13.2.2命题与证明2
13.2命题与证明(第二课时)课件(共32张PPT)
知识连接
人们在长期实践中检验所得的真命题， 作为判断其他命题真假的依据，这些 作为原始根据的真命题称为基本事实 。
▲问题1：
你能举出几个前面已学过的基本事实吗？
如:关于直线： 两点确定一
条直线 .
关于平行：经过直线外一点，
有且只有一条 直线平行于已知直线.
关于线段：两点之间，
线段最短
▲有些命题，如：“对顶角相等”，“三角形三个 内角的和等于180°”等，它们的正确性已经经过 推理得到证实，并被作为判断其他命题真假 的依 据，这样的真命题称为定理。推理的过程叫做证明.
共同点：都是真命题 不同点：基本事实的正确性是人们长期实践检验
所证实的，不需要证明。 定理的正确性是依赖推理证实的.
基本事实和定理
基本事实：人们从长期的实践中总结出来， 作为 判断其他命题真假的依据，这些作为原始依据的真 命题叫做公理。 例如：线段公理：两点之间，线段最短； 平行公理：两直线平行，同位角相等.
（3）_经__过__分__析__，_找__出__已__知条件推出结论的途径，写出证 明过程；
2.证明：“内错角相等，两直线平行”。 a
分析:(1)画出图形 (2)找出题设：两形直成线的被内第错三角条相直等线所截，
b
结论：这两条直线平行
3 1 2
c
写出已知： 如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2
2、“两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两 点的距离”的定义;
3、“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1, 这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定 义; 4、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是“平 行四边形”的定义;
5、“从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本”是“样本” 的定义；
沪科8年级数学上册第13章2 命题与证明
作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实
(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
知4－练
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
知识点 5 三角形内角和定理及推论1, 2
知5－讲
1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2. 三角形内角和定理的证明
知5－讲
证明方法 方法一
图示
证明过程
如图，过点A作l∥BC，则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知1－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题， (1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知1－练
1-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( C ) A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点 B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那 么这三条线段一定能组成三角形 C． 三角形的内角和等于180° D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
续表： 证明方法
方法二
图示
知5－讲
证明过程 如图， 过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因 为∠1＋∠2＋∠ACB＝ 180°，所以∠A＋∠B＋ ∠ACB＝180°.
续表： 证明方法
方法三
图示
知5－讲
证明过程 如图，过点D作DE∥AB， DF∥AC，则∠1＝∠C， ∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A ＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节课的主要内容是让学生理解命题的概念，掌握证明的方法和技巧。
教材通过引入生活中的实例，让学生体会命题的意义，进而引导学生学习证明的基本方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对数学概念有一定的理解。
但是，对于证明这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对证明方法的不理解，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解命题的概念，能正确写出题设和结论。
2.让学生掌握证明的方法和技巧，能运用所学的证明方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题的概念，证明的方法和技巧。
2.难点：证明方法的灵活运用，对复杂命题的证明。
五. 教学方法1.采用实例导入法，通过生活中的实例引导学生理解命题的意义。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索证明的方法。
3.采用分组合作法，让学生在合作中交流和分享证明的方法和经验。
4.采用讲解法，教师对重点和难点进行讲解和解答。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入和讲解。
2.准备一些证明题目，用于巩固和拓展。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“如果一个人是男生，那么他一定有喉结”，让学生理解命题的概念，引导学生写出题设和结论。
2.呈现（10分钟）呈现一些简单的命题，如“勾股定理”和“平行线的性质”，让学生尝试证明。
教师在旁边指导，解答学生的疑问。
3.操练（10分钟）学生分组合作，每组选择一个命题进行证明。
教师巡回指导，检查学生的证明过程，纠正错误。
4.巩固（10分钟）教师选取一些学生的证明题目，进行讲解和分析，让学生理解和掌握证明的方法和技巧。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了四则运算、方程求解、几何图形的性质等基础知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解证明过程，以及如何运用已知定理证明未知定理。
教材通过具体的例子让学生理解命题与证明的基本概念，并培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经具备了一定的数学基础，对几何图形的性质和方程求解等有一定的了解。
但是，对于命题与证明这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，逐步理解命题与证明的概念。
同时，八年级的学生逻辑思维能力较强，对于新的知识有较强的求知欲，通过引导，可以激发学生学习本节内容的兴趣。
三. 教学目标1.了解命题与证明的概念，理解定理的含义。
2.学会阅读和理解证明过程，培养逻辑思维能力。
3.能够运用已知定理证明未知定理，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题与证明的概念，定理的含义。
2.难点：如何阅读和理解证明过程，运用已知定理证明未知定理。
五. 教学方法1.引导法：通过具体的例子引导学生理解命题与证明的概念。
2.讲解法：讲解定理的含义，解释证明过程。
3.实践法：让学生通过实际操作，运用已知定理证明未知定理。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示具体的例子和证明过程。
2.练习题：准备一些相关的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考什么是命题，什么是证明。
例如，给出一个命题：“所有的直角三角形都是等腰三角形”，让学生思考这个命题是否正确，如何进行证明。
2.呈现（10分钟）讲解命题与证明的概念，解释定理的含义。
通过PPT展示相关的例子和证明过程，让学生理解命题与证明的基本概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个定理，尝试用自己的语言进行解释，并尝试证明。
命题与证明定义命题
04 命题的真假判定
真值表判定法
01
列出命题的所有可能取值情况 ，并判断每个取值下命题的真 假。
02
真值表可以清晰地展示命题的 真假情况，有助于判断命题的 真假。
03
真值表适用于简单的命题，但 对于复杂的复合命题，可能存 在较多的取值情况，导致真值 表难以完全列举。
归结推理判定法
01
将复合命题转化为简单命题，通过逻辑推理判断其真假。
