2022人教版数学《利用完全平方公式分解因式》配套教案(精选)

第2课时利用完全平方公式分解因式
一、新课导入
1.导入课题：
还记得完全平方公式是怎样的等式吗？你能将多项式a2±2ab+b2分解因式吗？若能分解，它应可化为哪两个因式的积？
2.学习目标：
（1）能说出完全平方公式的结构特点.
（2）会用完全平方公式进行因式分解.
3.学习重、难点：
重点：会用完全平方公式进行因式分解.
难点：会分析一个多项式是不是完全平方式.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第117页“思考”以下内容.
（2）自学时间：5分钟.
(3)自学方法：认真阅读课文，掌握公式的推导过程及公式的表述.
(4)自学参考提纲：
①形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
②下列各式是完全平方式吗？为什么？
2－4a+4 b.1+4a22+4b－1 2+ab+b2
a是完全平方式，b、c、d不是完全平方式.只有a能写成两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍的形式.b、c、d不能写成
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的2倍的形式.
③由(a±b)2得a2±2ab+b2叫整式乘法，由a2±2ab+b2得到(a±b)2叫分解因式.
④你能将m2+10m+25分解因式吗？
2+10m+25=(m+5)2
⑤两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否掌握验证完全平方式的方法.
②差异指导：指导依照完全平方式的结构特点变形.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)总结交流完全平方公式的特点：读、写、记、说.
（2）计算：①（m－4n）2；②（m+4n）2；③（a+b）2；④（a －b）2.
解：①m2-8mn+16n2;②m2+8mn+16n2;
③a2+2ab+b2;④a2-2ab+b2.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第118页例5.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真观察例5解题的过程，解题时注意符号和运算顺序.
（4）自学参考提纲：
①认真阅读并思考例5的分析部分，应用完全平方公式进行因式分解，首先必须判断多项式是否是一个完全平方式.
②在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是－x2+4xy －4y2＝－(x2－4xy+4y2)，变形后括号内的多项式是完全平方式，所以可以分解因式.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：重点了解学生对例5中第（2）题的分析是否掌握.
②差异指导：对中差生指导对照公式结构找表示公式中a、b的数或式的方法.
（2）生助生：学习有疑难问题，学生之间相互交流、帮助解决学习中的疑难问题.
4.强化：
（1）分解因式：
①m2－8mn+16n2;②m2+8mn+16n2；③x2+12x+36 ；④a2+2a+1.
解：①（m-4n）2;②(m+4n)2;③(x+6)2;④(a+1)2.
（2）总结交流：应用完全平方公式分解因式，首先掌握完全平方式的结构特点，再根据变形,确定公式中的“a”和“b”各是什么？
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第118页例6及以下内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读例6的解题的分析和步骤，总结例题是如何将因式分解进行彻底的.
（4）自学参考提纲：
①在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，提公因式后的因式，再进一步分解.
②在（2）中，若将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36，它是完全平方式吗？是
③你能将下面的式子因式分解吗？
－4a2b+12ab2－9b3=-b(2a-3b)2；
8a－4a2－4=-4(a-1)2；（x+y）2－14（x+y）+49=(x+y-7)2.
④结合例题，说说如何将一个多项式分解彻底？
⑤什么是公式法，你已掌握了几种公式？
2.自学：可结合自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否领会例题中的解题分析和公式的运用过程.
②差异指导：指导学生理解例6第（2）题中体现的整体思想和换元方法.
（2）生助生：学习疑点引导学生相互交流帮助解决.
4.强化：
（1）交流总结：分解因式的一般步骤：①先提公因式（若有）；
②利用公式（若可以）；③分解因式时要分解到不能再分解为止.
（2）归纳已学公式法.
（3）练习：分解因式.
①－3x2+6xy－3y2；②－2xy－x2－y2；③ax2+2a2x+a3.
