【测控设计】高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2

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探究一
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������ 变式训练 1 ������ 用数学归纳法证
明:1×4+2×7+3×10+…+n (3n+1)=n (n+1)2(其中 n ∈N*). 证明 :(1)当 n=1 时 ,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1×4+2×7+3×10+… +k (3k+1)=k(k+1)2. 那么 ,当 n=k+1 时 ,1×4+2×7+3×10+… +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+ 1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当 n=k+1 时等式也成立. 根据 (1)和 (2),可知等式对任何 n∈N*都成立.
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(2)假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即 1+3+5+… +(2k-3)+(2k-1)+(2k-3)+…+5+3+1=2k2-2k+1. 则 n=k+1 时,左边 =1+3+5+… +(2k-3)+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k-3)+…+5+3+1 =2k 2-2k+1+(2k+1)+(2k-1) =2k 2+2k+1 =2(k+1)2-2(k+1)+1, 即当 n=k+1 时,等式成立, 由 (1)(2)知 ,等式对任意 n∈N*都成立.
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练一练
( 用数学归纳法证明 n 边形的内角和为(n-2)· 180° 时 ,其初始值 n0 为 ) A .1 B.2 C.3 D.4 答案 :C
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2 .数学归纳法的框图表示
1 1 1 用数学归纳法证明 1+ + +… + ������ <n (n ∈N*,n>1)时 ,第一步应验证不 2 3 2 -1
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典型例题 1
用数学归纳法证 明:1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1=2n 2-2n+1(n ∈N*). 思路分析:第一步先验证等式成立的第一个值 n 0;第二步在 n=k 时等式 成立的基础上,等式左边加上 n=k+1 时新增的项,整理出等式右边的项. 证明 :(1)当 n=1 时 ,左边=1, 右边 =2×12-2×1+1=1, 等式成立.
2.3 数学归纳法
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学习目标 思维脉络 1.了解数学 归纳法的原 理. 2.能用数学 归纳法证明 一些简单的 数学命题.
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探究二用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式的四个关键点: (1)验证第 1 个 n 的取值时,要注意 n0 不一定为 1,若条件为 n>k,则 n 0=k+1. (2)证明不等式的第二步中,从 n=k 到 n=k+1 的推导过程中,一定要应用 归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少“归纳递推”. (3)应用归纳假设后 ,若证明方法不明确,可采用分析法证明 n=k+1 时也 成立 ,这样既易于找到证明的突破口,又完整表达了证明过程. (4)证明 n=k+1 成立时,应加强目标意识,即明确要证明的不等式是什么, 目标明确了,要根据不等号的方向适当放缩,但不可“放的过大”或“缩的过 小 ”.
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1 .数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: 第一步,归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0(n 0∈N*)时命题成立. 第二步,归纳递推:假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时 命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都 成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
用数学归纳法证明等式的三个关键点 (1)验证是基础. 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n0(n 0≥1,n ∈N*),这 个 n 0,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定 都是 “1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析 式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由 n=k 到 n=k+1 时 , 等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (3)利用假设是核心. 在第二步证明 n=k+1 成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设 “n=k 时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k )的式子写出来,尤其是 f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归 纳假设的证明就不是数学归纳法.
试一试
)
等式 (
A .1+ <2 C.1+ + <3 答案 :B
2 3 2 1 1
1
B.1+ + <2 D.1+ + + <3
2 3 4 2 1 3 1 1
1
1
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探究一用数学归纳法证明等式