03 反证法适用于一些难以直接证明的命题，但需要 有一定的推理技巧和逻辑思维能力。
05 命题的应用与实例分析
数学中的应用
几何学
在几何学中，命题通常用来描述图形的性质和关系，如“ 等腰三角形的两底角相等”或“两点之间线段最短”。
代数
在代数中，命题常用来描述数和代数式的性质，如“负数 的平方是正数”或“任何数的零次方等于1（除了0的0次 方）”。
推理的定义与分类
定义
推理是从一个或多个命题得出另一个命题的思维过程。
分类
根据不同的标准，推理可以分为不同的类型，如演绎推理、归纳推理、类比推理等。
推理的逻辑结构
前提
推理所依据的前提是已知的事实 或命题。
结论
由前提推导出的结果或命题。
逻辑形式
推理的逻辑形式是指推理过程中 前提与结论之间的结构关系。正 确的逻辑形式能够保证推理的有 效性。
归纳推理
通过观察一系列实例，总结出一般规律的推理过程。例如，观察到许多正方形都有四个相等的边和四 个相等的角，可以归纳出所有正方形都有这些性质。
日常生活中的应用
科学决策
在日常生活中，我们经常需要根据已知 的信息和经验做出决策。这些已知的信 息和经验可以看作是命题。例如，根据 天气预报的命题（今天会下雨），我们 可以决定带伞出门。
八年级数学上册13.2命题与证明教案(新版)沪科版
13．2 命题与证明第1课时命题1．了解命题的含义．2．对命题的概念有正确的理解．3．会区分命题的条件和结论．重点找出命题的条件(题设)和结论．难点命题概念的理解．一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．同旁内角相等，两直线平行；4．直角都相等．二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果,,那么,,”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果,,那么,,”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”应用迁移、巩固提高1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,,那么,,”的形式，并分别指出命题的题设和结论．学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果,,那么,,”的形式，并说出它们的条件和结论．(1)对顶角相等；(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．说出上题的逆命题，并讨论．三、运用新知，深化理解例1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果,,那么,,”的形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果,,那么,,”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果,,那么,,”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．四、课堂练习，巩固提高1．教材P77练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题；命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果,,那么,,”的形式；命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可）；逆命题：原命题为“如果p，那么q”，逆命题则为“如果q，那么p”．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84习题13.2第1～3题．第2课时证明(一)1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．重点证明的含义和表述格式．难点按规定格式表述证明的过程．一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由．分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．教师对具体的说理过程予以详细的板书．小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．【归纳总结】证明几何命题的表述格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程．三、运用新知，深化理解例1 如图，下列推理中正确的有( )①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠２不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．例2 完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B.证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P78～79练习及P80练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义．(2)真命题证明的步骤和格式．(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84～85习题13.2第5～8题．第3课时证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．重点根据具体的证明过程，填写推理的理由．难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法； 2.折叠法； 3.剪拼法．)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．2．总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善．3．小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．(2)求证：对顶角相等．4．证明：直角三角形的两个锐角互余．(请学生画图口答即可．)推论1：直角三角形两锐角互余．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠３分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．例2 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠１与∠２与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC，∠2＝12DCA，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P81～82练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．第4课时三角形的外角1．了解三角形的外角．2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．二、合作交流，探究新知探究问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出问题．教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．三、运用新知，深化理解教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．例1 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．例2 如图，求证：(1)∠BDC>∠A；(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠１是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．∴∠1>∠3.∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．即：∠BDC>∠BAC.(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．则∠BDC是△CDE的一个外角．∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．【教学说明】让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．四、课堂练习，巩固提高1．教材P83练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P85习题13.2第9题．。
沪科版八年级数学上册第13章教学课件：13.2 命题与证明第2课时 证明(共21张PPT)
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其他命 题的正确性
典例精析
证明：内错角相等，两直线平行.
