线性方程组的系数矩阵的秩 等于增广矩阵的秩，则该方程 组有唯一解；若两者秩不相等
，则该方程组无解。
解的求解方法
高斯消元法
01
将线性方程组转化为阶梯形矩阵，从而得到方程组的
解。
逆矩阵法
02 利用逆矩阵的概念和性质，通过计算逆矩阵来求解线
性方程组。
克拉默法则
03
根据克莱姆法则，通过计算行列式来求解线性方程组
矩阵的乘法
矩阵的乘法运算是指将两个矩阵按照一定的规则相乘。
矩阵的逆与转置
要点一
矩阵的逆
一个方阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘为单位矩阵的矩阵。
要点二
矩阵的转置
将一个矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵称为转置。
特殊矩阵及其性质
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的方阵称 为对角矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的所有元素都为0的方阵称为上三角矩 阵。
06
高等代数应用案例
线性方程组在物理中的应用
力学问题
线性方程组可以描述物体运动、碰撞等物理现象，求解线性方程组 可以得到物体的运动轨迹、速度、加速度等参数。
电磁学问题
线性方程组可以描述电磁场分布、电磁波传播等电磁现象，求解线 性方程组可以得到电场强度、磁场强度等参数。
热力学问题
线性方程组可以描述温度分布、热量传递等热现象，求解线性方程组 可以得到物体温度变化情况。
求根
行列式可以用于求解线性方程组的根，通过求解行列式等于零的方程可以得到方程的解。
解方程
行列式可以用于求解线性方程组的解，通过求解系数矩阵的行列式不为零的方程可以得到方程的解。
线性变换在图像处理中的应用
01
图像缩放
线性变换可以用于图像缩放，通 过矩阵乘法可以实现图像的缩放 。
图像旋转
02
03
图像剪切
高等代数知识点总结
汇报人： 2023-12-05
目 录
• 线性方程组 • 矩阵运算 • 行列式 • 线性变换 • 二次型 • 高等代数应用案例
01
线性方程组
解的判定定理
克莱姆法则
若线性方程组的系数行列式不 为零，则该方程组有唯一解。
逆矩阵
若给定线性方程组的系数矩阵 可逆，则该方程组有唯一解。
秩与解的关系
。
特殊线性方程组的解法
齐次线性方程组
若线性方程组的系数矩阵为零矩阵，则该方程组有无数个解或无解。
非齐次线性方程组
若线性方程组的系数矩阵不为零，且增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，则该方程组有唯一解；若增广矩阵的秩大 于系数矩阵的秩，则该方程组无解。
02
矩阵运算
矩阵的加法与乘法
矩阵的加法
矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加。