解：①原式=-3(x-y)2；②原式=-（x+y）2;③原式=a(x+a)2.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、学习成果及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时教学以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式，鼓励学生分组讨论，集中归纳，共同总结，充分调动学生的积极性，主动参与学习过程，接受新知识.
一、基础巩固（第1、2、3、4题每题10分，第5题20分，共60分）
3－2x2+ x分解因式，先用提公因式法，再用完全平方公式法，结果为x(x-1)2.
2+ax－24=( x＋2)( x－12)，则a为-10.
3.多项式(x+y)2－4(x+y)+4因式分解时，可把x+y看作一个整体，再用完全平方公式法得（x+y-2）2.
2－8x+8分解因式，结果为2（x-2)2.
5.分解因式：
（1）(x－y)2+2(x－y)+1;（2）4x3－8x2+4x;
（3）y2+y+1
;（4）6abx2-12abx+6ab.
4
解：（1）（x-y+1）2; （2）4x(x-1)2;
（3）(y+1
2
); （4）6ab(x-1)2.
二、综合应用（20分）
6.在实数范围内分解因式：
（1）x4－4; （2）x2－22x+2. 解：（1）（x2+2）(x+2)(x-2) (2)（x-2）2三、拓展延伸（20分）
7.已知x+y=7，xy=10，求1
2x3y－x2y2+1
2
xy3的值.
解：（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-4×10=9.
原式=1
2xy(x2-2xy+y2)=1
2
xy(x-y)2
=1
2
×10×9=45.
第1课时等腰三角形的性质
【知识与技能】
1.理解掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.
、发展形象思维.
【过程与方法】
、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.
2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.
【情感态度】
引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
等腰三角形的证明.
一、情境导入，初步认识
问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.
可按下列方法做出:
作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.
问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.
观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:
①∠B=∠C→两个底角相等.
②BD=CD→AD为底边BC上的中线.
③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.
∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.
指导学生用语言叙述上述性质.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).
教师指导对等腰三角形性质的证明.
1.证明等腰三角形底角的性质.
教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:
∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.
(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.
“三线合一”的性质.
【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.
例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°
于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.
三、运用新知，深化理解
第1组练习:
1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.
3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
第2组练习:
△ABC是轴对称图形,则它一定是( )
°,它的顶角的度数是( )
A.80°
B.20°
°和20°°或50°
2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.
4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB
交AC于E.求证:AE=CE.
【教学说明】
等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.
【答案】
第1组练习答案:
1.(1)72°;(2)30°
2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD
3.∠B=77°,∠°
第2组练习答案:
3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=
4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.
4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.
四、师生互动，课堂小结
这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.
学生间可交流体会与收获.
1.布置作业：从教材“习题”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等
腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.
第1课时单项式与单项式、多项式相乘
一、新课导入
1.导入课题：
有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？画布的面积是(5×103)×(3×102)cm2，你能计算出它的结果是多少吗？
2.学习目标：
（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.
（2）灵活地运用法则进行计算和化简.
3.学习重、难点：
重点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.
难点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：探究单项式乘以单项式的运算法则.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.
（4）自学参考提纲：
①怎样计算（5×103）×（3×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？
（5×103）×（3×102）=5×3×103×102
运用了乘法交换律.
=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.
=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.
②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.
计算ac5·bc2=ab·c7; 3a2b·2ab3=6a3b4.
③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？
④完成教材第99页“练习”第2题.
2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.
②差异指导：引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助解决疑难问题.
4.强化：
（1）单项式与单项式相乘的法则.
（2）计算：(1)2c5·5c2；（2）(-5a2b3)·(-4b2c).
解：（1）10c7；（2）20a2b5c
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第98页例4.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.
（4）自学参考提纲：
①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.
②计算(2x)3·(－5xy2)时，先算（2x）3，再与(-5xy2)相乘.为什么？
因为有理数的混合运算法则为：①先算乘方，再乘除，最后加减;
②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.
③计算：3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；
4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.
2.自学：结合自学指导，研读课本例题.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.
②差异指导：对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
交流与总结：①运算顺序；②运算符号.