例1 如图，直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2，
求证：a∥b.
证明：∵∠1=∠2（已知），
c
∠1=∠3（对顶角相等），
3
a
1
∴∠2=∠3（等量代换），
2
b
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
你还能找出几种证法？
13.2 命题与证明
第2课时 证明
学习目标
1.理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概 念;（重点）
2. 了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几 何知识证明一些简单的几何问题;（难点）
3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探 索精神，培养学习数学的兴趣．（难点）
导入新课
观察与思考
程叫证明
一些条件
+
推理
证实其他 命
基本事实或公理
题的正确
性
经过证明的真 命题叫定理
费马 欧拉
大数学家也有失误
当n=0，1，2，3，4时，
22n 1= 3，5，17，257，65 537 都是质数
对于所有自然
数n，22n 1的值
都是质数.
当n=5时，22n 1= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有 效方法.
这个故事告诉我们： 1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的 结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用 方法.
二 证明与推理
2.2命题与证明-湘教版八年级数学上册教案
2.2 命题与证明-湘教版八年级数学上册教案
一、教学目标
1.了解命题的定义和分类。
2.掌握简单命题的证明方法。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重难点
1.命题的定义和分类概念的理解。
2.命题简单证明的方法。
三、教学内容及活动安排
1. 课前预习（10分钟）
让学生在课前预习相关内容，并自主思考命题的定义和分类，以及简单命题的证明方法。
2. 导入新知（10分钟）
引导学生回顾上次课学习的内容，并通过提问，引出命题和证明的概念。
3. 讲解命题与证明的概念（20分钟）
A. 命题的定义和分类（10分钟）
命题是能够判断真假的陈述句，它具有真和假两个值。
分类包括简单命题和复合命题，其中复合命题包括合取命题、析取命题、蕴含命题和等价命题。
B. 简单命题的证明方法（10分钟）
1.直接证明法：利用已知条件，推导证明所要证的结论。
2.反证法：假设所要证的结论不成立，导出矛盾，从而推出结论成立。
3.数学归纳法：通过证明基础情形和归纳假设后，证明所有情形都成立。
4. 学生活动（20分钟）
分组讨论，并进行简单的命题练习和证明。
老师在课堂上进行指导和点评，引导学生掌握证明方法。
5. 深化练习（20分钟）
作业布置：练习册相关练习题。
四、教学反思
1.通过本节课的学习，学生掌握了命题的定义和分类，以及简单命题的证明方法。
2.学生在课上有较为积极的参与和讨论，并表现出较好的学习兴趣和思维能力。
3.下一步需要继续深化学生对命题证明方法的理解和应用能力，加强练习和巩固。
沪科版数学八年级上册13.2命题与证明三角形内角和定理优秀教学案例
3.引导学生运用转化思想，将复杂的几何问题转化为简单的问题，提高学生解决问题的能力。
4.鼓励学生提出自己的疑问，组织讨论，促进学生思维的发展。
（三）小组合作
1.组织学生分组进行讨论，鼓励学生互相交流、分享思路。
3.通过示例，讲解如何运用三角形内角和定理解决实际问题，让学生体会数学的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计探究活动，让学生分组讨论如何证明三角形内角和定理。
2.引导学生运用归纳推理、类比推理等方法，深入探究三角形内角和成果，互相交流、学习。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结三角形内角和定理的证明方法，巩固所学知识。
2.总结三角形内角和定理在实际生活中的应用，强调数学的实际价值。
3.引导学生反思自己在讨论过程中的表现，总结自己的优点和不足。
（五）作业小结
1.设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中运用转化思想，提高解决问题的能力。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，深入研究三角形内角和定理的相关知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形内角和定理，理解并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生空间想象能力，通过观察、实践，让学生能够形象地理解三角形内角和定理。
3.培养学生逻辑思维能力，学会运用归纳推理、类比推理等方法，证明三角形内角和定理。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将所学知识运用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。
4.运用多媒体技术辅助教学，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
湘教版八年级上册命题与证明(第2课时)课件
分层作业
7写出下列假命题的反例.
(1)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.
(2)相等. 的角是对顶角.
Hale Waihona Puke .解:(1)10°，20°，150°这样三个角的三角形就是钝角三角形；
(2)两个三角板里的直角都相等，但不是对顶角.
分层作业
8若a，b，c是同一平面内的三条直线，则下列命题中是假命题 的是 ( A ) A.若a⊥c，b⊥c，则a⊥b
预习导学
2.明晰概念:从命题的条件出发，通过推理，判断命题为真命 题的过程叫 证明 .
3.交流:什么是反例？反例有何意义？ 符合命题的条件，但不符合命题结论的例子，我们称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
预习导学
只有一部分命题可以通过举反例的方式说明它 们为假命题.大部分命题都需要通过证明来判断其真假.因此，我 们应该学习证明严谨的推理的过程，与条件和结论的因果关系.
B.若a∥b，b∥c，则a∥c C.若a⊥c，b⊥c，则a∥b D.若a⊥c，b∥a，则b⊥c
分层作业
9对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断:①
a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个论断作
为条件，一个论断作为结论， 组成一个你认为正确的命题(至 少写两个命题).
合作探究
(3)假命题.反例:当一个角为30°时，它的余角等于60°，大 于这个角.
合作探究
说明一个命题为真命题需要逻辑推理；说明一 个命题为假命题只需举出一个反例，但是，若举不出反例的话， 也需要通过逻辑推理来说明这个命题为假命题.
分层作业
1下列命题中是定理的是 ( C ) A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.对顶角相等 D.两点之间，线段最短 3“两点之间，线段最短”这个语句是 ( B ) A.定理 B.基本事实 C.定义 D.命题
13.2.2命题与证明2
第二课时（证明）
命题的种类
定义：
公理：
• 真命题（判断正确的命题）
定理：经过证明
……
• 假命题（判断错误的命题）
定义的概念： 能界定某个对象含义的句子叫做 定义.
• 举例 • （1）能够被2整除的数叫做偶数； • （2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 次联结所组成的图形叫做三角形； • （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角 形.
B
E
A 1
D
2
C
同位角相等，两直线平行 ∴AD∥BC，（ ） ∴∠C=∠2，（两直线平行,内错角相等， ）
课后练习P79
2、如图：若∠1=∠2，则直线a∥b 。用推理的方法 说明它是一个真命题。
1
a b
2
课后练习P80
1、已知：如图DC//AB ，AD//BC。 求证∠A=∠C
A D
B
C
课后练习P80
2.如图，DC//AB，DF平分∠CDB， BE平分∠ABD，求证：∠1=∠2
D
1
C F
E
2
A
B
课时小结 命题的种类
公理：
定义：
• 真命题（判断正确的命题）
定理：经过证明
……
⑴画
⑵写
⑶证
• 假命题（判断错误的命题）
举出一个反例Βιβλιοθήκη 练习:A1B
1. 已知，如图，AB⊥BF， CD⊥BF，∠1=∠2 求证： ∠3=∠4 证明:∵ AB⊥BF， CD⊥BF （已知 ）
4.整体大于部分．
5.通过两点有且只有一条直线． 6. 连接两点的所有连线中，线段最短 ． 7. 经过一条直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行． 8. 两直线平行，同位角相等． 9. 同位角相等，两直线平行． 10……
八年级数学上册2.2命题与证明第2课时(湘教版)
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°”称为 “三角形的内角和定理”.
定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的 推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和”称为“三角形的内角和 定理的推论”，也称“三角形外角定理”.
本书中，我们把少数真命题作为基本事 实.例如，两点确定一条直线；两点之间线 段最短等.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出 发点，去判断其他命题的真假.例如在七年 级下册，我们从基本事实出发证明了一些有 关平行线的结论.
基本事实
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一 定是真命题.
例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么 ∠1=∠2” 是 真 命 题 ， 但 它 的 逆 命 题 “ 如 果 ∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命 题.
如果一个定理的逆命题能被证明是真 命题，那么就叫它是原定理的逆定理,这两 个定理叫作互逆定理.
个命题的结论和条件.