1.自学指导：
（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.
（4）自学参考提纲：
①等式p(a+b+c)=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？
②等式p(a+b+c)=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？
③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？
乘法分配律.
④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.
⑤试一试：－2x(x+y)=-2x2-2xy;3ab(a+b)=3a2b+3ab2;
－(m－n+2)=-m+n-2.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.
②差异指导：强调法则要点：“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.
（2）生助生：生生互相交流帮助解决疑难.
4.强化：
（1）运算法则:
①文字表达：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
②式子表达：p（a+b+c）=pa+pb+pc.
（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.
（3）计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）.
=-6a3b2+10a3b3
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第100页例5.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.
（4）自学参考提纲：
①标出例5题目中的单项式和多项式.
②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.
③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.
④思考：结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？
2.自学：结合自学参考提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.
②差异指导：重点对第（1）、（2）小题符号问题进行指导.
（2）生助生：学生之间互助交流解决疑难.
4.强化：
（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.
（2）计算：
①(－2a)·(2a+1) ②2x2(3x2－5y) ③3a(5a－2b)
=-4a2-2a =6x4-10x2y =15a2-6ab
（3）根据提示填空：
计算：(1
2ab2－1
3
a2b－6ab)·(－6ab)
方法一：原式=1
2ab2·（－6ab）+（-1
3
a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－
6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2
方法二：原式=1
2ab2·（－6ab）-1
3
a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.
＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2
三、评价
1.学生的自我评价：各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.
一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）
1.细心填一填.
（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;
（2）（4×105）·(5×104)=2×1010;
（3）（-2ab2）2·（-a2b)3=-4a8b7;
（4）(x2-2y)·(-xy)=-x3y+2xy2;
（5）(-a2)·(ab+abc)=-a3b-a3bc.
2.认真选一选.
（1）化简x(2x－1)－x2(2－x)的结果是（B）
A.－x3－x 3－x C.－x2－1 3－1
（2）化简a(b－c)－b(c－a)+c(a－b)的结果是（B）
A.2ab+2bc+2ac
B.2ab－2bc D.－2bc
（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）
A.ac+bc
B.ac+(b-c)c
C.(a-c)c+(b-c)c
D.a+b+2c+(a-c)+(b-c) （4）下列各式中计算错误的是（C）
A.2x·(2x3+3x－1)=4x4+6x2－2x
B.b(b2－b+1)=b3－b2+b
C.－1
2
x(2x2－2)=－x3－x
D.2
3x(3
2
x3－3x+1)=x4－2x2+2
3
x
3.计算：
(3x2+1
2y－2
3
y2)·(－1
2
xy)3
解：原式=(3x2+1
2y-2
3
y2)·(-1
8
x3y3)
=-3
8x5y3-1
16
x3y4+1
12
x3y5.
二、综合应用（每题10分，共20分）
4.某地有一块梯形实验田，它的上底为m （m），下底为n （m），高是h （m）.
（1）用m、n、h表示这块梯形的面积S；
（2）当m=8m，n=14m，h=7m时，求S.
解：（1）S=1
2
(m+n)h
（2）S=1
2
×（8+14）×7=77（m2）
5.某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结果下图商标中标，求此商标图案阴影部分的面积.
解：S阴影=1
4πa2+2a·a-1
2
·3a·a
=1 4πa2+1
2
a2
三、拓展延伸（每题10分，共20分）
6.已知：单项式M、N满足2x(M+3x)=6x2y2+N，求M、N. 解：2x(M+3x)=6x2y2+N,
2x·M+6x2=6x2y2+N
∴N=6x2
2x·M=6x2y2
M=3xy2
7.若（a m+1b n+2）·(a2n-1b2m)=a5b3,求m+n的值.
解：(a m+1b n+2)(a2n-1b2m)=a5b3
a m+2n b2m+n+2=a5b3 m+2n=5
2m+n=3-2
∴3m+3n=6
∴m+n=2.。