6.任何一个命题都有逆命题吗？
任何一个命题都有逆命题.
新课： ◑真命题与假命题
下列命题中,哪些正确,哪些错误? 并说一说你的理由.
(1) 每个月都有31天;
错误
(2) 如果a是有理数，那么a是整数; 错误
(3) 同位角相等;
错误
(4) 同角的补角相等;
正确
我们把正确的命题称为真命题. 把错误的命题称为假命题.
证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=180° -∠1 ， ∠3=180° -∠1. ∴∠2=∠3(等量代换).
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在“证明”中写出推理过程， 并且步步有依据。
l3
1
求证： ∠2=∠3
3
证明： ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠3
l1
（ 已知 ） 2
∠1=∠3 （对顶角相等）
（等量代换）
l2
例2. 证明：邻补角的平分线互相垂直。
（自己尝试证明）
l3 l1
根据题意，画出图形
2
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
第二步： l3
1 3
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
条件： 如图，直线 l 1 已知： 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
结论： ∠2=∠3 求证：
2
l1
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
例：写出下列命题的条件和结论，且回答哪些是 真命题？哪些是假命题？
(1）两直线平行，同位角相等； 真
题设 结论
（2）在一个三角形中，等边对等角； 真
在一个三角形中有两条边相等
题设 两个数的乘积为1 题设
这两条边所对应的角相等 结论
（3）乘积为1的两个数互为倒数；
两个数互为倒数 论
真
问：以前学习中归纳的基本事实？
B
D
2
F
∴AB// CD （ 同位角相等，两直线平行 又∵ ∠1=∠2 ∴AB//EF ∴ CD // EF ∴∠3=∠4 （内错角相等，两直线平行）
）
（平行于同一直线的两直线平行 ）
（ 两直线平行，同位角相等）
课后练习P80
1、已知：如图DC//AB ，AD//BC。 求证∠A=∠C
A D
B
C
课后练习P80
已知：如图直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2。 求证：a ∥ b
l3
1 2 3
l1
l2
例4：已知:如图, ∠AOB+∠BOC=180°,OE
平分∠AOB,OF平分∠BOC,
E
B F 1 2 O C
求证:OE⊥OF
A
1. 已知，如图，AB⊥BF， A CD⊥BF，∠1=∠2 1 求证： ∠3=∠4 C 3 证明:∵ AB⊥BF， （已知 ） 4 CD⊥BF E （ 垂直定义 ） ∴∠ B=∠CDF=90° （已知）
问：你还能举出 一些例子吗？
公理和定理
公理：人们从长期的生活实践中总结出来的 真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真 假的原始依据。 举例：两点之间，线段最短； 两直线平行，同位角相等. 定理：从公理或其他真命题出发，用推理方 法证明为正确的、并进一步作为判断其他命 题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 举例：两直线平行，内错角相等； 如果两个三角形三条边相等，那么两 个三角形全等.
证明真命题的步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）根据题设和结论，结合图形，写出 “已知”和“求证”； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途 径，写出证明过程.
证明假命题的方法——举反例
例题分析
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
第一步：
1 3
13.2.2 命题与证明（二）
命题：判断一件事情的语句叫做命题。 命题有真命题、假命题两种类型
举例 （1）对顶角相等； 假命题 （2）互为补角的两个角都是锐角； （3）两直线平行，同位角相等； （4）两条平行线被第三条直线所截，如果内 错角相等，那么这两条直线平行.
命题的结构：
题设
结论
命题的一般表述：如果……，那么……
公理和定理的共同点和不同点：
共同点：都是真命题 不同点：公理的正确性是人们长期 实践检验所证实的真命题； 定理的正确性是依赖推理证实的.
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基 本事实、已证定理，并按照逻辑 法则，推导出结论，这一方法称 为演绎推理（或演绎法）演绎推 理的过程，就是演绎证明，简称 证明
2.如图，DC//AB，DF平分∠CDB， BE平分∠ABD，求证：∠1=∠2
D
1
C F
E
2
A
B
你有哪些收获?
⑴公理和定理的概念及它们的异同.
⑵什么叫证明?
⑶如何进行推理和表达?
直线的基本事实：
两点确定一条直线
线段的基本事实： 两点之间，线段最短
平行线的基本事实： 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
定义的概念： 能界定某个对象含义的句子叫做定义.
举例 （1）能够被2整除的整数叫做偶数； （2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所 组成的封闭图形叫做三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.